北京2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（ ）AB4CD52易系辭上有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八

2、在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（ ） ABCD3數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結(jié)論：曲線有四條對稱軸；曲線上的點到原點的最大距離為；曲線第一象限上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）ABCD4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點），設(shè)，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，則，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：

3、，已知，則（ ）AB4CD165已知，則（ ）A5BC13D6是定義在上的增函數(shù)，且滿足：的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（ ）ABCD7設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，則ABCD8已知非零向量滿足，若夾角的余弦值為，且，則實數(shù)的值為（ ）ABC或D9已知數(shù)列an滿足：an=2,n5a1a2an-1-1,n6nN*.若正整數(shù)k(k5)使得a12+a22+ak2=a1a2ak成立，則k=( )A16B17C18D1910已知向量，若，則與夾角的余弦值為（ ）ABCD11已知三棱錐中，是等邊三角形，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD12已知雙曲線（，）的左、右頂點分別為，虛軸的兩個端點分別為

4、，若四邊形的內(nèi)切圓面積為，則雙曲線焦距的最小值為（ ）A8B16CD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13正方體中，是棱的中點，是側(cè)面上的動點，且平面，記與的軌跡構(gòu)成的平面為，使得；直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；與平面所成銳二面角的正切值為；正方體的各個側(cè)面中，與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個其中正確命題的序號是_（寫出所有正確命題的序號）14設(shè)P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則_.15曲線在處的切線方程是_16在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點若以AB為直徑的圓與

5、圓x2(y2)21相外切，且APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍.18（12分）已知拋物線E：y22px（p0），焦點F到準(zhǔn)線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1x2且x1+x21線段AB的垂直平分線與x軸交于點 C（1）求拋物線E的方程；（2）求ABC面積的最大值19（12分）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱. （為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點處的切線經(jīng)過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求

6、正整數(shù)的最小值.20（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若點P的極坐標(biāo)為，求的值.21（12分）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，坐標(biāo)原點為，.（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時，求直線的方程.22（10分）如圖，在直三棱柱中，分別是中點，且，.求證：平面；求點到平面的距離.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1

7、B【解析】還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐放入長方體中, 利用體積分割求解即可.【詳解】如圖，三棱錐的直觀圖為，體積.故選:B.【點睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.2C【解析】先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率.故選：C.【點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析

8、；當(dāng)情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.3C【解析】利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】：當(dāng)變?yōu)闀r， 不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；：設(shè)任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成

9、矩形面積的最大值為，故正確；：由可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.4D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：，直接求解即可.【詳解】， .故選：D【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎(chǔ)題.5C【解析】先化簡復(fù)數(shù)，再求，最后求即可.【詳解】解：，故選：C【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算，是基礎(chǔ)題.6D【解析】根據(jù)是定義在上的增函數(shù)

10、及有意義可得，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.7C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，故選C8D【解析】根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合以及夾角的余弦值，即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意，得，即.將代入可得，解得（舍去）.故選：D.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，涉及由向量垂直求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.9B【解析】由題意可得

11、a1=a2=a3=a4=a5=2，a6=a1a2a3a5-1=25-1=31，n6時，a1a2an-1=1+an，將n換為n+1，兩式相除，an2=an+1-an+1，n6，累加法求得a62+a72+ak2=ak+1-a6+k-5即有a12+a22+ak2=20+ak+1-a6+k-5=ak+1+k-16，結(jié)合條件，即可得到所求值【詳解】解：an=2,n5a1a2an-1-1,n6(nN*)，即a1=a2=a3=a4=a5=2，a6=a1a2a3a5-1=25-1=31，n6時，a1a2an-1=1+an，a1a2an=1+an+1，兩式相除可得1+an+11+an=an，則an2=an+1-

12、an+1，n6，由a62=a7-a6+1，a72=a8-a7+1，ak2=ak+1-ak+1，k5，可得a62+a72+ak2=ak+1-a6+k-5a12+a22+ak2=20+ak+1-a6+k-5=ak+1+k-16，且a1a2ak=1+ak+1，正整數(shù)k(k5)時，要使得a12+a22+ak2=a1a2ak成立，則ak+1+k-16=ak+1+1，則k=17，故選：B【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.10B【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運算得到向量的坐標(biāo)，利用求得參數(shù)m，再用計算即可.【

13、詳解】依題意， 而， 即， 解得， 則.故選：B.【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.11D【解析】根據(jù)底面為等邊三角形，取中點，可證明平面，從而，即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為，可求得到平面的距離，畫出幾何關(guān)系，設(shè)球心為，即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑，進而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點，是等邊三角形，所以，又因為，且，所以平面，則，由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐，設(shè)底面等邊的重心為，可得，所以三棱錐的外接球球心在面下方，設(shè)為，如下圖所示：由球的性質(zhì)可知，平面，且在同一直線上，設(shè)球的半徑為，在中，即，解得，所以三棱

14、錐的外接球表面積為，故選：D.【點睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.12D【解析】根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系，由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑，結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為，雙曲線半焦距為，則所以，四邊形的內(nèi)切圓面積為，則，解得，則，即故由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故焦距的最小值為.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用，圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用，屬于中檔

15、題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】取中點,中點,中點,先利用中位線的性質(zhì)判斷點的運動軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,進而求解；由,取為中點,則,則即為與平面所成的銳二面角,進而求解；由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點,連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點,中點,連接,則易證得,所以平面平面,所以點的運動軌跡為線段,平面即為平面.取為中點,因為是等腰三角形,所以,又因為,所以,故正確；直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,當(dāng)點為中點

16、時,直線與直線所成角最小,此時,；當(dāng)點與點或點重合時,直線與直線所成角最大,此時,所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,正確；與平面的交線為,且,取為中點,則即為與平面所成的銳二面角,所以正確；正方體的各個側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以正確故答案為:【點睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.14【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，,即故答案為15【解析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，所以，所以切線方程為故答案為：【點睛】本題考查了基本初等函數(shù)的

17、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.16【解析】分析：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+（y-2）2=1相外切且APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長詳解：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則APB的大小恒為定值，t，|OP|=故答案為點睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）.（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性以及極值

18、，從而得出的圖象，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，由圖，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，切線斜率，又切點切線方程為，即.（2），記，令得；的情況如下表：2+0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時，取極大值又時，；時，若沒有零點，即的圖像與直線無公共點，由圖像知的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，屬于中檔題.18（1）y26x（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線定義，寫出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，列方程即可得解；（2）根據(jù)中點坐標(biāo)表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【詳解】（1）拋物線E：y22px（p0），焦點F

19、（，0）到準(zhǔn)線x的距離為3，可得p3，即有拋物線方程為y26x；（2）設(shè)線段AB的中點為M（x0，y0），則，y0，kAB，則線段AB的垂直平分線方程為yy0（x2），可得x5，y0是的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C（5，0），由可得直線AB的方程為yy0（x2），即x（yy0）+2 代入y26x可得y22y0（yy0）+12，即y22y0y+2y020 ，由題意y1，y2是方程的兩個實根，且y1y2，所以1y021（2y0212）1y02+180，解得2y02，|AB|，又C（5，0）到線段AB的距離h|CM|，所以SABC|AB|h，當(dāng)且僅當(dāng)9+y02212y02

20、，即y0，A（，），B（，），或A（，），B（，）時等號成立，所以SABC的最大值為【點睛】此題考查根據(jù)焦點和準(zhǔn)線關(guān)系求拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系求解三角形面積的最值，表示三角形的面積關(guān)系常涉及韋達定理整體代入，拋物線中需要考慮設(shè)點坐標(biāo)的技巧，處理最值問題常用函數(shù)單調(diào)性求解或均值不等式求最值.19（1）e；（2）2.【解析】（1）根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在點處的切線為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可得出的值；（2）設(shè)，求導(dǎo)，求出的單調(diào)性，從而得出最大值為，結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意，與的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖

21、象與互為反函數(shù)，則,，設(shè)點，又，當(dāng)時，曲線在點處的切線為，即，代入點，得，即，構(gòu)造函數(shù)， 當(dāng)時，當(dāng)時，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，而， 故存在唯一的實數(shù)根.（2）由于不等式恒成立，可設(shè)，所以，令，得. 所以當(dāng)時，；當(dāng)時，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù). 故函數(shù)的最大值為 .令， 因為， ，又因為在是減函數(shù).所以當(dāng)時，.所以正整數(shù)的最小值為2.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等，考查函數(shù)思想和計算能力.20（1），；（2）2.【解析】（1）由得，求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，韋達定理得，點在直線上，則，即可求出的值.【詳解】（1）由可得，即，即，曲線的直角坐標(biāo)方程為，由直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去得，即直線的普通方程為.（）點的直角坐標(biāo)為，則點在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得，直線與曲線交于兩點，即.設(shè)點所對應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達定理可得，.點在直線上，.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互