平面直角坐標(biāo)系及伸縮變換課件

1、1.1 平面直角坐標(biāo)系與曲線方程(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程; 這條曲線叫做方程的曲線.定義:f(x,y)=00 xy 一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:常見(jiàn)公式：直線方程，平行，垂直，中點(diǎn)，中心，距離，標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率 a、b、c的關(guān)系|x| a,|y| b關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長(zhǎng)半軸

2、長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b. aba2=b2+c2|x| b,|y| a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率A1（- a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱漸進(jìn)線.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程圖 形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p0)x2=-2py(p0)二拋物

3、線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1 :判斷下列命題是否正確解:(1)不正確，應(yīng)為x=3,(2)不正確, ，應(yīng)為y=1.(3)正確.(4)不正確, 應(yīng)為x=0(-3y0).(1)過(guò)點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線的方程為x=3(2)到x軸距離等于1的點(diǎn)組成的直線方程為y=1(3)到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1 (4) ABC的頂點(diǎn)A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D為BC中點(diǎn)，則中線AD的方程x=0練習(xí)2:下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個(gè)？ - =0|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD解:練習(xí)1.2.BB3.4.到F(

4、2，0)和y軸的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是_ 解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，則由題設(shè)得化簡(jiǎn)得:y2=4(x-1)這就是所求的軌跡方程.y2=4(x-1)直接法求軌跡方程xyO直接法求軌跡方程xyO定義法求軌跡方程由|O1O2|4,得O1(-2, 0),O2(2, 0)xyO定義法求軌跡方程 求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量xyO相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程 xy 【2】若曲線 上有一動(dòng)點(diǎn)P，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.舉一反三解: 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x , y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0 ,

5、y0),由于點(diǎn)M是線段OP 的中點(diǎn),于是有x0=2x, y0=2y. 把代入, 得動(dòng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng),所以有 整理, 得所以點(diǎn)M的軌跡方程是平面直角坐標(biāo)系建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。（1）如果圖形有對(duì)稱中心，可以選對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；（3）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。課堂小結(jié)2.若點(diǎn)P到直線x=-1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1,則點(diǎn)P的軌跡為( )A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線答案:D解析:由題意知,點(diǎn)P到點(diǎn)(2,0)的距離與P到直線x=-2的距離相等,由拋物線定義得點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn),以直線x

6、=-2為準(zhǔn)線的拋物線,故選D.3.方程 的曲線是( )A.兩條直線 B.一個(gè)點(diǎn)C.一條射線和一條直線 D.兩條射線答案:C5.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0) ,如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )A. B.4C.8 D.9答案:B288.一動(dòng)點(diǎn)在圓x2+y2=1上移動(dòng),它與定點(diǎn)(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是_.答案:(2x-3)2+4y2=1共 12 頁(yè)22共 12 頁(yè)23解析:(1)方程 ,表示的曲線是以(2,0)為對(duì)稱中心,焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,焦距為 的橢圓.(2)方程(x+2)2+(y-2)2=16表示的曲線是以(-2,2)為圓心,

7、4為半徑的圓.(3)方程(2x+3y-5) =0表示直線2x+3y-5=0與射線x=4(x3).(4)方程 ,可以看作點(diǎn)(x,y)到(2,0)的距離與到直線x=4的距離之比為2,故此方程表示以(2,0)為焦點(diǎn),離心率為2的雙曲線.1.2 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換O 1 2 3 4 5 6 710987654321引例:cc cA(2,1)A(4,4)B(1)將點(diǎn)A(2,1)先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位, 得A(1)(2)將拋物線C:y=x2先向右平移2個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位, 得拋物線Coxy(2)2-223P(x,y)P (x,y)aaaaxoyFF設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形

8、,將F上所有點(diǎn)按照同一方向,移動(dòng)同一長(zhǎng)度，得到圖形F.稱這一過(guò)程是圖形的平移.一、平移概念 設(shè)P(x,y)是圖形F上的任意一點(diǎn)，它在平移后圖形F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y), 且 =(h,k),二、平移公式新標(biāo)=原標(biāo) + 平移向量的坐標(biāo)得平移公式:xyOFF注: (1)平移后點(diǎn)的坐標(biāo)等于平移前點(diǎn)的坐標(biāo)加上平移向量的坐標(biāo). (2)從方程的角度看平移公式(知二求一)三、公式應(yīng)用(x,y)是平移前的點(diǎn)， P(x,y)是平移后的點(diǎn)例題講解例 1. 把(-2，1)按a=（3,2) 平移，求對(duì)應(yīng)點(diǎn) 的坐標(biāo) . 2. 點(diǎn)M（8,-10）,按 平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為（-7，4）求 .解（1）由平移公式得即對(duì)應(yīng)點(diǎn)

9、 的坐標(biāo)（1，3）.（2）由平移公式得即a 的坐標(biāo) （-15,14）.解得例題講解代入y=2x中即函數(shù)的解析式為解：設(shè)P(x, y)為l 的任意一點(diǎn)，它在 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn) ，由平移公式得xyO 例 將函數(shù)y=2x 的圖象 l 按 =（0，3）平移到 ，求 的函數(shù)解析式練習(xí)：1.分別將點(diǎn)A(3,5) B(7,0）按向量平移 ，求平移后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。2.把函數(shù) 的圖像l 按 平移到 ，求 的函數(shù)解析式。 3.若把點(diǎn)A(3，2)平移后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn) , 按上面的平移方式，若點(diǎn)A(1，3)，求 。（1，4） 4.將拋物線 經(jīng)過(guò)怎樣的平移，可以得到 。 按向量 平移即拋物線的頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為（-2，3） 設(shè) 是

10、拋物線 上的任意一點(diǎn)，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 ,由平移公式得代入原解析式得平移后函數(shù)的解析式為:按向量 平移方法:(1)待定系數(shù)法(2)配方法練習(xí)：xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x? 在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y), 保持縱坐標(biāo)不變,將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的1/2 , 就得到正弦曲線y=sin2x. 上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即： 設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn), 保持縱坐標(biāo)不變, 將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)1/2,得到點(diǎn) 坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為:通常把 上式 叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。也可以稱為曲線按伸縮系數(shù)為1/2向著y軸的壓縮變換 （當(dāng)k1時(shí)，表示伸長(zhǎng)，當(dāng)k1時(shí)，表示伸長(zhǎng)，當(dāng)k0,0 （2）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到； （3）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。練習(xí)：1.在直角坐標(biāo)系中, 求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換 后的圖形. （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=12.在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸縮變換：曲線 變?yōu)榍€3.在同一直角坐標(biāo)系下, 經(jīng)過(guò)伸縮變換 后，曲線C變?yōu)閤