自動(dòng)控制原理第七章線性離散系統(tǒng)講解課件

1、 第七章 線性離散系統(tǒng)7.1 離散系統(tǒng)的基本概念7.2 采樣過程及采用定理7.3 信號(hào)恢復(fù)與信號(hào)保持7.4 Z變換理論7.5 線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)7.6 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差7.7 動(dòng)態(tài)響應(yīng)與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布的關(guān)系7.8 線性離散系統(tǒng)的數(shù)字校正7.9 最少拍離散系統(tǒng)的分析與校正 連續(xù)系統(tǒng):r(t)、c(t)和e(t)等是時(shí)間t的連 續(xù)函數(shù)，這樣的系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)。 計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)，微機(jī)是以數(shù)字 方式傳遞和處理信息，控制系統(tǒng)中的信號(hào)定 義在離散時(shí)間上的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。 離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)既有差別，又有相似 性。連續(xù)系統(tǒng)通過Z變換，可以將連續(xù)系統(tǒng)中 的概念應(yīng)用到離散系統(tǒng)

2、。7.1 離散系統(tǒng)的基本概念 一、信號(hào)分類1、模擬信號(hào) 信號(hào)是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)；2、離散信號(hào) 信號(hào)是時(shí)間上的離散序列；3、數(shù)字信號(hào)離散量化信號(hào)，是時(shí)間上、幅值上的離散序列。 7.1.1 離散系統(tǒng)的特點(diǎn)(a) 連續(xù)信號(hào)t(b) 離散信號(hào)t(c) 離散量化信號(hào)t 二、控制系統(tǒng)分類1、連續(xù)系統(tǒng)2、采樣系統(tǒng)3、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)被控對(duì)象控制器r(t)e(t)u(t)c(t)測(cè)量元件ZOH被控對(duì)象脈沖控制器測(cè)量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)D/A被控對(duì)象數(shù)字計(jì)算機(jī)測(cè)量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)A/D 采樣周期：一個(gè)非常重要、特殊的參數(shù)，會(huì)影響系統(tǒng)的 穩(wěn)定

3、性、穩(wěn)態(tài)誤差、信號(hào)恢復(fù)精度！三、連續(xù)系統(tǒng)與采樣控制系統(tǒng)的區(qū)別相同點(diǎn): 1、采用反饋控制結(jié)構(gòu); 2、由被控對(duì)象、測(cè)量元件和控制器組成; 3、控制系統(tǒng)的目的相同; 4、系統(tǒng)分析的內(nèi)容相同。不同點(diǎn)：信號(hào)的形式（采樣器、保持器）。采樣控制的優(yōu)點(diǎn)： 精度高、可靠、有效抑制干擾、通用性好。 采樣開關(guān)的工作方式，指采樣速度和采樣開關(guān)的周期性采樣之間的相位問題；采樣誤差信號(hào) 是通過采樣開關(guān)對(duì)連續(xù)信號(hào) 采樣后得到的；采樣開關(guān)經(jīng)過一定的時(shí)間T閉合一次，采樣時(shí)間為，T。T為采樣周期，s=1/T及s=2s分別為采樣頻率和采樣角頻率。 7.1.2 采樣開關(guān)的工作方式 采樣的方式 周期采樣：采樣時(shí)刻為nT(n=0、1、2

4、),T 為常量；多階采樣：采樣時(shí)間是周期性重復(fù)的； 多速采樣：用兩個(gè)具有不同采樣周期的采樣器對(duì)信號(hào)同時(shí)采樣；隨機(jī)采樣：采樣時(shí)間是隨機(jī)變量。 本章討論等周期采樣數(shù)字計(jì)算機(jī)作為控制器的控制系統(tǒng)多點(diǎn)巡回檢測(cè)與控制系統(tǒng)常見的采樣系統(tǒng) 采樣器（采樣開關(guān)）：將連續(xù)信號(hào)變?yōu)槊}沖序列的裝置；采樣過程：對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣后變?yōu)闀r(shí)間上離散的脈沖序列的過程；T采樣周期,-采樣時(shí)間 T n整數(shù)7.2.1采樣過程7.2 采樣過程及采用定理采樣器e(t)T時(shí)間內(nèi),e(t)變化甚微，可近似為寬度為 ,高度為e(nT)的矩形脈沖序列 信號(hào)采樣 理想采樣序列： 采樣過程是脈沖調(diào)制過程,對(duì)采樣器的輸出拉氏變換由拉氏變換實(shí)位移定理采樣

5、過程相當(dāng)脈沖調(diào)制過程,采樣輸出是兩個(gè)信號(hào)的乘積-決定采樣信號(hào)幅值-決定采樣時(shí)間 為了從采樣信號(hào)中不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào),離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)者必須遵循采樣定理;7.2.1 采樣定理如果 (采樣角頻率)，就不能準(zhǔn)確恢復(fù)原來的連續(xù)信號(hào)。s 2me(t)就可以從e*(t)中恢復(fù)過來,也可表示為 若采樣器輸入信號(hào)e(t)帶寬有限，且有直到m (rad/s)的頻率分量，當(dāng)采樣周期T滿足下列條件采樣定理(香農(nóng)定理) 單位脈沖理想響應(yīng)序列e*(t)對(duì)應(yīng)的離散信號(hào)e （t)連續(xù)信號(hào)以T為周期的復(fù)式函數(shù)，可展開成傅立葉級(jí)數(shù)(或指數(shù)形式)表示為 采樣信號(hào)的頻譜（證明）T(t) =s=2/T為采樣角頻率,Cn是傅氏系數(shù),其

6、值為：T(t) =連續(xù)信號(hào)的頻譜為采樣信號(hào)的頻譜為m-m0m-m0s2s3s-3s-2s-sm-m0s-sm-m0s2s3s-3s-2s-ss滿足什么條件時(shí)才能從恢復(fù)出?s 2m或：T/ms = 2m 7.2.3 采樣周期的選擇采樣周期T選得越小，即采樣角頻率s選得越高，信息獲得的越多，控制效果越好;T過短，控制規(guī)律復(fù)雜，T過長(zhǎng)，控制誤差大，動(dòng)態(tài)性能降低，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定;采樣周期T參考選擇；控制過程流量壓力液位溫度成分采樣周期（T)（s)T的選取，主要取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 頻域閉環(huán):閉環(huán)頻率響應(yīng)有低通濾波特性輸入頻率高于r時(shí)，信號(hào)快速衰減，可認(rèn)為通過系統(tǒng)的控制信號(hào)最高頻率分量為r 。頻域

7、開環(huán)：近似有cr，頻率分量超過c的分量通過系統(tǒng)后被大幅度衰減。隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣角頻率近似為s=10cT=2/s ,采樣周期公式可表示為時(shí)域指標(biāo):T可以通過tr，ts選取，按經(jīng)驗(yàn)公式確定 采樣 定理 信號(hào)復(fù)現(xiàn) 理想濾波器采樣開關(guān)7.3 信號(hào)恢復(fù)與信號(hào)保持T選擇得當(dāng)，e(t) 從e*(t)中完全復(fù)現(xiàn)。但理想濾波器不存在，只能用保持器代替。保持器將離散信號(hào) 連續(xù)信號(hào)的元件采樣時(shí)，連續(xù)信號(hào)值與脈沖序列強(qiáng)度相等，nT時(shí)刻，有(n+1)T時(shí)刻，有保持器要解決nT與(n+1)T之間(即0tT)，連續(xù)信號(hào)e(nT+ t) 有多大？它與e(nt)的關(guān)系？ 保持器有外推功能，外推作用即現(xiàn)在時(shí)刻的輸出取決于過去時(shí)刻離

8、散信號(hào)的外推,用公式描述該式說明現(xiàn)在時(shí)刻的輸出e(nT+t)，由過去 (m+1)個(gè)離散信號(hào)e*(nT)、e*(n-1)T、e*(n-2)T、e*(n-m)T確定。i（i=0,1,m）為待定系數(shù)，由過去(m+1)個(gè)e*(n-i)T 確定，i 有唯一解;t0、T、2T、mT為過去時(shí)刻。m=0，為零階保持器；m=1，為一階保持器；m=m，為m階保持器。一般采用零階保持器t是以nT為坐標(biāo)原點(diǎn)。 主要特點(diǎn)：1、輸出信號(hào)是階梯波，含有高次諧波。2、相位滯后。零階保持器：7.3.1 零階保持器最簡(jiǎn)單、使用最廣泛；采用恒值外推規(guī)律，即將前一采樣時(shí)刻nT的采樣值e(nT)不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)

9、T，零階保持器 零階保持器的單位脈沖響應(yīng)由拉氏變換的相似性 零階保持器的幅頻特性注意：2、除了主頻譜外，還有高頻分量；3、零階保持器將產(chǎn)生相角滯后，滯后角1、幅值隨角頻率的增大而衰減，有低通濾波特性； 零階保持器的近似實(shí)現(xiàn)取前兩項(xiàng)取前三項(xiàng)取前三項(xiàng)時(shí)無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)形式如圖更高階的近似，使無源網(wǎng)絡(luò)變得非常復(fù)雜。一般不使用！R1LCR3R2 解：例7.7已知微分方程： 時(shí)域數(shù)學(xué)模型 差分方程將其離散化，用采樣控制方式(T=1)，求相應(yīng)的前向差分方程，并解之。 解：差分方程解法一：迭代法 解差分方程解法二：z變換法 Z變換是采樣函數(shù)拉氏變換的變形，又稱為采樣拉氏變換，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。

10、7.4 Z變換理論線性連續(xù)系統(tǒng)的性能，用拉氏變換分析，線性離散系統(tǒng)的性能，用Z變換分析。 7.4.1 Z變換的定義被定義為采樣函數(shù)*(t)的Z變換對(duì)Z變換強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：1. z是復(fù)變量, s也是復(fù)變量，分別表示為 s=j2.Z變換中，僅采樣時(shí)刻上的采樣值，信息，不反映采樣時(shí)刻之間的信息，f(t)與* (t) 有相同的Z變換，即Zf(t)Z* (t) =F(z) 該式僅表達(dá)采樣時(shí)刻的已知當(dāng) 1. 級(jí)數(shù)求和法7.4.2 Z變換的求法f(t）的離散函數(shù)為*(t) , 將*(t)展開逐項(xiàng)拉氏變換，得上式為* (t) 的Z變換的級(jí)數(shù)表達(dá)式。顯然，知道f(t) 采樣時(shí)刻nT（n=0,1,2,）的值f(nT），

11、則可求得Z變換的級(jí)數(shù)展開式。 例7.2求 的F(Z)。例7.1求1*（t）的Z變換 。|z-1 | 1 ，級(jí)數(shù)收斂，利用求和公式，得1（t）的Z變換例7.3求 f(t)=t的Z變換兩邊求導(dǎo) 求出 Pi 及 Ai ，可求出F(s)對(duì)應(yīng)的Z變換F(z)： f(t) 的拉氏變換為F(s)，其部分分式之和為 2、部分分式法Ai常系數(shù)Pi 是極點(diǎn)n為極點(diǎn)數(shù)已知f(t），求F(z) ，可以按圖示虛線箭頭的步驟，也可以按實(shí)線箭頭的步驟?？梢愿鶕?jù)F(s)查Z變換表得F(z) 解：例7.4求f(t)= t1(t)的Z變換 查Z變換表得例7.6求解：例7.5求的Z變換 。解：所以 3、留數(shù)計(jì)算法F(s)的全部極點(diǎn)

12、已知, 留數(shù)計(jì)算法公式為F(s)有一階極點(diǎn),s=P1,留數(shù)為F(s)在有q階重復(fù)極點(diǎn),留數(shù)為為 在 時(shí)的留數(shù)Z變換表見P.219表(72) 例7.8求的Z變換解:例7.9求的Z變換解:為兩階重極點(diǎn)! 例7.10已知用留數(shù)法求F(z)。解: 1、線性定理2、滯后定理3、初值定理4、終值定理5、復(fù)數(shù)偏移定理6、卷積和定理7.4.3 Z變換的性質(zhì)Z變換常用的定理 設(shè)：則：函數(shù)線性組合的Z變換，等于各函數(shù)Z變換的線性組合。2、平移定理t0時(shí)，f(t)的值為零， f(t)的Z變換為F（z）則原函數(shù)延遲的采樣周期數(shù)為k，象函數(shù)則乘z-k。算子z-k的含義表示時(shí)域中時(shí)滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲k個(gè)周期。 1、線性定

13、理 平移定理e(t)第8個(gè)采樣周期e(t-2T) 第10個(gè)采樣周期e(t+6T)第2個(gè)采樣周期 3、初值定理f(t)的Z變換為F（z），并且 存在，4、終值定理經(jīng)常用于分析計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差！則f(t)的Z變換為F（z），f(nT)序列為有限值（n=0,1,2,），并且極限 存在，則函數(shù)序列的終值 6、卷積和定理設(shè)式中為正整數(shù)，當(dāng)n為負(fù)數(shù)時(shí)則有式中5、復(fù)數(shù)偏移定理f(t)的Z變換為F（Z），則 7.4.4 Z反變換Z反變換是已知F（Z），求f(nT)的過程，即只能求出序列的表達(dá)式，而不能求出它的連續(xù)函數(shù)！求解方法:長(zhǎng)除法(冪級(jí)數(shù)法)、 部分分式法、 留數(shù)法。 1、長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)法）要點(diǎn)：將F

14、（Z）用長(zhǎng)除法變?yōu)榻祪缗帕械男问健?F(z) 展開成 的無窮冪級(jí)數(shù)，即 如果冪級(jí)數(shù)收斂，按Z變換定義，式中系數(shù) 即采樣脈沖序列 的脈沖強(qiáng)度f(nT)?？梢灾苯訉懗?的脈沖序列表達(dá)式即： 例7.11求的Z反變換解：為方便求取，將分母首項(xiàng)變成1。為此，用分母首項(xiàng)（Z2） 去除全式 例7.12已知 ，求Z反變換解:展開成有理分式將分母首項(xiàng)變成1, 用分母首項(xiàng)（Z2）去除全式得：按長(zhǎng)除法，用分母多項(xiàng)式去除分子多項(xiàng)式，得： 步驟：將變換式寫成，展開成部分分式查Z變換表兩端乘以Z1.部分分式法（因式分解法，查表法） 例7.13求的Z反變換解： 3.留數(shù)法（反演積分法）函數(shù)F(z)zn-1在極點(diǎn)pi處的留數(shù)

15、，曲線C是包含F(xiàn)(z)zn-1全部極點(diǎn)的任意封閉曲線。若Zi為一重極點(diǎn)若Zi為q重極點(diǎn)由Z變換的定義兩端同乘由復(fù)變函數(shù)理論 例7.14求的Z反變換解：有一個(gè)兩重極點(diǎn) 例7.15求的Z反變換解：有兩個(gè)一重極點(diǎn) 例7.16已知 ，求Z反變換。 解:有兩個(gè)二重極點(diǎn)， Z變換是為了求出線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。零初始條件下，線性系統(tǒng)輸出的Z變換與輸入的Z變換之比為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（或z傳遞函數(shù)）。即7.5.1 脈沖傳遞函數(shù)的定義系統(tǒng)的離散輸出信號(hào)7.5 線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)局限性: (1) 原則上不反映非零初條件下系統(tǒng)響應(yīng)的全部信息; (2) 只適合描述單輸入單輸出系統(tǒng); (3) 只適線性定

16、常離散系統(tǒng)。 本次課程作業(yè)7 - 1(1,2)自動(dòng)控制原理7 - 2 (1,4)7 - 4 (1,2) 多數(shù)系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號(hào)c(t)，而非采樣信號(hào)c*(t)，在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān)，如圖虛線，該開關(guān)與輸入采樣開關(guān)同步，有相同的采樣周期；若實(shí)際輸出c(t)較平滑，且采樣頻率較高，則可用c*(t)近似描述c(t)；虛設(shè)的采樣開關(guān)不存在，它只表明輸出連續(xù)函數(shù)c(t)在采樣時(shí)刻上的離散值c*(t) 。 G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)X(s)X*(s)C(z)C(s)C*(s)G1(z)G2(z)TTG1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)X(s)C(z)C(s)C*(s)T

17、G(z) 線性定常離散系統(tǒng)的位移不變性推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)，理解其物理意義G(s)r*(t)C(t)C*(s)TG(z)r (t) 推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)，理解其物理意義(續(xù))G(s)r*(t)C(t)C*(s)TG(z)r (t)系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，即g(t)衰減越快, G(z) 展開式中包含的項(xiàng)數(shù)越少根據(jù)離散卷積定義得知,下式右邊的Z變換為R(z)G(z)C(z)=R(z)G(z)G(z)是g(t) 采樣后離散信號(hào)的Z變換，即 開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時(shí)，脈沖G(z)的求法與連續(xù)系統(tǒng)的G(s)情況不完全相同。兩個(gè)開環(huán)離散系統(tǒng)的組成相同，但采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也會(huì)不同。

18、對(duì)開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，應(yīng)注意以下兩種不同的情況。 7.5.2 開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器 由于求和與符號(hào)無關(guān),再令m=n,證得采樣拉氏變換的兩個(gè)重要性質(zhì)1）采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性G*(s)=G*(s+jks)由Pg211公式(7-11)得：E*(s)G1(s) G2(s)*=E*(s)G1(s) G2(s)*2）離散信號(hào)可從離散符號(hào)中提出來設(shè)G1(s)G2(s)=G (s)，則有：E*(s)G(s)*=E*(s)與無關(guān)，=E*(s)G(s)*所以有：=E*(s)G*(s) 1、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳函之積。如圖，

19、G1 (s) 和G2 (s)之間有理想采樣開關(guān)隔開。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義，得G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)D(s)D*(s)C(z)C(s)C*(s)G1(z)G2(z)TTG (z) 2、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)，脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)積的Z變換。G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)D(s)C(z)C(s)C*(s)TG (z) 開環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換1C*(s)G(s)R(s)R*(s)C(s)G1(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G2(s)G1(s)G2(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G1(s)R(s)R

20、*(s)C*(s)C(s)G2(s)d(s)d*(s)C(z)=R(z)G(z)C(z)=R(z)G1G2(z)C(z)=R(z)G1(z)G2(z) 開環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換2R(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)1-e-TssR(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)1-e-TssR(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)se-Ts1R(z)R(z)z-1R(z)(1-z-1)R(z)C(z)(1-z-1)R(z)=ZG0(s)sC(z)R(z)(1-z-1)=ZG0(s)sC(z)=R(z)GhG0(z) 開關(guān)位置的等效變換1(t)+t*1(t)*=t*+1(t)t1(

21、t)+tR(s)B(s)E(s)E*(s)R(s)B(s)E*(s)R(s)B(s)E*(s)E*(s)*RB*RBR*B 例7.17 設(shè)兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，求出中間有采樣開關(guān)和無采樣開關(guān)時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：兩個(gè)環(huán)節(jié)中間有采樣開關(guān)時(shí)兩個(gè)環(huán)節(jié)中間無采樣開關(guān)時(shí) 連續(xù)系統(tǒng):閉環(huán)與開環(huán)傳遞函數(shù)之間有確定的關(guān)系，可以用典型的結(jié)構(gòu)圖來描述閉環(huán)系統(tǒng)。離散系統(tǒng):采樣開關(guān)的位置不同，結(jié)構(gòu)形式就不一樣，沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖，因而閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)沒有一般的計(jì)算公式，只能根據(jù)具體結(jié)構(gòu)而具體求取。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是閉環(huán)離散系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換與輸入信號(hào)的Z變換之比，即 7.5.3 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)P.228表

22、7-3列出了典型的閉環(huán)離散系統(tǒng)及其輸出的Z變換函數(shù) 閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換1C*(s)G1(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G2(s)B(s)R*(s)B*(s)E(z)=R(z)-B(z)B(z)=E(z)G1G2(z)C(z)=E(z)G1(z)B(s)C*(s)G1(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G2(s)E*(s) 閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換2C*(s)G2(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G3(s)G1(s)R(s)G1(s)C*(s)G2(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G3(s)G1(s)G1(s)B(s)C*(s)G2(s)E(s)E*(s)C(s

23、)R(s)G3(s)G1(s)G1(s)RG1*B*(s)E*(s)E(z)=RG1(z)-B(z)B(z)=E(z)G1G2G3(z)C(z)=E(z)G2(z)(z)不存在 G2(s)C(s)R(s)G1(s)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換3C*(s)G2(s)C*(s)R(s)G1(s)G2(s)C*(s)R(s)B(s)G1(s)G1(s) C(s)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換4C*(s)G2(s)C(s)R(s)G3(s)G1(s)C*(s)A*(s)G2(s)R(s)G3(s)G1(s)A*(s)R(s)G1(s)G3(s)G1(s)A*(s)G2(s)C (s)C(s)=R(s)G1(

24、s)-A*(s)G1(s)G3(s)C*(s)=R(s)G1(s)*-A*(s)G1(s)G3(s)*C(z)=RG1(z)-A(z)G1G3(z) 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)對(duì)于單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的特征方程R(s)R*(s)E(s)C(s)C*(s)TE*(s)T 有干擾信號(hào)的采樣系統(tǒng)，令R(s)=0R(s)E*(s)E(s)C(s)N(s) 例7.18如圖(T=1),試確定 （1）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)； （2）在 z平面繪出系統(tǒng)零極點(diǎn)圖； （3）系統(tǒng)的差分方程。解. (1)(3)(2)系統(tǒng)z平面零極點(diǎn)圖 開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)(1) 環(huán)節(jié)之間有開關(guān)時(shí)

25、(2) 環(huán)節(jié)之間無開關(guān)時(shí) (3) 有ZOH 時(shí)注：加ZOH不改變系統(tǒng)的階數(shù)，不改變開環(huán)極點(diǎn)，只改變開環(huán)零點(diǎn)。 解:例7.19求采樣系統(tǒng)的輸出C(z)。 本節(jié)討論離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)指出計(jì)算離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差的方法。7.6.1離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件（一）S平面和Z平面的映射關(guān)系設(shè)復(fù)變量則因?yàn)橛捎赟平面Z平面變化一周變化一周Z平面以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)（顯然有|z|= et=1)S平面是虛軸上的點(diǎn)z平面的單位圓映射到s平面為虛軸；z平面單位圓內(nèi)的點(diǎn)（|z|= et1）映射到s平面位于左半平面的點(diǎn)（ 1 ）映射到s平面則位于右半平面的點(diǎn)（0) 。S平面Z平面7.6 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)

26、態(tài)誤差Z平面S平面 （二）線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件R(s)R*(s)E(s)C(s)C*(s)TE*(s)T 勞斯判據(jù)用到離散系統(tǒng)，必須引入Z域到 w域的線性變換，使Z平面上的單位圓，映射成w平面上的左半平面，這種新的坐標(biāo)變換，稱為雙線性變換，或稱為w變換。7.6.2 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)雙線性變換法Z和W均為復(fù)變量將Z帶入 （2）W平面的左半平面對(duì)應(yīng)Z平面單位圓內(nèi)（3）W平面的右半平面對(duì)應(yīng)Z平面單位圓外討論（1）W平面的虛軸對(duì)應(yīng)Z平面單位圓Z平面W平面 例7.20 如圖，求系統(tǒng)穩(wěn)定的K1。解:R(s)E(s)C(s)E*(s)T整理得:

27、勞斯表 例7.21如圖示，T=1s，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1 值范圍。解：閉環(huán)特征方程R(s)C(s)T 勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是即所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍是 T、k對(duì)離散系統(tǒng)性能的影響TkT=0 k=0.2k=0.8k=1.2k=10k=100結(jié)論T不變時(shí),k越大性能越差k不變時(shí), T越大性能越差(T為采樣周期)本次課程作業(yè)7 - 5(1,3)自動(dòng)控制原理7 - 6 (1,2,4)7 - 97 - 11 朱利判據(jù)朱利判據(jù)是直接在z域應(yīng)用的穩(wěn)定性判據(jù),類似連續(xù)系統(tǒng)中的赫爾維茨判據(jù)。朱利判據(jù)是根據(jù)特征方程D(z)=0的系數(shù)，判斷其根是否位于z平面的單位圓內(nèi)；閉環(huán)特征方程利用閉環(huán)特征方程系數(shù)，構(gòu)造（2

28、n-3）行、（n+1）列朱利陣列 行數(shù)1234562n-52n-42n-3朱利陣列的2k+2行各元，是2k+行各元的反序排列，從第三行起，陣列中各元的定義如下頁 從第三行起，陣列中各元的定義： 朱利穩(wěn)定判據(jù)：(z)=的根全部位于單位圓內(nèi)的充分必要條件是以及下列(n-1)個(gè)約束條件成立當(dāng)上述條件滿足時(shí)，離散系統(tǒng)才穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。 朱利判據(jù) D(z)=z4-1.368z3+0.4z2+0.08z+0.002=0z0 z1 z2 z3 z4 1 2 3 4 5-1 1 -1.368 0.4 0.08 0.0020.002 0.08 0.4 -1.368 11.368-0.399-0.082-0.0

29、82-0.3991.368-10.002 0.08 0.4 -1.368 1 1 -1.368 0.4 0.08 0.0020.993-1.4010.5110.511-1.4010.993-11.368-0.399-0.082-0.082-0.3991.368-1穩(wěn)定的必要條件：n為偶數(shù)時(shí) D(1)0,D(-1)0n為奇數(shù)時(shí) D(1)0,D(-1)0，1-a+b0，1-b+a0由朱利判據(jù)的充分條件得：ab00,D(-1)0n為奇數(shù)時(shí) D(1)0,D(-1)0,對(duì)應(yīng)暫態(tài)分量 指數(shù)函數(shù)的情況。pk 在單位圓內(nèi)的位置確定c*(t) 的動(dòng)態(tài)形式，分三種情況。1.正實(shí)軸上的閉環(huán)單極點(diǎn)(1) pk1，閉環(huán)

30、極點(diǎn)在單位圓外的正實(shí)軸上，指數(shù)函數(shù)發(fā)散型。Ck(nT) 是按指數(shù)規(guī)律發(fā)散的脈沖序列;(2) pk =1，閉環(huán)極點(diǎn)在單位圓上，指數(shù)函數(shù)為恒值函數(shù)。Ck(nT) 為等幅脈沖序列;(3) 0 pk 1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的正實(shí)軸上，指數(shù)函數(shù)為衰減型函數(shù)。 Ck(nT) 按指數(shù)規(guī)律衰減的脈沖序列， pk 越接近原點(diǎn)，衰減越快。 pk -1，極點(diǎn) pk 在單位圓外的負(fù)實(shí)軸上，指數(shù)函數(shù)振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。Ck(nT)是振蕩發(fā)散的脈沖序列；(2) -1 pk 0，極點(diǎn)pk在單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸上，指數(shù)函數(shù)振蕩收斂， Ck(nT)是振蕩收斂的脈沖序列，系統(tǒng)穩(wěn)定； 2.負(fù)實(shí)軸上的閉環(huán)單極點(diǎn)pk 1 ，系統(tǒng)發(fā)散振

31、蕩，不穩(wěn)定；|Pk| 0Pk1 ,發(fā)散振蕩，不穩(wěn)定|Pk| 1 ,衰減振蕩,穩(wěn)定 例7.24如圖， , T=0.5s，用根軌跡法確定K值的穩(wěn)定范圍。解:根軌跡始點(diǎn)為1和0.6065，終止點(diǎn)為-0.8469。特征方程為R(s)C(s)T特征根 0K6.37時(shí)，Z12為實(shí)根，0.211K6.37時(shí)， Z12為共軛復(fù)根。特別是 K=0， Z1=1 ，z2=0.6065 K=0.211， Z12 =0.7915（重根） K=6.73， Z12 =2.475（重根）為求共軛復(fù)根軌跡，取Z=+j 代入特征方程，實(shí)部與虛部為圓方程共軛復(fù)根位于所描述的圓上。做出圖示根軌跡,從單位圓看出，0K0.211,系統(tǒng)非

32、振蕩穩(wěn)定，0.211K4.36 ,系統(tǒng)不穩(wěn)定。 注：離散系統(tǒng)的根軌跡與連續(xù)系統(tǒng)相似。 離散系統(tǒng)的校正也是設(shè)計(jì)滿足系統(tǒng)性能的校正裝置。離散系統(tǒng)可以用串聯(lián)并聯(lián)局部反饋和復(fù)合校正。根據(jù)傳遞信號(hào)的特點(diǎn)，校正分為連續(xù)校正和脈沖或數(shù)字校正，如圖示。但大多采用數(shù)字裝置實(shí)現(xiàn)校正。 7.8 線性離散系統(tǒng)的數(shù)字校正R(s)C(s)TTR(s)C(s)T 閉環(huán)特征方程表示為 Z域中的根軌跡作圖方法與S域中的根軌跡作圖規(guī)則一致。7.8.1 用根軌跡法綜合數(shù)字校正裝置 連續(xù)系統(tǒng)中穩(wěn)定邊界是根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界是根軌跡與單位圓的交點(diǎn)。當(dāng)系統(tǒng)有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，且指標(biāo)是誤差系數(shù)或阻尼比等形式給出時(shí)，可以應(yīng)

33、用根軌跡法。抵消不希望的極點(diǎn)，使系統(tǒng)達(dá)到要求。如圖，先繪出校正前系統(tǒng)的根軌跡圖。如果不滿足給定的要求，利用校正裝置引入新零點(diǎn)，R(s)C(s)T 7.8.2數(shù)字校正裝置的實(shí)現(xiàn)數(shù)字校正裝置可以用簡(jiǎn)單低廉的RC網(wǎng)絡(luò)。數(shù)字計(jì)算機(jī)控制時(shí)，脈沖傳遞函數(shù)D(z)可以用數(shù)字程序來實(shí)現(xiàn)，又稱為數(shù)字濾波器方式。R(s)C(s)TR(s)C(s)TT RC網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn) Gc(s)時(shí)，Gc(s)的極點(diǎn)通常為負(fù)的實(shí)數(shù)，所以Gc(s) /s 可以展開成1. 用RC網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)D(z)如圖示，Gc(s)表示RC校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)有于是有常系數(shù)由上兩式可以直接求出RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)TTD(s) 數(shù)字控制系統(tǒng)中，數(shù)字控制器D(z)又

34、稱為數(shù)字補(bǔ)償器或數(shù)字濾波器，可以直接用計(jì)算機(jī)程序來實(shí)現(xiàn)D（z）。常用的編程方法: 直接程序法， 串聯(lián)程序法 并聯(lián)程序法。2.用計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)D（z）R(s)C(s)TT 采樣時(shí)刻的輸入e1和計(jì)算結(jié)果e2要送入存儲(chǔ)單元，以備下一采樣時(shí)刻的計(jì)算。程序編制框圖如圖示D(z)為可寫成求Z反變換，并整理得表示現(xiàn)在采樣時(shí)刻過去采樣時(shí)刻與現(xiàn)在采樣時(shí)刻距i個(gè)采樣周期由圖可知 例:已知用直接程序法編求脈沖傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)程序的表達(dá)式解:已知求Z反變換，得其中（k=0,1,2），e2(kT)就是要編制的程序表達(dá)式，用直接程序法容易很實(shí)現(xiàn)。 最少拍離散控制系統(tǒng)，是在指定輸入下快速響應(yīng)，且無穩(wěn)態(tài)誤差的離散控制系統(tǒng)，典型

35、輸入信號(hào)（如單位階躍信號(hào)單位斜坡信號(hào)或單位加速度信號(hào)）作用下，系統(tǒng)的過渡過程最短，能在極少的幾個(gè)采樣周期（通常一個(gè)采樣周期時(shí)間為一拍）內(nèi)結(jié)束過渡過程，并且穩(wěn)態(tài)誤差為零，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的完全跟蹤，最少拍離散系統(tǒng)又稱為最快響應(yīng)系統(tǒng)。 7.9 最少拍離散系統(tǒng)的分析與校正 如圖示7.9.1 最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)誤差的Z變換為冪級(jí)數(shù)展開得則則R(s)C(s)TT 最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)，是針對(duì)典型輸入（單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)）的作用下進(jìn)行的。它們的Z變換分別為7.9.2 最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)上述典型輸入信號(hào)的一般表達(dá)式A(z)是不含(1-z-1)因子的 z-1 多項(xiàng)式 要使穩(wěn)態(tài)誤差為零,e(

36、z)中應(yīng)包含有(1-z-1)m的因子，由最少拍定義，需求穩(wěn)態(tài)誤差的表達(dá)式e() ,e(t)的Z變換Z變換的終值定理，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為為使D(z)簡(jiǎn)單，階數(shù)最低，取F(s)=1。目的是使(z) 的全部極點(diǎn)位于Z平面的原點(diǎn)。因此得到 即不含(1-z-1) 因子的多項(xiàng)式上兩式即無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。 若廣義被控對(duì)象G(z)無遲延,且在Z平面單位圓上及單位圓外無零極點(diǎn)，要求選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) (z)，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)歷最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，從而達(dá)到完全跟蹤的目的，最后確定出所需要的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則

37、： (1) 輸入信號(hào)是r(t)=1(t)，幾種典型輸入信號(hào)作用時(shí)的情況。m=1，所以（2）輸入信號(hào)是m=2，所以 (3)輸入信號(hào)是，m=3，所以 最少拍系統(tǒng)在前述輸入信號(hào)作用下的暫態(tài)響應(yīng) c*(t) 如圖所示。 不同的輸入，相應(yīng)最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)與過渡時(shí)間列于P243表75所示。最少拍單位階躍響應(yīng) 最少拍單位斜波響應(yīng)最少拍單位加速度響應(yīng) 例7.25如圖示，已知為單位階躍函數(shù)，c(0)=0。設(shè)計(jì)D(z)，使系統(tǒng)為無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍系統(tǒng)。（e-1 =0.368, e-2 =o.136 ）。為實(shí)現(xiàn)階躍輸入是無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍系統(tǒng)，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為解：t=1秒時(shí)，z變換為R(s)C(s)T

38、T 所以D(z)是可實(shí)現(xiàn)的,校正后系統(tǒng)輸出Z變換為如圖所示。系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，瞬態(tài)過程將在一個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束，且在采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零。 按某種典型輸入信號(hào)設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)，對(duì)其它形式的輸入信號(hào)，響應(yīng)不一定理想。如前述校正后系統(tǒng)改用加速度輸入，系統(tǒng)誤差的Z變換為 注意穩(wěn)態(tài)誤差為以上討論的最少拍系統(tǒng)的校正方法，及P243表7-5中的基本結(jié)論，是G(z)在Z平面以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外無零、極點(diǎn)，且系統(tǒng)不包含遲后環(huán)節(jié)的情況下得到的。如果不滿足這些條件，就不能直接應(yīng)用相關(guān)的結(jié)論。 (z)和e(z) 都不含Z平面單位圓上或圓外極點(diǎn)。G(z)中所包含的單位圓上或圓外的零、極點(diǎn)也不希望用D(z)來補(bǔ)償，以免參數(shù)漂移會(huì)對(duì)這種補(bǔ)償帶來不利的影響。這樣一來，G(z)中所包含的單位圓上或圓外的極點(diǎn)便只能靠 e(z) 的零點(diǎn)來抵消，而G(z)所含單位圓上或