2022年線性代數試卷及答案6套

1、線性代數試卷及答案6套試卷(一):填空題（每小題4分，共20分）已知正交矩陣使得，則設為階方陣，為的個特征值，則 設是矩陣，是維列向量，則方程組有無數多個解的充分必要條件是： 若向量組的秩為2,則 則的全部根為:_.選擇題 （每小題4分，共20分） 1.行列式的值為( ). A. 1 B. -1 C. D. 2. 對矩陣施行一次行變換相當于( ). A. 左乘一個階初等矩陣 B. 右乘一個階初等矩陣 C. 左乘一個階初等矩陣 D. 右乘一個階初等矩陣3. 若為矩陣, 則( ). A. 是維向量空間 B. 是維向量空間 C. 是維向量空間 D. 是維向量空間4. 若階方陣滿足, 則下列命題哪一個

2、成立 ( ). A. B. C. D. 5. 若是階正交矩陣,則下列命題哪一個不成立( ). A. 矩陣為正交矩陣 B. 矩陣為正交矩陣 C. 矩陣的行列式是 D. 矩陣的特征值是三. 解下列各題（每小題6分,共30分） 1. 若為3階正交矩陣, 為的伴隨矩陣, 求 2. 計算行列式 3. 設求矩陣 4. 求向量組的一個 最大無關組. 5. 求向量在基下的坐標. 四. (12分) 求方程組 的通解(用基礎解系與特解表示).五.(12分) 用正交變換化下列二次型為標準型, 并寫出正交變換矩陣 證明題(6分)設是線性方程組對應的齊次線性方程組的一個基礎解系,是線性方程組的一個解, 求證線性無關.試

3、卷（二）：一計算下列各題：（每小題6分，共30分） （1）（2）求其中（3）已知向量組線性相關,求 (4) 求向量在基下的坐標. (5) 設, 求的特征值.二.(8分) 設,且求矩陣B.三. (8分) 計算行列式: 四. (8分) 設有向量組 求該向量組的秩以及它的一個最大線性無關組.五. (8分) 求下列方程組的通解以及對應的齊次方程組的一個基礎解系. 六. (8分) 求出把二次型化為標準形的正交變換,并求出使為正定時參數的取值范圍.七. (10分) 設三階實對稱矩陣的特征值為3(二重根)、4(一重根),是的屬于特征值4的一個特征向量,求八. (10分) 當為何值時,方程組 有惟一解、無窮多

4、解、無解?九(10分) (每小題5分,共10分) 證明下列各題(1) 設是可逆矩陣, 證明也可逆, 且(2) 設是非零向量,證明是矩陣的特征向量.試卷(三):填空題（共20分）設A是矩陣， 是 維列向量，則方程組有唯一解的充分必要條件是：已知為單位矩陣, 若可逆矩陣使得 則當可逆時, 若t為實數, 則向量組=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3+t）的秩為:若A為2009階正交矩陣，為A的伴隨矩陣， 則=設A為n階方陣，是的個特征根，則 = 選擇題（共20分）如果將單位矩陣的第i行乘k加到第j行得到的矩陣為將矩陣的第i列乘k加到第j列相當于把A：A, 左乘一個 B，右乘一個 左乘一

5、個 D，右乘一個若A為mn 矩陣，是維非零列向量，。集合, 則 是維向量空間， B， 是n-r維向量空間C, 是m-r維向量空間， D， A，B，C都不對若n階方陣A滿足 ，則以下命題哪一個成立 A， ， B， C. ， D， 若A是2n階正交矩陣，則以下命題哪一個一定成立：A，矩陣為正交矩陣， B，矩陣 2為正交矩陣 C, 矩陣為正交矩陣， D，矩陣 為正交矩陣如果n階行列式的值為-1,那么n的值可能為：A, 2007， B，2008C, 2009, D，2000 三. 判斷題 (每小題4分, 共12分)(1) 對線性方程組的增廣矩陣做初等變換,對應的線性方程組的解不變. ( )(2) 實對

6、稱矩陣的特征值為實數. ( )(3) 如果矩陣的行列式為零, 那么這個矩陣或者有一行(列)的元素全為零, 或者有兩行(列)的元素對應成比例. ( )四. 解下列各題（每小題8分, 共16分）1求向量，在基下的坐標.2設計算五.(10分) 求矩陣列向量組生成的子空間的一個標準正交基.六. 證明題（6分）設是m行n列矩陣, 如果線性方程組對于任意m維向量都有解，證明的秩等于m.七、（10分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出正交變換矩陣.八、（6分）設矩陣，都是正定矩陣，證明矩陣也是正定矩陣.試卷(四):填空題（每小題4分，共20分）1.設是矩陣,那么的秩不超過的充分必要條件是 _.2.已知為

7、單位矩陣，若,則當可逆時,若向量組的秩為2時, .若為2009階正交矩陣, 為的伴隨矩陣,則設為階方陣,是的個特征值,則_.選擇題 （每小題4分，共20分）如果將單位矩陣的第i行乘k加到第j行得到的矩陣為那么的逆矩陣是：A, B， D，若A為mn 矩陣，,令集合, 則A, 是空集; B， 只含一個元素;C, 含有兩個以上元素 D， A，B，C都不對若n階方陣A滿足 ，則以下命題哪一個成立 A， ， B， C. ， D， 若A,B都是n階對稱矩陣，則以下命題哪一個不一定成立：A，矩陣為對稱矩陣， B，矩陣為對稱矩陣 C, 矩陣為對稱矩陣， D，矩陣為對稱矩陣如果n(n1)階行列式的第i行第j列元

8、素的代數余子式的值為-1,那么i+j-n的值：A, 為0， B，為1C, 為2, D，無法確定. 三. 判斷題 (每小題4分, 共12分)(1) 對一個線性方程組做初等變換,線性方程組的解不變. ( )(2) 正交矩陣的特征值是實數. ( )(3)一個可逆矩陣A與它的轉置矩陣的乘積是正定的. ( )四. 解下列各題（每小題8分, 共16分）1求單位向量，它在基下的坐標向量也是.2設n階方陣計算五.(10分) 求矩陣的逆矩陣.六. 證明題（6分）設是m行n列矩陣,證明七、（6分）證明任何一個方陣都可以表為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和.八、（10分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出該正交

9、變換所對應的正交變換矩陣試卷(五):填空題（每小題4分，共20分）1.設是矩陣,那么可逆的條件是 _.2.矩陣是二次型的矩陣的條件是 _.3.設則 .4若為2010階正交矩陣, 則5將單位矩陣的第i行乘k加到第j行得到的矩陣記為設是的個特征值， 則= .二. 選擇題 （每小題4分，共20分）如果將單位矩陣的第i行乘k得到的矩陣設為那么的逆矩陣是：A, B， C, D，若A為mn 矩陣，令集合, 則A, 是空集; B， 只含一個元素;C, 含有兩個以上元素 D， 是非空集合.若n階方陣滿足 ，則以下命題哪一個成立 A， ， B， 是可逆矩陣C. ， D， 若A是n階矩陣，則以下命題哪一個不成立：

10、A，矩陣為對稱矩陣， B，矩陣為對稱矩陣， C, 矩陣為對稱矩陣， D，矩陣為對稱矩陣如果n(n1)階矩陣的行向量線性無關，那么：A, 的行列式為0， B，的列向量線性無關C, 的秩為0, D，以為系數矩陣的線性方程組有非零解. 三. 判斷題 (每小題4分, 共12分)(1) 已知是階矩陣，如果，那么. ( )(2) 如果一個向量組線性無關，那么它的任意一部分向量也線性無關. ( )(3) 如果一個矩陣A是正定的, 那么它的行列式大于0. ( )四. 解下列各題（每小題8分, 共16分）1求所有向量，它與是正交的.2設n階方陣計算.五.(10分) 求矩陣的伴隨矩陣.六. 證明題（6分） 設是n

11、階方陣,如果可逆,證明與相似.七、（6分）證明任何一個秩為2的正慣性指數為1的二次型都可以表為兩個一次多項式的乘積.八、（10分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出該正交變換所對應的正交變換矩陣試卷(六):一.填空題（每小題4分，共20分）1.設是矩陣,如果對于任意的維列向量,線性方程組總有解,那么的秩與的關系一定是 _.2.如果矩陣是階實對稱矩陣,那么它的特征根一定為_.3.設則 .4若為2011階正交矩陣, 則它的伴隨矩陣是_.5將單位矩陣的第i行乘k加到第j行得到的矩陣記為這個矩陣的逆矩陣是= .二. 選擇題 （每小題4分，共20分）1. 如果將單位矩陣的第i行乘k得到的矩陣設為那么

12、是正定矩陣的充要條件是：A, B， C, D，若A為mn 矩陣，且可逆, 則A, ; B， ;C, 也可逆 D， 以上都不對.若A為n 階可逆矩陣，則以下命題哪一個成立 A， ， B， C. ， D， 若A是n階矩陣，則以下哪一個是反對稱矩陣：A， B， C, ， D，如果以為系數矩陣的線性方程組有非零解,那么：A, 的行列式為0， B，的列向量線性無關C, 的行向量線性無關, D，以上都不對. 三. 判斷題 (每小題4分, 共12分)(1) 已知是階矩陣，如果相似，那么它們的特征值相同. ( )(2) 如果一個矩陣的行向量組是維空間的 一組基, 那么它們的列向量組也是維空間的一組基. ( )

13、(3) 如果一個對稱矩陣A是正定的, 那么它的所有的子式大于0. ( )四. 解下列各題（每小題8分, 共16分）1求的行向量組到列向量組的過渡矩陣.2設是階反對稱矩陣,當時,計算.五.(10分) 求常數使得矩陣的秩是2.六. 證明題（6分） 設是n階可逆實數矩陣,證明的特征值大于0.七、（6分）證明對于任何一個n階矩陣，總存在正整數,使得可逆.八、（10分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出該正交變換所對應的正交變換矩陣試卷(一)解答:1. 2. 3. 4. 5. 1,2,-3.二. 1. D 2. A 3. D 4. D 5. D三. 1. 2. .3. 由有 .4. 而向量組: 線性

14、無關,可得 故 ，為一個最大線性無關組.5.令 ，則有： 解得： 的坐標為四 解： 原方程組同解下面的方程組： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齊次方程組基礎解系為：。五解： 當時，由，求得基礎解系：當時，由，求得基礎解系： 當時，由，求得基礎解系：單位化：令，則若則六. 證明: 設則: 于是 即 但 因此 從而有 又 線性無關, 因此 于是 故有 線性無關.試卷(二)部分解答:一（3）已知向量組線性相關,求 解: 線性相關可求出 二.(8分) 設,且求矩陣B. 解: ,可逆,且,于是 五. (8分) 求下列方程組的通解以及對應的齊次方程組的一個基礎解系. (與76頁例4.17類似

15、作)六. (8分) 求出把二次型化為標準形的正交變換,并求出使為正定時參數的取值范圍. 解: 二次型的矩陣為 由 得特征值對 可得的一個基礎解系為: 正交化: 取 對 可得的一個基礎解系為: 將分別單位化,得: 取正交變換 ,則此正交變換將二次型化為標準形: 正定七. (10分) 設三階實對稱矩陣的特征值為3(二重根)、4(一重根),是的屬于特征值4的一個特征向量,求解: 設的屬于特征值3的特征向量為,由于實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量正交, 則有 即: 此方程的一個基礎解系為: 則為的屬于特征值3的兩個線性無關的特征向量,于是: =八. (10分) 當為何值時,方程組 有惟一解、無窮多

16、解、無解? 解: 記, 系數行列式 (1). 當 時, 由克萊姆法則知方程組有惟一解. (2). 當 時, 于是 方程組無解. (3). 當 時, (i) 當時, 方程組有無窮多解. (ii) 當時, 方程組無解.九(10分) (每小題5分,共10分) 證明下列各題(1) 設是可逆矩陣, 證明也可逆, 且(2) 設是非零向量,證明是矩陣的特征向量.證明: (1) 由于, 則存在可逆矩陣 使得 于是由可逆知也可逆,且 (2) 設 記 由 知為的屬于的特征向量.試卷(三):填空題（共20分）設A是矩陣， 是 維列向量，則方程組有唯一解的充分必要條件是：rank(A)=rank(A B)=n.已知為

17、單位矩陣, 若可逆矩陣使得 則當可逆時, -27E. (利用)若t為實數, 則向量組=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3+t）的秩為: 3若A為2009階正交矩陣，為A的伴隨矩陣， 則=1設A為n階方陣，是的個特征根，則 = 0選擇題（共20分）如果將單位矩陣的第i行乘k加到第j行得到的矩陣為將矩陣的第i列乘k加到第j列相當于把A：(B)A, 左乘一個 B，右乘一個 左乘一個 D，右乘一個若A為mn 矩陣，是維非零列向量，。集合, 則 (D)A， 是維向量空間， B， 是n-r維向量空間是m-r維向量空間， D， A，B，C都不對若n階方陣A滿足 ，則以下命題哪一個成立 (B)

18、A， ， B， C. ， D， 若A是2n階正交矩陣，則以下命題哪一個一定成立：(A)A，矩陣為正交矩陣， B，矩陣 2為正交矩陣 C, 矩陣為正交矩陣， D，矩陣 為正交矩陣如果n階行列式的值為-1,那么n的值可能為：(C)A, 2007， B，2008C, 2009, D，2000 三. 判斷題 (每小題4分, 共12分)(1) 對線性方程組的增廣矩陣做初等變換,對應的線性方程組的解不變. ( 錯 )(2) 實對稱矩陣的特征值為實數. ( 對 )(3) 如果矩陣的行列式為零, 那么這個矩陣或者有一行(列)的元素全為零, 或者有兩行(列)的元素對應成比例. ( 錯 )四. 解下列各題（每小題

19、8分, 共16分）1求向量，在基下的坐標.（坐標為: ）2設計算.解: 五.(10分) 求矩陣列向量組生成的子空間的一個標準正交基.解: 先求矩陣列向量組生成的子空間的一個基.由于可知的前三列線性無關,為子空間的一個基.記將其正交化.令再單位化,令則 為所求標準正交基.六. 證明題（6分）設是m行n列矩陣, 如果線性方程組對于任意m維向量都有解，證明的秩等于m.證明: 設, 則 為m維向量組. 由于線性方程組對于任意m維向量都有解, 現分別取等于m維基本單位向量: , 可知向量組可由向量組線性表示, 又向量組可由向量組線性表示, 于是向量組與向量組等價, 故 七、（10分）用正交變換化下列二次

20、型為標準型，并寫出正交變換矩陣.解: 設 對特征值由，求得基礎解系：對特征值，由，求得基礎解系： 對特征值，由，求得基礎解系： 已兩兩正交, 再單位化：令，則為正交陣, 且.正交變換為將二次型化為標準形: 八、（6分）設矩陣，都是正定矩陣，證明矩陣也是正定矩陣. 證明: 由于矩陣，都是正定矩陣,則對于任一有從而 故是正定矩陣.試卷(四):填空題（每小題4分，共20分）1.設是矩陣,那么的秩不超過的充分必要條件是:的階子式全為0.2.已知為單位矩陣，若,則當可逆時,3.若向量組的秩為2時,0或若為2009階正交矩陣, 為的伴隨矩陣,則設為階方陣,是的個特征值,則0.選擇題 （每小題4分，共20分

21、）如果將單位矩陣的第i行乘k加到第j行得到的矩陣為那么的逆矩陣是：(D).A, B， D，若A為mn 矩陣，,令集合, 則(B) A, 是空集; B， 只含一個元素;C, 含有兩個以上元素 D， A，B，C都不對若n階方陣A滿足 ，則以下命題哪一個成立(B) A， ， B， C. ， D， 若A,B都是n階對稱矩陣，則以下命題哪一個不一定成立：(B)A，矩陣為對稱矩陣， B，矩陣為對稱矩陣 C, 矩陣為對稱矩陣， D，矩陣為對稱矩陣如果n(n1)階行列式的第i行第j列元素的代數余子式的值為-1,那么i+j-n的值：(B) (因(i,j)元素必在次對角線上)A, 為0， B，為1C, 為2, D

22、，無法確定. 三. 判斷題 (每小題4分, 共12分)(1) 對一個線性方程組做初等變換,線性方程組的解不變. ( 對 )(2) 正交矩陣的特征值是實數. ( 錯 )(3)一個可逆矩陣A與它的轉置矩陣的乘積是正定的. ( 對 )四. 解下列各題（每小題8分, 共16分）1求單位向量，它在基下的坐標向量也是.解: 設,由題意, 即于是有解得 又由為單位向量知 因此 故所求向量 或2設n階方陣計算解: (將第2至n行加到第一行) 五.(10分) 求矩陣的逆矩陣.解: 于是六. 證明題（6分）設是m行n列矩陣,證明證明: 設 則設是A的一個最大線性無關組，是B的一個最大線性無關組,則，由于可由線性表

23、示，可由線性表示，可由，線性表示，從而即七、（6分）證明任何一個方陣都可以表為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和.證明: 設為任一方陣, 記 由于 則為對稱矩陣, 為反對稱矩陣, 而 故得證. 八、（10分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出該正交變換所對應的正交變換矩陣解答見課件.試卷(五):一. 填空題（每小題4分，共20分）1.設是矩陣,那么可逆的條件是: 2.矩陣是二次型的矩陣的條件是: .3.設則.4若為2010階正交矩陣, 則5將單位矩陣的第i行乘k加到第j行得到的矩陣記為設是的個特征值， 則= 1 .二. 選擇題 （每小題4分，共20分）如果將單位矩陣的第i行乘k得到的矩陣設為

24、那么的逆矩陣是：A.A, B， C, D，若A為mn 矩陣，令集合, 則D.A, 是空集; B， 只含一個元素;C, 含有兩個以上元素 D， 是非空集合.若n階方陣滿足 ，則以下命題哪一個成立B. A， ， B， 是可逆矩陣C. ， D， 若A是n階矩陣，則以下命題哪一個不成立：B.A，矩陣為對稱矩陣， B，矩陣為對稱矩陣， C, 矩陣為對稱矩陣， D，矩陣為對稱矩陣如果n(n1)階矩陣的行向量線性無關，那么：B.A, 的行列式為0， B，的列向量線性無關C, 的秩為0, D，以為系數矩陣的線性方程組有非零解. 三. 判斷題 (每小題4分, 共12分)(1) 已知是階矩陣，如果，那么. ( 錯 )(2) 如果一個向量組線性無關，那么它的任意一部分向量也線性無