彈性力學平面問題極坐標課件

1、同理可得各階微分關系，如二. 極坐標系下的平衡微分方程1. 直角坐標與極坐標系下的應力分量關系如圖，根據(jù)應力狀態(tài)的定義， 過P點分別以 r 方向和 方向為法線的截面上的應力 r、r r ， 作為在極坐標系下的應力分量。（1）極坐標系下的應力分量和體力分量ryOxrPrrr（2）應力分量的坐標轉換 視 P-r 為舊坐標，P點的應力狀態(tài)為 r、r r ；視 O-xy 為新坐標，求P點的應力分量 x、y、xy yx 。 由應力狀態(tài)的坐標轉換公式 r稱為徑向應力， 稱為環(huán)向向應力。ryOxrPFbFbr代入計算得（3）體力分量的坐標轉換 設極坐標系下的體力分量為 Fbr 、Fb 。將其分別向 x、y

2、方向投影得2. 極坐標系下的平衡微分方程由直角坐標系下的平衡微分方程推導當時ryx以此位置的直角坐標系，建立平衡微分方程。即同理代入即得三. 極坐標系下的幾何方程1. 直角坐標與極坐標系下的位移分量關系ryOxrPuuruv類似體力分量的投影關系2. 極坐標系下的應變分量 將P點分別沿 r 和 方向（相互垂直）兩線元的線應變 r、 及其切應變 r ，作為P點的應變分量。3. 極坐標系下的幾何方程可通過微分關系直接由直角坐標系下的幾何方程得到。同前分析，當 0 時，所以即四. 極坐標系下的物理方程 因r、 方向正交，則物理方程與直角坐標系下具有相同形式。即當為平面應變問題時，E1E、1 。五.

3、極坐標系下的相容方程 極坐標系下如果用應力函數(shù)表示相容方程，體力必須為零或關于 (r ， ) 有勢。（展開共8項）將O-xy坐標系旋轉至 x 與 r 重合，即 0，此時ryx在不計體力的情況下， 可通過微分關系直接由直角坐標系下的相容方程得到。所以五. 極坐標系下的應力邊界條件 設邊界S的外法線方向與 r、 方向的方向余弦分別為 l1、l2 ，其上作用的面力沿r、方向的分量分別為 pr、p 。則其應力邊界條件與直角坐標系下具有相同形式。即當體力不為零或無勢時，可用應力表示相容方程例6-6寫出圖示問題的應力邊界條件（1）Oxylq0r上邊：斜邊：（2）rPM內側：rrrr外側：xOyab 0，l

4、1 0，l2 1 ，l1 0，l2 +1r a，l1 1 ，l2 0r b，l1 +1 ，l2 0r上端： 0，l1 0 ，l2 1或向O簡化面力向形心簡化rxOyabPMOMxy（3）半無限平面rrra當 r 0 時，上邊當 r 0 時，O點受集中力偶， 但無法使用圣維南原理進行簡化。 可使用截面法建立外力與內力的關系，即O點的應力邊界條件。由半圓上的應力和外力的平衡關系，有五. 極坐標系下的基本方程總結平衡微分方程幾何方程物理方程相容方程應力分量應力邊界條件位移邊界條件（不計體力）（無體力）（計體力）或6-6 平面問題在極坐標系下求解一. 軸對稱問題的應力與相應的位移1.軸對稱問題的特征（

5、1）截面的幾何形狀對稱于中心軸，（2）荷載與約束對稱于中心軸。如圓環(huán)、圓盤、圓筒。因此環(huán)向體力 Fb 0 ；在邊界上 ，環(huán)向的面力和位移為零；即（3）導致物體的應力、應變和位移分布也是軸對稱的。即rxyO 由于任何通過中心軸（z 軸）的平面均為對稱面，故各分量均與 無關。即2.軸對稱問題的基本方程平衡微分方程幾何方程物理方程相容方程應力分量邊界條件（不計體力）（不計體力） 計體力時3.應力函數(shù)與應力分量將相容方程展開得令同理代入常系數(shù)微分方程特征方程平面軸對稱問題（不計體力），應力分量的一般表達式。其中A、B、C為待定系數(shù)，由邊界條件和位移單值條件確定。平面軸對稱問題（不計體力）的應力函數(shù)4.

6、位移分量由物理方程和幾何方程式積分代入式積分得將ur、u 代入式，整理得欲使之成立，兩端必等于同一常數(shù)。即F為常數(shù)分別解方程所以，無體力應力軸對稱的位移分量其中，A、B、C、H、I、K 為待定常數(shù)， 由應力邊界條件、位移邊界條件（約束）和位移單值條件確定。5.幾點說明（1）當物體僅幾何和荷載軸對稱時，只產生軸對稱應力，位移不一定軸對稱（從u可見）。稱之為軸對稱應力問題。（2）軸對稱應力問題的位移不一定軸對稱乃約束不一定軸對稱所致。 可以證明，I、K 為物體分別沿 x、y 方向的剛體位移，H 則為繞軸心的剛體轉動。（3）當位移邊界條件（約束）也軸對稱時，位移也軸對稱， 應有 u 0，則 B H

7、I K 0（4）多連體中的位移單值條件，實質上就是物體的連續(xù)性條件。（即位移連續(xù)性條件）。 按位移法求解時：若取位移分量為單值，由此求出的應變分量（幾何方程）也為單值，求出的應力分量（物理方程）也為單值； 按應力法求解時：若取應力分量為單值，由此求出的應變分量（物理方程）也為單值，但求出的位移分量（幾何方程積分）常為多值。 對于單連域，位移單值條件一般自然滿足；但對于多連域一般需檢驗位移單值條件。1.圓環(huán)或圓筒受均布壓力qaqbbaO二. 軸對稱問題示例已知：求：應力分布。（1）確定應力分量的表達式：邊界條件：代入應力分量表達式，有式中有三個未知常數(shù)，二個方程還不足以完全確定常數(shù) 考察多連體中

8、的位移單值條件。 是多值函數(shù)，如(r , )和(r , )同指一點，但由此計算卻得出兩個位移。由位移的單值條件，必有：B = 0所以qbbaO將其代回應力分量式（繁分式稱為拉梅解答）討論：（1）外壓無內壓： 當 a 0 時：二向等壓（2）內壓無外壓：qaba 當 b 時：具有圓孔的無限大薄板若 a 0但 a 0 當 r a 時：（針孔問題）可見針孔處有應力集中現(xiàn)象，最大應力為無孔的二倍。 當 b a t R (半徑) 時：薄壁圓環(huán)與材力結果相同2. 壓力隧洞問題：厚壁圓筒（E， ）埋在無限大彈性體（E ， ）內 ，受內壓 q 作用，求圓筒的應力。分析：相當于兩個軸對稱問題，（1）內外半徑分別為

9、 a、b，受內壓 q、外壓 p 的厚壁圓筒；qpbaO（2）內半徑為 b，外半徑為 ，受內壓 p 的厚壁圓筒；qbaOE，E ， pbO且均為平面應變問題。確定壓力 p 的兩個條件：徑向變形連續(xù)徑向應力連續(xù)求解：厚壁圓筒的應力分量及其邊界條件無限大彈性體的應力分量及其邊界條件將應力分量代入邊界條件四個方程，五個未知量（p未知）補充位移連續(xù)條件平面應變問題欲使對任意的 成立，須有令上式整理為因與前三式聯(lián)立求解 A、C、A、p，并代入得3. 圓弧曲梁的純彎曲問題：矩形截面曲梁, rxyabMM O 為曲梁的曲率中心，內半徑為 a ，外半徑為 b ， 在兩端受有大小相等而轉向相反的彎矩 M 作用，兩

10、端面間極角為 。分析： 取曲梁的曲率中心 O 為坐標的原點，并按圖示建立坐標系。O 由于各截面上彎矩 M 相同，因而可假定各截面上應力相同，構成一軸對稱問題（對稱軸為 z 軸）。求解：（1）應力分量由于是單連域，位移式中無多值項，故（2）邊界條件內外側：自然滿足自然滿足端面：取 = 端自然滿足兩式直接積分有一定困難， 可利用應力分量與應力函數(shù)的關系簡化積分由滿足聯(lián)立求解得其中所以討論：a）r = a 時， 取得最大值（絕對值）；b）中性軸不過截面形心，而偏于內側；c） 關于截面不成線性分布，且擠壓應力r 與同量級。三. 圓孔的孔邊應力集中1. 問題的提法 無體力的矩形薄板，薄板內有一個小圓孔

11、（半徑 a 遠小于板的尺寸）。薄板對邊均勻拉力q作用， 由于板內有微小圓孔，孔邊應力將遠大于距孔稍遠處的應力，稱應力集中問題。2a 本問題即是求解圖示彈性體的應力解答。qq2. 問題的分析以孔心作為原點建立坐標yxr（1）無孔時在極坐標系下yxba(r)r = b(r)r = bqqyxa（2）有孔時b應力分布將發(fā)生變化，但在距孔邊較遠處，其應力分布與無孔時幾乎一致。 因此用較大半徑 ba ，以孔心為圓心作圓， 該圓周上的應力即與無孔時的應力相同。(r)r = b(r)r = b 由截面法，以半徑為b的大圓將板截為內外半徑分別為a、b的圓環(huán)。 視圓周上的應力為圓環(huán)的面力，即 將面力分解為兩組，

12、即 問題轉化為圓環(huán)分別在兩組面力作用下應力解答的疊加。yxbaprpyxbaprpyxbapr3. 問題的求解 第一組解答 在第一組面力作用下，系圓環(huán)僅受外壓應力解答的軸對稱問題。=4. 問題的求解 第二組解答 在第二組面力作用下，圓環(huán)受非對稱荷載，系非對稱問題。用應力函數(shù)半逆解法求解。（1）應力函數(shù)由應力邊界條件可知，只要 r 不接近 a ，由應力分量與應力函數(shù)的關系可知，故設代入相容方程得解該Euler方程得所以（2）應力分量（3）邊界條件內邊界：外邊界：將應力分量代入聯(lián)立解之，并令所以5. 問題的應力解答解答的此形式稱為齊爾西（G. Kirsch）解6. 討論（1）應力集中孔邊（r a）

13、最大應力無孔時可見,應力集中系數(shù)（2）應力分布qqyxq3q 沿水平方向（ 0） q0.16q之后趨近于零，與無孔時的分布相同。 沿豎直方向（ 2）之后趨近于q，與無孔時的分布相同。 說明應力集中的影響范圍僅限于局部區(qū)域，與力的局部作用原理（圣維南原理）相同。yx（3）結果應用 雙向均勻拉壓矩形薄板，距邊界遠處開小圓孔的計算q2q1yxrq1y1x1r1分解為兩個齊爾西解疊加q2y2r2 2x2 均勻應力任意形狀薄板，距邊界遠處開小圓孔的計算yx1212xy 由無孔時計算所得的均勻應力狀態(tài)，計算任一點的主應力和主方向； 以主方向為x、y軸，以圓心為原點作矩形； 由于各點應力狀態(tài)相同，所以矩形兩

14、對邊的面力即為主應力。 問題化為。 需注意問題轉化前后研究點的坐標方位。 工程中近似計算孔邊應力的方法 先求出無孔時相應于圓孔中心處的應力分量 sx 、sy 、txy ；再由應力分量求出相應的主應力和主方向； 最后將圓孔附近部分當作沿兩個主方向受均布拉力 q1 = s1 及 q2 = s2 ，從而由前述的疊加法求得孔邊應力。非均勻應力狀態(tài)四. 楔形體的楔頂與楔面受力1. 楔頂受集中力作用xyOPr 楔形體頂角為，下端為無限長（單位厚度）。 求楔頂與楔面受力時的應力分布。 設集中力P與中心線的夾角為 。（1）應力函數(shù) 量綱分析法： 問題的條件中，所有的量僅有P (Nm)、r (m)、 。 要由這

15、些量構成應力的量綱 (Nm2)，只有且僅含 Pr 的一次項。所以，應力分量 r 1應力函數(shù)比應力分量高兩次 故設代入相容方程得即整理得所以xy線性項（2）應力分量（3）邊界條件楔面：自然滿足楔頂：截取含楔頂?shù)拿撾x體建立平衡關系。以楔頂為圓心任作一圓弧 ， 取其上部建立平衡方程。xyOPr0rrab將應力分量代入自然滿足積分得代入應力分量得密切爾（ Michell ）解答（4）討論 0 ：豎向力P作用 2 ：水平力P作用Pr正對稱分布反對稱分布Pr 當 r 0 時：r ，不可能（？） 、 0 ：半平面體邊界受法向力P作用PxyOr2. 楔頂受集中力偶作用xyOrM（1）應力函數(shù)應力分量 r 2

16、故設代入相容方程得 注意到集中力偶矩應為單位厚度的矩，即M 的量綱為(N) 。因此若受分布力作用，可由疊加法對上式積分。（2）應力分量 考慮到反對稱載荷下，對稱體的應力分布應反對稱。即r 應是 的奇函數(shù)，r 應是 的偶函數(shù)。所以，A 0（3）邊界條件楔面：自然滿足楔頂：以楔頂為圓心任作一圓弧 ， 取其上部建立平衡方程。自然滿足自然滿足聯(lián)立求解得xyOr0rrabM代入應力分量英格立斯（Inglis）解答3. 楔面受分布力作用Oxyrq（1）應力函數(shù)應力分量 r 0 故設 注意到分布力q 的量綱為(Nm2) 。因此，代入相容方程得（2）應力分量（3）邊界條件豎面：斜面：聯(lián)立求解回代應力分量（3）特例當 時，半平面體之半受均布力作用。qxyOr為便于應用，將其轉換到直角坐標系：五. 半平面體在法向力作用下的位移PxyOr1. 受集中力作用（1）應力分量（2）應變分量（3）位移分量由幾何方程由物理方程積分第一式代入第二式積分得將 ur、u 代入第三式，并整理得式中，H、I、J、K為任意常數(shù)由對稱性所以所以常數(shù) I 須由鉛垂方向（x方向）位移條件確定。 工程所關注的是邊界上的鉛垂位移（地面沉陷），即（4）邊界沉陷由于常數(shù) I 無法確定，所以只能求