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第四節(jié) 對(duì)數(shù)留數(shù)與輻角原理一、對(duì)數(shù)留數(shù)二、輻角原理三、路西定理四、小結(jié)與思考一、對(duì)數(shù)留數(shù)1. 定義具有下列形式的積分:說明:1) 對(duì)數(shù)留數(shù)即函數(shù) f(z)的對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在C內(nèi)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)的代數(shù)和;2) 函數(shù) f(z)的零點(diǎn)和奇點(diǎn)都可能是的奇點(diǎn).2. 定理一內(nèi)零點(diǎn)的總個(gè)數(shù), P為 f(z)在C內(nèi)極點(diǎn)的總個(gè)數(shù).其中, N為 f(z)在C且C取正向. 注意: m級(jí)的零點(diǎn)或極點(diǎn)算作m個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn).證證畢由以上所述和留數(shù)定理，得二、輻角原理.不一定為簡(jiǎn)單閉曲線, 其可按正向或負(fù)向繞原點(diǎn)若干圈.1. 對(duì)數(shù)留數(shù)的幾何意義單值函數(shù)等于零結(jié)論:(k總為整數(shù))對(duì)數(shù)留數(shù)的幾何意義是 繞原點(diǎn)的回轉(zhuǎn)次數(shù)k由定理一及對(duì)數(shù)留數(shù)的幾何意義得可計(jì)算f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)此結(jié)果稱為輻角原理2定理二 (輻角原理)如果 f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線C上與C內(nèi)解析, 且在C上不等于零, 那么 f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于乘以當(dāng)z沿C的正向繞行一周 f(z)的輻角的改變量.三、路西定理定理三(路西定理)說明:利用此定理可對(duì)兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行比較 .證在C內(nèi)部解析證畢例1 試證方程證在圓內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)也為n例2 對(duì)數(shù)留數(shù).解所以這些零點(diǎn)是二級(jí)零點(diǎn), 從而是 f(z) 的二級(jí)極點(diǎn).所以由對(duì)數(shù)留數(shù)公式得四、小結(jié)與思考 通過本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)熟悉對(duì)數(shù)留數(shù)及其與函數(shù)的零點(diǎn)及極點(diǎn)的關(guān)系; 了解輻角原理與路

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