北京市通州區(qū)2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1點在所在的平面內(nèi)，且，則（ ）ABCD2若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解，則實數(shù)的最小值為（ ）ABCD3已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內(nèi)角為，若對任意的恒成立，則實數(shù)（ ）.A6B5C4D34若干年前，某

2、教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（ ）. A6500元B7000元C7500元D8000元5中，角的對邊分別為，若，則的面積為（ ）ABCD6當(dāng)輸入的實數(shù)時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（ ）ABCD7已知集合A，B=,則AB=ABCD8已知橢圓+=1(ab0)與直線交于A，B兩點，焦點F(0，-c)，其中c為半焦距，若ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（ ）ABCD9設(shè)i是虛數(shù)單位，

3、若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則m的值為（ ）ABC1D310已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有（ ）A0B1C2D311已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（ ）AB1CDi12在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線上，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知隨機變量，且，則_14下圖是一個算法流程圖,則輸出的的值為_15我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四問人數(shù)、物價各幾何？”設(shè)人數(shù)、物價分別為、，滿足，則_，_16在的二項展開式中，x的系數(shù)為_（用數(shù)值作答）三、解答題：共

4、70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線l過點，且傾斜角為，以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，并判斷曲線C是什么曲線；設(shè)直線l與曲線C相交與M，N兩點，當(dāng)，求的值18（12分）記函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若正數(shù)，滿足，證明：.19（12分）已知函數(shù)的最小正周期是，且當(dāng)時，取得最大值（1）求的解析式；（2）作出在上的圖象（要列表）20（12分）對于很多人來說，提前消費的認(rèn)識首先是源于信用卡，在那個工資不高的年代，信用卡絕對是神器，稍微大件的東西都是可以選擇用

5、信用卡來買，甚至于分期買，然后慢慢還！現(xiàn)在銀行貸款也是很風(fēng)靡的，從房貸到車貸到一般的現(xiàn)金貸信用卡“忽如一夜春風(fēng)來”，遍布了各大小城市的大街小巷為了解信用卡在市的使用情況，某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了100人進(jìn)行抽樣分析，得到如下列聯(lián)表（單位：人）經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計40歲及以下15355040歲以上203050合計3565100（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)？（2）現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中，按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機

6、選出4人贈送積分，求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率；將頻率視為概率，從市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機抽取3人贈送禮品，記其中經(jīng)常使用信用卡的人數(shù)為，求隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521（12分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N分別是AC，B1C1的中點求證：（1）MN平面ABB1A1；（2）ANA1B22（10分）設(shè)數(shù)列的前列項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小

7、題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】確定點為外心，代入化簡得到，再根據(jù)計算得到答案.【詳解】由可知，點為外心，則，又，所以因為，聯(lián)立方程可得，因為，所以，即故選：【點睛】本題考查了向量模長的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.2A【解析】根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性即可得到實數(shù)的最小值【詳解】因為不等式有正整數(shù)解，所以，于是轉(zhuǎn)化為， 顯然不是不等式的解，當(dāng)時，所以可變形為令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時，故，解得故選：A【點睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的

8、應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題3C【解析】若對任意的恒成立，則為的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值時的n即可.【詳解】由已知，又三角形有一個內(nèi)角為，所以，解得或（舍），故，當(dāng)時，取得最大值，所以.故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的最值問題，考查學(xué)生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題.4D【解析】設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：600015%x10%1解得x2故選D【點睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題5A【解析】先求出，由正弦定理求得，然后由面積公式計算【詳解】由題

9、意，由得，故選：A【點睛】本題考查求三角形面積，考查正弦定理，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式，解題時要根據(jù)已知求值要求確定解題思路，確定選用公式順序，以便正確快速求解6A【解析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7A【解析】先解A、B集合，再取交集?！驹斀狻?所以B集合與A集合的交集為，故選A【點睛】一般地，把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。8A【解

10、析】聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A，B兩點，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式，解方程求解即可.【詳解】聯(lián)立方程，解方程可得或，不妨設(shè)A(0，a)，B(-b，0)，由題意可知，=0，因為，由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得， 因為，所以a2-c2=ac，兩邊同時除以可得，解得e=或（舍去），所以該橢圓的離心率為.故選：A【點睛】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示；考查運算求解能力和知識遷移能力；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.9A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運算化簡

11、可得，因為是純虛數(shù)，所以，故選：A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運算，屬于基礎(chǔ)題.10C【解析】設(shè)切點為，則，由于直線經(jīng)過點，可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關(guān)于的方程，從而可求方程【詳解】若直線與曲線切于點，則，又，解得，過點與曲線相切的直線方程為或，故選C【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題11A【解析】由虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)可得，則答案可求.【詳解】解：，則化為，z的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查了虛數(shù)單

12、位i的運算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.12C【解析】利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，將化簡為關(guān)于的形式，結(jié)合終邊所在的直線可知的值，從而可求的值.【詳解】因為，且，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式，屬于給角求值類型的問題，難度一般.求解值的兩種方法：（1）分別求解出的值，再求出結(jié)果；（2）將變形為，利用的值求出結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。130.1【解析】根據(jù)原則，可得，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：隨機變量，則期望為所以故答案為：【點睛】本題考查正態(tài)分布的計算，掌握正態(tài)曲線的圖形以及計算，屬基礎(chǔ)題.143【解析

13、】分析程序中各變量、各語句的作用,根據(jù)流程圖所示的順序,即可得出結(jié)論.【詳解】解:初始,第一次循環(huán): ;第二次循環(huán): ;第三次循環(huán): ;經(jīng)判斷,此時跳出循環(huán),輸出.故答案為:【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是對算法語句的理解,屬基礎(chǔ)題.15 【解析】利用已知條件，通過求解方程組即可得到結(jié)果【詳解】設(shè)人數(shù)、物價分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，方程組的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題16-40【解析】由題意，可先由公式得出二項展開式的通項，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項的系數(shù)【詳解】的二項展開式的通項公式為，r=0，1，2，3，4，5

14、，令，所以的二項展開式中x項的系數(shù)為.故答案為：-40.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 () 曲線是焦點在軸上的橢圓；()【解析】試題分析：（1）由題易知，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），；曲線的直角坐標(biāo)方程為，橢圓；（2）將直線代入橢圓得到，所以，解得試題解析：()直線的參數(shù)方程為. 曲線的直角坐標(biāo)方程為，即， 所以曲線是焦點在軸上的橢圓. ()將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程為得， 得， ，18（1）（2）證明見解析【解析】（1）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不

15、等式進(jìn)行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一：（1）當(dāng)時，當(dāng)，當(dāng)時，所以解法二：（1）如圖當(dāng)時，解法三：（1）當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.當(dāng)時解法一：（2）由題意可知，因為，所以要證明不等式，只需證明，因為成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因為，所以，又因為，所以，所以，原不等式得證.補充：解法三：（2）由題意可知，因為，所以要證明不等式，只需證明，由柯西不等式得：成立，所以原不等式成立.【點睛】本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解，不等式的證明，絕對值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力.19（1）；（2）見解析.【解析】（1）

16、根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求出的值，由該函數(shù)的最大值可得出的值，再由，結(jié)合的取值范圍可求得的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）由計算出的取值范圍，據(jù)此列表、描點、連線可得出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【詳解】（1）因為函數(shù)的最小正周期是，所以又因為當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，所以，同時，得，因為，所以，所以；（2）因為，所以，列表如下：描點、連線得圖象：【點睛】本題考查正弦函數(shù)解析式的求解，同時也考查了利用五點作圖法作圖，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.20（1）不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)；（2）；分布列見解析，【解析】(1)計算再對照表格分析即可.(2)根

17、據(jù)分層抽樣的方法可得經(jīng)常使用信用卡的有人,偶爾或不用信用卡的有人,再根據(jù)超幾何分布的方法計算3人或4人偶爾或不用信用卡的概率即可.利用二項分布的特點求解變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差即可.【詳解】（1）由列聯(lián)表可知,因為,所以不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān).（2）依題意,可知所抽取的10名40歲及以下網(wǎng)民中,經(jīng)常使用信用卡的有（人）,偶爾或不用信用卡的有（人）.則選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率.由列聯(lián)表,可知40歲以上的網(wǎng)民中,抽到經(jīng)常使用信用卡的頻率為,將頻率視為概率,即從市市民中任意抽取1人,恰好抽到經(jīng)常使用信用卡的市民的概率為.由題意得,則,.故隨機變量的分布列為：0123故隨機變量的數(shù)學(xué)期望為,方差為.【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗以及超幾何分布與二項分布的知識點,包括分類討論以及二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式等.屬于中檔題.21（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）利用平行四邊形的方法，證明平面.（2）通過證明平面，由此證得.【詳解】（1）設(shè)是中點，連接，由于是中點，所以且，而且，所以與平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）連接，由