北京市西城區(qū)第四十四2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組， ， 可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個(gè)小組的概率為（ ）A B C D2不等式的解集記為，有下面四個(gè)命題：；.其中的真命題是（ ）ABCD3已知正四面體的內(nèi)切球體積為v，外

2、接球的體積為V，則（ ）A4B8C9D274關(guān)于函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：函數(shù)的一個(gè)周期為；函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）ABCD5若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（ ）A4B5C6D76給出下列三個(gè)命題：“”的否定；在中，“”是“”的充要條件；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D37已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A9B10C18D208若，則， ， ， 的大小關(guān)系為（ ）ABCD9已知直線是曲線的切線，則（ ）A或1B或2C或D或110音樂(lè)，是用聲音來(lái)展現(xiàn)美，給

3、人以聽(tīng)覺(jué)上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì)，他證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，它們是一些形如的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音，其余的為泛音由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂(lè)音的是（ ）ABCD11在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為( )A1010.1B10.1Clg10.1D1010.112我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有

4、如下問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺莞生一日，長(zhǎng)一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)倍？”意思是：“今有蒲草第天長(zhǎng)高尺，蕪草第天長(zhǎng)高尺以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，蕪草每天長(zhǎng)高前一天的倍.問(wèn)第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長(zhǎng)所需要的天數(shù)是（ ）（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：，）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數(shù)的極大值為_(kāi).14已知四棱錐，底面四邊形為正方形，四棱錐的體積為，在該四棱錐內(nèi)放置一球，則球體積的最大值為_(kāi)15在中，角、所對(duì)的邊分別為、，若，則的取值范圍是_16二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則展開(kāi)式中的常

5、數(shù)項(xiàng)為_(kāi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形，平面平面ABCD，M，N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).（1）求直線CM與平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系，并給出證明.18（12分）如圖所示，已知平面，為等邊三角形，為邊上的中點(diǎn)，且.()求證：面；()求證：平面平面；()求該幾何體的體積19（12分）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，線段的中點(diǎn)為.（）求角的大??；（）已知，求的大小.20（12分）在以ABCDEF為

6、頂點(diǎn)的五面體中，底面ABCD為菱形，ABC120，ABAEED2EF，EFAB，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)，平面EAD平面ABCD.（1）證明：BDEG；（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長(zhǎng).21（12分）如圖，已知拋物線：與圓： （）相交于， ， ，四個(gè)點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）設(shè)四邊形的面積為，當(dāng)最大時(shí)，求直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).22（10分）已知拋物線，焦點(diǎn)為，直線交拋物線于兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)是原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別是，當(dāng)直線的縱截距為1時(shí)，有數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知存在正整數(shù)使得，求m的值.參考答案

7、一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有種，故概率為.2A【解析】作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時(shí)，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.3D【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，

8、利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，則，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的球心為，則，解得：；設(shè)外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，在中，由勾股定理得：，解得， 故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問(wèn)題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.4C【解析】用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.當(dāng)時(shí)，再利用單調(diào)性判斷.根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，而，當(dāng)時(shí)，再求值域.【詳解】因?yàn)?，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞增，故正確；函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，易知，故當(dāng)時(shí)，故正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三

9、角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.5B【解析】先化簡(jiǎn)的二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng)，然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng).令，則，（舍）或.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題6C【解析】結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對(duì)三個(gè)命題逐個(gè)分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對(duì)于命題,因?yàn)?所以“”是真命題,故其否定是假命題,即是假命題;對(duì)于命題,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,即,可得到,即必要性成立.故命題正確;對(duì)于命題,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到的圖象,即命題是假命題故假命

10、題有.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7B【解析】由已知可得函數(shù)f（x）的周期與對(duì)稱軸，函數(shù)F（x）f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F（x）f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由f（x）f （2x），得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于x1對(duì)稱，f（x）為偶函數(shù)，取xx+2，可得f（x+2）f（x）f（x），得函數(shù)周期為2.又當(dāng)x0，1時(shí)，f（x）x，且

11、f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x1，0時(shí)，f（x）x，g（x），作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖：由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)F（x）f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.8D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?.綜上；故選D.9D【解析】求得直線的斜率，利用曲線的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對(duì)于，令，解得，故切點(diǎn)為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.10C【解析】由基本音的諧波的定義可得,利用可

12、得,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.11A【解析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)信息處理能力閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.12C【解析】由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長(zhǎng)度，進(jìn)而可得：，解出即可得出【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長(zhǎng)度分別為 據(jù)題意得：， 解得2n12， n21故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)

13、公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.14【解析】由題知，該四棱錐為正四棱錐，作出該正四棱錐的高和斜高，連接，則球心O必在的邊上，設(shè)，由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知，設(shè)，用和表示四棱錐的體積，解得和的關(guān)系，進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑，并求出半徑的最大值，進(jìn)而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè)，由球O內(nèi)切于四棱錐可知，則，

14、球O的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積問(wèn)題，內(nèi)切球問(wèn)題，考查空間想象能力，屬于較難的填空壓軸題.15【解析】計(jì)算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題16【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求出，由二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，從而得常數(shù)項(xiàng)【詳解】由題意，展開(kāi)式通項(xiàng)為，由得，常數(shù)項(xiàng)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字

15、說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）（2）（3）直線平面，證明見(jiàn)解析【解析】取中點(diǎn)，連接，則，再由已知證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量（1）求出的坐標(biāo)，由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面的一個(gè)法向量，再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）求出的坐標(biāo)，由，結(jié)合平面，可得直線平面【詳解】底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形取中點(diǎn)，連接，則，為等邊三角形，又平面平面，且平面平面，平面以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系則，1，0，0，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，取，得（1）證明：設(shè)直線與平

16、面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得二面角的余弦值為；（3），又平面，直線平面【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題18（）見(jiàn)解析； （）見(jiàn)解析； （）.【解析】（I）取的中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（II）利用，證得平面，從而得到平面，由此證得平面平面.（III）作交于點(diǎn)，易得面，利用棱錐的體積公式，計(jì)算出棱錐的體積.【詳解】()取的中點(diǎn)，連接，則，故四邊形為平行四邊形.故.又面，平面，所以面.()為等邊三角形，為

17、中點(diǎn)，所以.又，所以面.又，故面，所以面平面.()幾何體是四棱錐，作交于點(diǎn)，即面，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查空間想象能力，所以中檔題.19（）；（）.【解析】（）由正弦定理邊化角，再結(jié)合轉(zhuǎn)化即可求解；（）可設(shè)，由，再由余弦定理解得，對(duì)中，由余弦定理有，通過(guò)勾股定理逆定理可得，進(jìn)而得解【詳解】（）由正弦定理得.而.由以上兩式得，即.由于，所以，又由于，得.（）設(shè)，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整理得，由于，所以.在中，由余弦定理有.所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用，屬于中檔題20（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析

18、】（1）取中點(diǎn)，連，可得，結(jié)合平面EAD平面ABCD，可證平面ABCD，進(jìn)而有，再由底面是菱形可得，可得，可證得平面，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)底面邊長(zhǎng)為，由EFAB，AB2EF，求出體積，建立的方程，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連，底面ABCD為菱形，平面EAD平面ABCD，平面平面平面，平面平面，底面ABCD為菱形，為中點(diǎn)，平面，平面平面，；（2）設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，則，所以菱形ABCD的邊長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明和椎體的體積，注意空間中垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，體積問(wèn)題要熟練應(yīng)用等體積方法，屬于中檔題.21（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程, 拋物線與圓有四個(gè)交點(diǎn)需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.不妨設(shè)拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)等腰梯形的