2022年河北省藁城市高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1某學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學有34人，則的值為（ ）A100B1000C90D

2、902在中，“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件3函數(shù)的圖象大致是( )ABCD4是的（ ）條件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要5如圖在直角坐標系中，過原點作曲線的切線，切點為，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為、，在矩形中隨機選取一點，則它在陰影部分的概率為（ ）ABCD6若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個實數(shù)，均存在以，為邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD7已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，若，則的解集是（ ）ABCD8如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，且，則與面所成角的正弦值等于（ ）ABCD9已知集合，則（ ）AB

3、C或D10要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A向右平移個單位B向右平移個單位C向左平移個單位D向左平移個單位11函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，點的坐標為，若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，則的最小值為（ ）ABCD12已知函數(shù)，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13記數(shù)列的前項和為，已知，且.若，則實數(shù)的取值范圍為_.14函數(shù)的定義域為_.15已知四棱錐，底面四邊形為正方形，四棱錐的體積為，在該四棱錐內放置一球，則球體積的最大值為_16正四棱柱中，.若是側面內的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為_.三、解

4、答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在，角、所對的邊分別為、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.18（12分）設函數(shù)，（）.（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數(shù)a、m的值；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）關于x的方程能否有三個不同的實根？證明你的結論.19（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于兩點，求的值.20（12分）已知三點在拋物線上.（）當點的坐標為時，若直線

5、過點，求此時直線與直線的斜率之積；（）當，且時，求面積的最小值.21（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右準線方程為x2，且兩焦點與短軸的一個頂點構成等腰直角三角形（1）求橢圓C的方程；（2）假設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點若A為橢圓的上頂點，M為線段AB中點，連接OM并延長交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長；若原點O到直線l的距離為1，并且OAOB=，當4556時，求OAB的面積S的范圍22（10分）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小

6、題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】利用頻率分布直方圖得到支出在的同學的頻率，再結合支出在（單位：元）的同學有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學的頻率為故選：A【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用，考查了學生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.2C【解析】由余弦函數(shù)的單調性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且，由，可得，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定，同時

7、也考查了余弦函數(shù)的單調性、大角對大邊以及正弦定理的應用，考查推理能力，屬于中等題.3B【解析】根據(jù)函數(shù)表達式,把分母設為新函數(shù),首先計算函數(shù)定義域,然后求導,根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)單調性,對應函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設，則的定義域為.，當，單增，當，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運算,同學們還可以用特殊值法等方法進行判斷.4B【解析】利用充分條件、必要條件與集合包含關系之間的等價關系，即可得出。【詳解】設對應的集合是，由解得且 對應的集合是 ，所以，故是的必要不充分條件，故選B?！军c睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方

8、法集合關系法。設 ，如果，則是的充分條件；如果B則是的充分不必要條件；如果，則是的必要條件；如果，則是的必要不充分條件。5A【解析】設所求切線的方程為，聯(lián)立，消去得出關于的方程，可得出，求出的值，進而求得切點的坐標，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設所求切線的方程為，則，聯(lián)立，消去得，由，解得，方程為，解得，則點，所以，陰影部分區(qū)域的面積為，矩形的面積為，因此，所求概率為.故選：A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型，同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.6D【解析】利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)

9、三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù)，均存在以，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當、時，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.7B【解析】利用函數(shù)奇偶性可求得在時的解析式和，進而構造出不等式求得結果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.當時，為奇函數(shù)，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對稱區(qū)間的解析式

10、；易錯點是忽略奇函數(shù)在處有意義時，的情況.8A【解析】首先找出與面所成角，根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，可知，同時易知，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.9D【解析】首先求出集合，再根據(jù)補集的定義計算可得；【詳解】解：，解得，.故選：D【點睛】本題考查補集的概念及運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎題.10D【解析】直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結論即可；【詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖

11、象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位故選：D【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應用問題，屬于基礎題11B【解析】根據(jù)圖象以及題中所給的條件，求出和，即可求得的解析式，再通過平移變換函數(shù)圖象關于軸對稱，求得的最小值.【詳解】由于，函數(shù)最高點與最低點的高度差為，所以函數(shù)的半個周期，所以，又，則有，可得，所以，將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，即平移后為偶函數(shù)，所以的最小值為1，故選：B.【點睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關鍵，要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關系，屬于簡單題目.12D【解析】由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù), 由恒成立,求解參數(shù)即可求得

12、取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調增函數(shù).則恒成立. .令,則時,單調遞減,時單調遞增.故選:D.【點睛】本題考查構造函數(shù),借助單調性定義判斷新函數(shù)的單調性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據(jù)遞推公式，以及之間的關系，即可容易求得，再根據(jù)數(shù)列的單調性，求得其最大值，則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當時，解得.所以.因為，則，兩式相減，可得，即，則.兩式相減，可得.所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，則.令，則.當時，數(shù)列單調遞減，而，故，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】

13、本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式，涉及數(shù)列單調性的判斷，屬綜合困難題.14【解析】由題意可得，解不等式可求【詳解】解：由題意可得，解可得，故答案為【點睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，屬于基礎題15【解析】由題知，該四棱錐為正四棱錐，作出該正四棱錐的高和斜高，連接，則球心O必在的邊上，設，由球與四棱錐的內切關系可知，設，用和表示四棱錐的體積，解得和的關系，進而表示出內切球的半徑，并求出半徑的最大值，進而求出球的體積的最大值.【詳解】設，由球O內切于四棱錐可知，則，球O的半徑，當且僅當時，等號成立，此時.故答案為：.【點睛】本題考查了棱錐的體積問題，內切球問題，考查空間想象能力，屬于較難的

14、填空壓軸題.162.【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結果.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，則，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當時，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一般是建立空間直角坐標，在動點坐標內引入?yún)?shù)，將最值問題轉化為函數(shù)的最值問題求解，考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1) (2)答案不唯一，見

15、解析【解析】（1）由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系可得的值；（2）在中，由余弦定理可得，解方程分別由三角形面積公式可得答案【詳解】解：（1）在中，因為，又已知，所以，因為，所以，于是.所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，當時，的面積，當時，的面積.【點睛】本題考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面積公式和分類討論思想，屬于中檔題18（1），；（2）；（3）不能，證明見解析【解析】（1）求出，結合導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）構造，則原題等價于對任意恒成立，即時，利用導數(shù)求最值即可，值得注意的是，可以通過代特殊值，由求出的范圍，再研究該范圍下單調性；（3）構

16、造并進行求導，研究單調性，結合函數(shù)零點存在性定理證明即可.【詳解】（1），曲線在點處的切線方程為，解得.（2）記，整理得，由題知，對任意恒成立，對任意恒成立，即時，解得，當時，對任意，即在單調遞增，此時，實數(shù)的取值范圍為.（3）關于的方程不可能有三個不同的實根，以下給出證明：記，則關于的方程有三個不同的實根，等價于函數(shù)有三個零點，當時，記，則，在單調遞增，即，在單調遞增，至多有一個零點；當時，記，則，在單調遞增，即在單調遞增，至多有一個零點，則至多有兩個單調區(qū)間，至多有兩個零點.因此，不可能有三個零點.關于的方程不可能有三個不同的實根.【點睛】本題考查了導數(shù)幾何意義的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)單調

17、性以及函數(shù)的零點存在性定理，考查了轉化與化歸的數(shù)學思想，屬于難題.19（1）；（2）【解析】（1）直接利用轉換關系的應用，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）利用（1）的結論，進一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關系式的應用求出結果.【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉換為直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為.轉換為，轉換為直角坐標方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉換為標準式為（為參數(shù)），代入圓的直角坐標方程整理得，所以，.【點睛】本題屬于基礎本題考查的知識要點：主要考查極坐標，參數(shù)方程與普通方程互化，及求三角形面積需要熟記極坐標系與參數(shù)方程的公式，及與解析幾

18、何相關的直線與曲線位置關系的一些解題思路20（）；（）16.【解析】（）設出直線的方程并代入拋物線方程，利用韋達定理以及斜率公式，變形可得；（）利用，的斜率，求得的坐標，再用基本不等式求得的最小值，從而可得三角形的面積的最小值【詳解】解：（）設直線的方程為. 聯(lián)立方程組，得，故，. 所以；（）不妨設的三個頂點中的兩個頂點在軸右側（包括軸），設，的斜率為，又，則， 因為，所以由 得，（且）從而當且僅當時取“”號，從而，所以面積的最小值為.【點睛】本題考查了直線與拋物線的綜合，屬于中檔題21（1）x22+y2=1；（2）OB=173；106,225.【解析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質可得到a2，b2

19、；（2）聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長公式可求得弦長AB，利用點到直線的距離公式求得原點到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調性求最值可得值域【詳解】（1）因為兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成等腰直角三角形，所以a=2c，又由右準線方程為x=2，得到a2c=2，解得a=2,c=1，所以b2=a2-c2=1 所以，橢圓C的方程為x22+y2=1 （2）設B(x1,y1)，而A(0,1)，則M(x12,1+y12)， ON=62OM， N(6x14,6(1+y1)4)因為點B,N都在橢圓上，所以x122+y12=13x1216+3(1+y1)28=1，將下式兩邊同時乘以83再減去上式，解得y1=

20、13，x12=169 所以OB=x12+y12=169+(13)2=173 由原點O到直線l的距離為1，得|m|1+k2=1，化簡得：1+k2=m2 聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程：y=kx+mx22+y2=1，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0設A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2，且=8k20 OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)2m2-21+2k2-4k2m21+2k2+m2=2m2-2+2k2m2-2k2-4k2m2+m2+2k2m21+2k2 =3m2-2-2k21+2k2=1+k21+2k2=，所以k2=1-2-1OAB的面積S=121AB=121+k2|x1-x2|=121+k2(x1+x2)2-4x1x2=121+k28k2(1+2k2)2=2(1+k2)k2(1+2k2)2=2(1-)，因為S=2(1-)在45,56為單調減函數(shù)，并且當=45時，S=225，當=56時，S