空間幾何體及其表面積和體積知識點(diǎn)及題型歸納總結(jié)

1、空間幾何體及其表面積和體積知識點(diǎn)及題型歸納總結(jié)知識點(diǎn)精講一、構(gòu)成空間幾何體的基本元素點(diǎn)、線、面（1）空間中，點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體.（1）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間 圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）.二、簡單凸多面體棱柱、棱錐、棱臺1棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由 這些面所圍成的多面體叫做棱柱.（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)

2、棱垂直于底面的平行六面體；（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長方體.2棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做 棱錐.（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.3棱臺：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得 的棱臺叫做正棱臺.簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖8-1所示.直平行六面體正多面體梗雉一正梗錐正西面板正四梗柱08-1三、簡單旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺、球 1圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的

3、面所圍成的幾何體叫做圓柱.2圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做 圓錐.3圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.4球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距 離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長度）.四、組合體由柱體、椎體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.五、表面積與體積計(jì)算公式（見表8-1和8-2）表8-1表面積柱體S直棱柱二c + 2s底S斜棱柱c l + 2 S底（c為直截面周長）S = 2 兀 r 2 + 2 兀 rl = 2 兀 r （r +1

4、）圓錐椎體S=1 nah + S正棱錐 2底S=兀 r 2 +兀 rl =兀 r (r +1)4臺體S= 1 n (a + a) h + S + S正棱臺 2上下S-n( r2 + r 2 + rl + rl)圓臺I球S = 4 兀 R 2表8-2臺體7臺= 3(S + Sss7 + S) h公球V = 3 兀 R 3題型歸納及思路提示題型1幾何體的表面積與體積思路提示熟悉幾何體的表面積、體積的基本公式，注意直角等特殊角.例8-1三棱錐P- ABC的側(cè)棱PA， PB，PC兩兩垂直，側(cè)面積分別是6， 4，3，則三棱錐的表面積是，體積是.解析 如圖 8-2 所示，設(shè)PA = a， PB = b，

5、PC = c（a， b， c 0），/ 6產(chǎn)二 12則k=4，得 bc = 8 ,二式相乘得a2b2c2 =I2| ca = 6、c = 3因此|a = 4 ,又側(cè)棱PA, PB, PC兩兩垂直, c = 2b12x8x6 ,所以abc = 24 ,AB = Ja 2 + b2 = 5所以I BC =曲2 + c2 = 2屈CA =c 2 + a 2 = /T4由余弦定理可得BC 2 + CA 2 AB 2 BC 2 + CA 2 AB 2cos / BCA =2 BC gJA2 BC gJA TOC o 1-5 h z Qy5 ) + (l3 )- AB 222 X 2 君 八：1365，所

6、以 S 表=6 + 4 + 3 +%百=13 +、.,61 ,體積V = abc = x24 = 4 . 66評注：若三棱錐P- ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直，則類比直角三角形中的勾股定理有，S2 = S2 + S2 + S2(本題S = V62 + 42 + 32 = V61 ), V=1 PAgPBgPC .V ABC V PAB V PBC V PCAABCP - ABC 6變式1如圖8-3所示，在VABC中，/ABC = 45o,/BAC = 90o , AD是BC邊上的高，沿AD把VABD折起，使/BDC = 90o .若BD = 1 ,求三棱錐D ABC的表面積.圖8-3變

7、式 2 如圖 8-4(a)所示，/ACB = 45o, BC = 3且異于點(diǎn)B ,連接AB，沿AD將VABD折起, 為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大.(a)BE圖 8-4(b)變式3已知正四棱錐S ABCD中，SA = 273 ,A. 1B.拒C. 2,過動點(diǎn)A作AD BC ,垂足D在線段BC上使/BDC = 90o (如圖8-4(b)所示).當(dāng)BD的長MX那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí), 它的高為( ).D.3例8.2如圖8-5所示，在長方體ABCD A1 B1C1 D1中，AB = AD = 3cm , AA1 = 2cm ,則四棱錐A BB1 D1 D的體積為 cm3 TOC o 1-5

8、h z 圖8-S圖8 6解析如圖8-6所示，連接AC交BD于O ,在該長方體中AB = AD = 3cm ,故底面ABCD為正方3 t2形，即AO BD ,且AO = cm ,又顯然平面BBDD L 平面ABCD，故AO 平面 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 2111=BD 義 BB 義 AO =BB1D1D . HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 義 3% 2 義 2 *2 = 6 (cm3) 32變式1 （2012山東理14）如圖8-7所示，正方體ABCD - ABCD的棱長為1, E, F

9、分別為線段 1111AA ,BC上的點(diǎn)，則三棱錐D -EDF的體積為11圖-7思路提示半徑為R的球O ,表面積S = 4nR2 ,體積V = 4幾R3 ;球面上A,B兩點(diǎn)的球面距離為a R , 其中a =ZAOB （弧度制）.這里可知球的表面積、體積計(jì)算實(shí)質(zhì)是求半徑.例8.3已知三個(gè)球的半徑R1,R2,R3滿足R1 + 2R2 = 3R3 ,則他們的表面積S 1,S2,S3滿足的等量關(guān)系 是 .解析S1= 4 冗 R12,即 R1=唾,同理得R 2= 2SZ,R3 = gZ ,由R1 + 2 R2 = 3 R3得R-1R2變式2正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為(A.B. 1:3C. 1:3

10、73D. 1:9題型2思路提示幾何體的外接球與內(nèi)切球變式1若球O , O 的表面積之比S = 4，則他們的半徑之比 12S24(1)半徑為R的球O ,表面積S = 4冗R2 ,體積V = 3幾R3設(shè)小圓O 半徑為r,OO = d ,則d2 + r2 = R2 ;若A,B 是O 上兩點(diǎn)，則11/AOB/AOBAB = 2 r sin= 2 R sin22(3)作出關(guān)鍵的軸截面, 在此軸截面內(nèi)尋找集合體的棱長或母線長與球之間關(guān)系.32例8.4已知正方體外接球的體積是y九, 那么正方形的棱長等于( )A. 2V223艮亍C.4；3D. 丁分析 正方體外接球的直徑為正方體的體對角線.解析設(shè)正方體的棱長

11、為。，外接球半徑為R ,則4兀R3 32兀3 =亍 n2 R = 33aR=243 .故選D. a =3變式1一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上, 且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱額長分別為1,2,3,則此球的表 面積為 .變式2正四面體的棱長為工；2 ,則該正四面體的外接球的表面積為 例&5正三棱柱ABC-AiBq內(nèi)接于半徑為2的球，若A，B兩點(diǎn)的球面距離為兀，則正三棱柱的體積為解析 設(shè)O 為球心，由題意知2xZAOB=n,”.ZAOB n AB = 2 x 2sm2，八兀ZAOB =_2 ,底面圓的半徑為：AB = 22AB2 t2 26_ 一 =- = , 則U正三棱柱的高為2x2sin上八 33

12、22 -24 3, 所以正三棱柱的體積為義以2)義433 = 8111變式1直三棱柱ABC - ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB = AC = AA = 2, / BAC = 120。，則此球的表面積等于變式2直三棱柱ABC - ABC的1116個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上，AB = 3, AC = 4, AB 1 AC, AA1 = 12 ,則球O的半徑為( ).3 17A. 2B. 2 1013C.2D. 3 10則該3 3A. TB.解析設(shè)正三棱錐的底面邊長為。-a- = 2sin 3h=11 、；3 一V = -x a 2h3 4a = 3-3 .故選C.V = -4變式1已知S,A,

13、B,C是球O表面上的點(diǎn),平面 ABC, AB BC,A = AB = 1,BC = 2,則例8.6 一個(gè)正三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上,其中底面的3個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上, 正三棱錐的體積是(的表面積等于( )4兀3冗2兀D.九變式2已知三棱錐S- ABC的所有頂點(diǎn)都在球O 為O的直徑，且SC = 2 ,則此棱錐的體積為(的球面上, VABC 是邊長為 1 的正三角形, ).SCA 二 B. f T D. V6632變式3高為彳2的四棱錐S- ABCD的底面是邊長為1的正方形，點(diǎn)S, A,B,C,D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為()A.B.C. 1 D.、:2最有效訓(xùn)練題.若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120 o ,半徑為l的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比是 ().A. 3:2 B. 2:1 C. 4:3 D. 5:3. 一個(gè)長方體上一個(gè)頂點(diǎn)所在的三個(gè)面的面積分別是五，瓜工,這個(gè)長方體的體對角線長為().A. 23 B. 3 c2C. 6D. 6.如圖8-8所示，在等腰梯形ABCD中，AB = 2DC = 2,/DAB = 60o , 為AB的中點(diǎn)，將VADE與VBEC分別沿ED和EC向上折起，使A, B重合于點(diǎn)P ,則三棱錐P - DCE的外接球的體積5.側(cè)