指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)PPT課件

1、第三節(jié) 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)1.理解指數(shù)、對(duì)數(shù)的概念，熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；2.理解指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，了解其圖象特征，掌握并會(huì)應(yīng)用其單調(diào)性；3.知道指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是重要的一類函數(shù)模型，具有廣泛的應(yīng)用；4.了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù). 1.指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算，是高考中運(yùn)算能力考查的重點(diǎn).2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)作為中學(xué)階段的基本函數(shù)，其圖象、性質(zhì)是重要的考查熱點(diǎn)；指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)模型是函數(shù)應(yīng)用的基本模型，與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的題目幾乎年年考.3.考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)基本性質(zhì)和簡(jiǎn)單運(yùn)算的題目一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；考查其性質(zhì)綜合應(yīng)用的題目經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，在解答題中出現(xiàn).

2、指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算高考指數(shù):1.(2012安徽高考)(log29)(log34)=( )(A) (B) (C)2 (D)4【解題指南】先利用換底公式將各個(gè)對(duì)數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值.【解析】選D. 2.(2010浙江高考)已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),若f()=1,則=( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】選B.f()=log2(+1)=1,+1=2,=1.3.(2010遼寧高考)設(shè)2a=5b=m， 2，則m=( )(A) (B)10 (C)20 (D)100【解析】選A.由2a=5b=m得a=log2m,b=log5m, 故選A.4.(2012北京高考)已

3、知函數(shù)f(x)=lgx，若f(ab)=1，則f(a2)+f(b2)=_.【解析】f(ab)=lg(ab)=1,ab=10.f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(a2b2)=lg100=2.答案：2 指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)高考指數(shù):5.(2012天津高考)已知a=212,b=( )-0.5,c=2log52,則a,b,c的大小關(guān)系為( )(A)cba (B)cab(C)bac (D)bca【解析】選A.a=212，b= ，c=log54,1b2,0c1,abc,所以選A.6.(2011北京高考)如果 那么( )(A)yx1 (B)xy1(C)1xy (D)1yx【解題指南】利用對(duì)數(shù)函數(shù)

4、的單調(diào)性求解，注意題干中對(duì)數(shù)的底數(shù)為 .【解析】選D.y= 為(0,+)上的減函數(shù)，又 ,1yx.7.(2010山東高考)函數(shù)f(x)=log2(3x+1)的值域?yàn)? )(A)(0,+) (B)0,+)(C)(1,+) (D)1,+)【解析】選A.因?yàn)?x+11,函數(shù)y=log2x在(0,+)上單調(diào)遞增，所以f(x)log21=0,故選A.8.(2010廣東高考)函數(shù)f(x)=lg(x-1)的定義域是( )(A)(2，+) (B)(1,+)(C)1，+) (D)2，+)【解析】選B.由x-10得x1.9.(2010北京高考)給定函數(shù)其中在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是( )(A) (B)

5、 (C) (D)【解析】選B.各函數(shù)在(0，1)上的單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減；單調(diào)遞增.10.(2010天津高考)設(shè)a=log54,b=(log53)2,c=log45,則( )(A)acb (B)bca(C)abc (D)ba0，y0，函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)”的是( )(A)冪函數(shù) (B)對(duì)數(shù)函數(shù)(C)指數(shù)函數(shù) (D)余弦函數(shù)【解析】選C.因?yàn)閷?duì)任意的x0，y0，等式(x+y)a=xaya、loga(x+y)=logaxlogay、cos(x+y)=cosxcosy不恒成立，故f(x)不是冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，所以A、B、D錯(cuò)誤；事實(shí)上對(duì)任意的x0，y0

6、，ax+y=axay恒成立，故選C.12.(2011江蘇高考)函數(shù)f(x)=log5(2x+1)的單調(diào)增區(qū)間是_.【解題指南】本題考查的是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題，解題的關(guān)鍵是找出定義域和增區(qū)間的交集.【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，2x+10，解得x- ，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(- ,+).答案：(- ,+) 指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象高考指數(shù):13.(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)當(dāng)0 x 時(shí)，4xlogax，則a的取值范圍是( )【解析】選B.由04x0，可得0a1，由 =loga 可得a= .令f(x)=4x，g(x)=logax，若4xlogax，則說明當(dāng)0 .綜上可得a的取

7、值范圍是( ,1).14.(2012四川高考)函數(shù)y=ax-a(a0,且a1)的圖象可能是( )【解析】選C. 選項(xiàng)具體分析結(jié)論A圖為指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)的圖象，不合題意.錯(cuò)誤B當(dāng)x=1時(shí)，y=a-a=0，B圖中x=1時(shí)，y0不合題意.錯(cuò)誤 C由圖知0a1，由y=ax(0a1)的圖象向下平移a個(gè)單位即得此圖象.正確D當(dāng)x=1時(shí)，y=a-a=0，D圖中x=1時(shí)，yf(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )(A)(-1，0)(0，1) (B)(-，-1)(1,+)(C)(-1，0)(1,+) (D)(-，-1)(0,1)【解析】選C.當(dāng)a0，即-af(-a)知log2a ，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出y=

8、log2x和y= 函數(shù)的圖象，由圖象可得a1；當(dāng)a0時(shí)，同理可得-1a0，綜上可得a的取值范圍是(-1，0)(1,+).【誤區(qū)警示】對(duì)于分段函數(shù)一定要注意不同區(qū)間上對(duì)應(yīng)函數(shù)的不同，對(duì)于含參不等式要對(duì)參數(shù)分類討論. 指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算【典例1】(2012重慶高考)已知a=log23+log2 ，b=log29-log2 ，c=log32，則a，b，c的大小關(guān)系是( )(A)a=bc(C)abbc【解題視角】由題目獲取已知信息并分析如下：(1)已知信息：已知條件中均為對(duì)數(shù)式,題目要求比較大小.(2)信息分析:根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則變形,然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】選B.a=log23+log

9、2 =log23 log22=1,b=log29-log2 =log23 =a1,c=log32log33=1,所以a=bc.【命題人揭秘】命題規(guī)律：縱觀歷年來高考試題，該高頻考點(diǎn)呈現(xiàn)如下命題規(guī)律：(1)考查內(nèi)容主要有：指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).(2)命題類型有：求含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的函數(shù)式的值，比較冪值、對(duì)數(shù)值的大小，解指數(shù)、對(duì)數(shù)型不等式.(3)考查形式：主要以選擇題、填空題的形式考查，難度不大,屬低檔題.備考策略：指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要組成部分，是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的重要工具，在高考中經(jīng)常考查.學(xué)好該部分知識(shí)的主要方法就是在理解

10、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式意義的基礎(chǔ)上，熟記運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)定義域、值域，加強(qiáng)針對(duì)性練習(xí)，掌握化同底的方法,善于利用函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合解決難度較大的問題. 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)【典例2】(2011天津高考)已知a=log23.6,b=log43.2,c= log43.6則( )(A)abc (B)acb(C)bac (D)cab【解題視角】由題目獲取已知信息并分析如下：(1)已知信息：a,b,c是三個(gè)對(duì)數(shù)值，a的底數(shù)為2，b,c為底數(shù)為4的對(duì)數(shù).(2)信息分析:先與1比較，再看真數(shù)或底數(shù)，b與c的底數(shù)相同，可利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性比較.【規(guī)范解答】選B.因?yàn)閍=log23.61，0c=lo

11、g43.6log43.2=b,所以選B.【命題人揭秘】命題規(guī)律：縱觀歷年來高考試題，該高頻考點(diǎn)呈現(xiàn)如下命題規(guī)律：(1)考查內(nèi)容主要有：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，定義域，值域，單調(diào)性.(2)命題類型有：比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)定義域、值域，求函數(shù)最值，解不等式等.(3)考查形式：多為選擇題、填空題，有時(shí)也會(huì)在解答題中出現(xiàn).在選擇、填空題中出現(xiàn)時(shí)一般為低中檔難度，在解答題中出現(xiàn)時(shí)有時(shí)難度較大，為中等偏上難度.備考策略：1.對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該首先對(duì)函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、圖象研究透徹，能熟練繪制函數(shù)圖象，并總結(jié)不同底數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特征，函數(shù)值的變化規(guī)律.2.要靈活掌握數(shù)形結(jié)合

12、方法的運(yùn)用，強(qiáng)化訓(xùn)練借助圖象分析、解決數(shù)量關(guān)系的能力. 性質(zhì)運(yùn)用不當(dāng)致誤【典例3】(2011重慶高考)設(shè)則a,b,c的大小關(guān)系是( )(A)abc (B)cba(C)bac (D)bca【解題視角】由題目獲取已知信息并分析如下：(1)已知信息：a,b,c是三個(gè)不同的對(duì)數(shù)值，(2)信息分析:先根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化成同底數(shù)的形式,再借助對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較.【規(guī)范解答】選B.由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知 由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知 即cb1且nN*當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)零的n次方根是零當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù) (a0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根2.有理

13、數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)(1)冪的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： =_(a0,m、nN*,且n1);負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： =_= _(a0,m、nN*,且n1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras=ar+s(a0,r,sQ);(ar)s=ars(a0,r,sQ);(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).【狀元心得】?jī)绲幕?jiǎn)原則及要求(1)化簡(jiǎn)原則：化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)；化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；注意運(yùn)算的先后順序.(2)底數(shù)要求：有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于0，否則不能用性質(zhì)來運(yùn)算.(3)結(jié)果要求：結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分

14、母又有負(fù)指數(shù)冪. 對(duì)數(shù)運(yùn)算1.對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義如果ax=N(a0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)兩種常見對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式特 點(diǎn)記 法常用對(duì)數(shù)底數(shù)為10lgN自然對(duì)數(shù)底數(shù)為e(e=2.718 28)lnN2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)性 質(zhì)loga1=0,logaa=1, =N換底公式 (a、c均大于0且不等于1,b0)運(yùn)算性質(zhì)如果a0且a1,M0,N0,那么:loga(MN)=_, =_,logaMn=_.logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM(nR)【狀元心得】1.對(duì)數(shù)運(yùn)算的兩個(gè)重要結(jié)論(1) (

15、a0,且a1,n0，b0)(2) (a0且a1,b0且b1)2.對(duì)數(shù)運(yùn)算技巧在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并，在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)互化.3.對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)求值的思路(1)利用換底公式及 盡量地轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的和、差、積、商運(yùn)算.(2)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.將對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的積、商、冪運(yùn)算. 指數(shù)函數(shù)及其圖象、性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=ax(a0,a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量.2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=axa10a0時(shí)，y1;x0時(shí),0y0時(shí)，0y1;x1(3)在R上是

16、增函數(shù)(3)在R上是減函數(shù)【狀元心得】1.指數(shù)函數(shù)的三個(gè)特征(1)底數(shù)：底數(shù)為大于0且不為1的常數(shù)；(2)自變量x：自變量x為指數(shù)；(3)系數(shù)：ax系數(shù)為1.2.重要性質(zhì)單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)，在解決比較冪值大小，解答冪指數(shù)不等式中有重要應(yīng)用. 【特別提醒】(1)指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a1)的圖象和性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a1與0a0,且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0,a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.【狀元心得】1.對(duì)數(shù)函數(shù)的三個(gè)特征(1)底數(shù)：底數(shù)為大于0且不為1的常數(shù)；(2)真

17、數(shù)：自變量x0；(3)系數(shù)：logax的系數(shù)為1.2.重要性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是比較對(duì)數(shù)值、解對(duì)數(shù)不等式的重要依據(jù).3.方法技巧要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象.因此要掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.【特別提醒】(1)圖象和性質(zhì)與底數(shù)和1的大小有關(guān)；(2)三點(diǎn)( ,-1),(1,0),(a,1)確定圖象的大致輪廓. 忽略對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的限制條件導(dǎo)致失誤 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的取值有關(guān)，底數(shù)大于1時(shí)，兩函數(shù)都是增函數(shù)，底數(shù)大于0小于1時(shí)都是減函數(shù)，在應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性時(shí)，有些同學(xué)往往忽視這一點(diǎn)而導(dǎo)致錯(cuò)解.【示例】已知：y1=loga(x2-x),y2=loga(-2x)(a

18、0且a1),若y1 y2,求x的取值范圍.【易錯(cuò)易混區(qū)】【錯(cuò)解】因?yàn)閥1 y2，所以loga(x2-x)loga(-2x),x2-x-2xx2+x0 x0或x1,函數(shù)是增函數(shù).【自我校正】【解析】函數(shù)y1=loga(x2-x)的定義域?yàn)椋簒|x1,或x0, y2=loga(-2x)定義域?yàn)閤|x0 ，公共定義域?yàn)閤|x1時(shí)，y1y2, x-1.當(dāng)0ay2, -1x1時(shí)x的取值范圍是(-,-1)，當(dāng)0a0得t1,所以f(x)= (x1).【錯(cuò)因】錯(cuò)解中忽視了換元后“新元”的取值范圍，沒有考慮到變量t的范圍受到x2-3的限制.【自我校正】【解析】由題意知 0,即x2或x1 將x2=t+3代入函數(shù)式得f(t)= ，由 0得t1 由得，