專題02 函數(shù)的綜合應(yīng)用（解析版）

1、專題02函數(shù)的綜合應(yīng)用 【考點(diǎn)預(yù)測】高考中考查函數(shù)的內(nèi)容主要是以綜合題的形式出現(xiàn)，通常是函數(shù)與數(shù)列的綜合、函數(shù)與不等式的綜合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合及函數(shù)的開放性試題和信息題，求解這些問題時(shí)，著重掌握函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識點(diǎn)融會(huì)貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數(shù)圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數(shù)圖像的各種變換形式（如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數(shù)的概念與性質(zhì)；掌握指數(shù)、對數(shù)式大小比較的常見方法；掌握指數(shù)、對數(shù)方程和不等式的解法；掌握導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)

2、數(shù)的幾何意義，特別是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等.【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合題型二：函數(shù)與不等式的綜合題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題【典例例題】題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合例1（2022浙江效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用不等式可得，即，由累加法可得，利用不等式可得，即，同理用累加法可得，則，即可求解.【詳解】（當(dāng)時(shí)等號成立），當(dāng)時(shí)，即，則，整理得，即，即，將個(gè)不等式相加得，即，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在出取得最大值，所以（當(dāng)時(shí)等號成立），當(dāng)時(shí)，（當(dāng)時(shí)等號成立），即當(dāng)時(shí)， ，即，同理利用累加法可

3、得，即，所以，則，故選： .例2（2022遼寧東北育才學(xué)校二模）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用可得，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，得出，利用導(dǎo)數(shù)可得在單調(diào)遞增，即可得出當(dāng)時(shí)，即可求解.【詳解】令，則，由得，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，與已知矛盾，所以，則，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，令，則，所以在單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?故選：B.例3（2022浙江紹興模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】將已知等式化為，根據(jù)的單調(diào)性和，可得，由此可化簡得到；分別構(gòu)造函數(shù)

4、、和，利用導(dǎo)數(shù)可求得各個(gè)函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性得到最值，從而判斷出各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】，令，則，在上單調(diào)遞增，又，解得：；對于A，令，則，在上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；對于B，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；對于C，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，使得，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，使得，C錯(cuò)誤；對于D，令，則，當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞增，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造不等式求得的取值范圍，進(jìn)而可以通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

5、最值的求解問題，從而利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.例4（2022浙江慈溪中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，且，則下列關(guān)于數(shù)列的敘述正確的是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)（），由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，從而利用數(shù)學(xué)歸納法證明，然后構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)證明，得，利用此不等式可直接判斷A，對選項(xiàng)B，由數(shù)列的單調(diào)性與有界性知其極限存在，設(shè)，對數(shù)列的遞推關(guān)系求極值可得，從而判斷B，對選項(xiàng)C，引入函數(shù)設(shè)，由導(dǎo)數(shù)證明，得，從而利用不等式性質(zhì)得出數(shù)列的不等關(guān)系，判斷C，利用判斷選項(xiàng)C所得正確不等式變形，并換元引入新數(shù)列，得前后項(xiàng)關(guān)系（求對數(shù)再變化），類比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法得出結(jié)論后判斷D【詳解】首先我們證

6、明：，利用數(shù)學(xué)歸納法事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，；假設(shè)當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)（），則，則在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，設(shè)（），則，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，又，所以存在，使得，時(shí)，時(shí)，故在上先增后減，從而，從而對于A選項(xiàng)：由于，故數(shù)列單調(diào)遞增，選項(xiàng)A錯(cuò)誤對于B選項(xiàng)，由于單調(diào)遞增且，從而存在，由可得，故，從而故選項(xiàng)B錯(cuò)誤對于C選項(xiàng)，由于時(shí)，設(shè)，所以是增函數(shù)，所以（），時(shí)，因此有（），從而，故，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤對于D選項(xiàng)，由于，即，令，則，即，其中，故，從而，即，即，故從而選項(xiàng)D正確故選：D【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)，難度很大，解題難點(diǎn)在于有關(guān)數(shù)列的不等關(guān)系，一是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，二是需引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

7、單調(diào)性，從而得出數(shù)列的不等關(guān)系，考查了學(xué)生的邏輯能力，運(yùn)算求解能力，屬于困難題例5（2022遼寧二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】把已知等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，可知和是函數(shù)的零點(diǎn)，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并研究其零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求得的關(guān)系，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可求解.【詳解】令，即和是函數(shù)的零點(diǎn)，故f(x)最多有一個(gè)零點(diǎn)，又，12，.故選：B例6（2022上海高三專題練習(xí)）若等差數(shù)列的公差，令函數(shù)，其中，則下列四個(gè)結(jié)論中：；錯(cuò)誤的序號是_.【答案】【解析】【分析】不妨取，則過原點(diǎn)，且在最下方，根據(jù)性質(zhì)逐項(xiàng)判定，即可

8、求解，得到答案.【詳解】不妨取，則過原點(diǎn)，且在最下方，可得中，函數(shù)是正確的；中，所以，所以不正確；中，所以，所以是正確的；中，由，函數(shù)無最大值，所以不正確；中，函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即函數(shù)，所以是正確的.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及函數(shù)的基本行性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用題設(shè)條件，構(gòu)造新函數(shù)，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)與數(shù)列知識的相互聯(lián)系、相似性質(zhì)：（1）抽象函數(shù)的關(guān)系與數(shù)列遞推關(guān)系式類似.(2)函數(shù)單調(diào)性與數(shù)列單調(diào)性的相似性.（3）數(shù)列與不等式的綜合可以利用數(shù)列的形式構(gòu)造輔

9、助函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式，因此解決數(shù)列問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，用函數(shù)的知識或方法解決.題型二：函數(shù)與不等式的綜合例7（2022全國模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，對任意，均有，已知a，b為關(guān)于x的方程的兩個(gè)解，則關(guān)于t的不等式的解集為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由題可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，利用函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】由，得且函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱由對任意，均有，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增因?yàn)閍，b為關(guān)于x的方程的兩個(gè)解，所以，解得，且，即又，令，則，則由，得，所以綜上，t 的取值范圍是.故選：D例8（2022海南

10、模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】令，討論的單調(diào)性，分析畫出函數(shù)的圖象，由可知.【詳解】關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，令，當(dāng) ，所以在上單調(diào)遞減，同理已知在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，的圖象如下圖，而的距離為1，即在之間有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，所以，則的取值范圍是：.故答案為：.例9（2022全國高三專題練習(xí)）不等式的解集為：_【答案】【解析】【分析】將不等式化為，構(gòu)造根據(jù)其單調(diào)性可得，求解即可.【詳解】不等式變形為所以，令，則有，顯然在R上單調(diào)遞增，則，可得解得.故不等式的解集為故答案為：例10（2022

11、四川遂寧三模（文）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法，在其年幼時(shí)，對的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意先求，然后利用倒序相加法求，則由可得，求出的最小值即可求得的取值范圍【詳解】因?yàn)?，所以，由，所以，所以，所以由，得，所以，令，（）則當(dāng)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍是，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】不等式問題轉(zhuǎn)

12、化為函數(shù)問題是靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)，常量轉(zhuǎn)化為變量，這體現(xiàn)了函數(shù)思想，并能用函數(shù)的圖像及性質(zhì)解答.題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題例11（2022全國高三專題練習(xí)）定義兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的定義域分別為，若對任意的，總存在，使得，我們就稱函數(shù)為的“子函數(shù)”已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若為的一個(gè)“子函數(shù)”，求的最小值【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，令，可得的單調(diào)遞增區(qū)間；令，可得的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)的單調(diào)性求出的取值范圍，進(jìn)而得到，即有實(shí)數(shù)解，從而得到，令，可得，令，則，利用換元法和函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】（1），函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?/p>

13、，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，即最小值，所以，當(dāng)時(shí)，且為連續(xù)函數(shù)，只需，即有實(shí)數(shù)解，即，因?yàn)?，則，令，即在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，將看成直線上的點(diǎn)，令，則，令，則，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，不等式的解法，考查了換元法和等價(jià)轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.例12（2022上海高三專題練習(xí)）若存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意，都有成立，則稱函數(shù)在其定義域 上是“利普希茲條件函數(shù)”（1）若函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”，

14、求常數(shù)的最小值；（2）判斷函數(shù)是否是“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明，若不是，請說明理由；（3）若是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”，證明：對任意的實(shí)數(shù),都有【答案】(1)；（2）不是，理由見解析；（3）證明見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）不妨設(shè)，則恒成立 ，從而可得結(jié)果；（2）令，則，從而可得函數(shù)不是“利普希茲條件函數(shù)”； （3）設(shè)的最大值為，最小值為，在一個(gè)周期，內(nèi)，利用基本不等式的性質(zhì)可證明.試題解析：（1）若函數(shù)f（x）=，（1x4）是“k利普希茲條件函數(shù)”，則對于定義域1，4上任意兩個(gè)x1，x2（x1x2），均有|f（x1）f（x2）|k|x1x2|成立， 不妨設(shè)x1x2，則

15、k=恒成立1x2x14，k的最小值為 （2）f（x）=log2x的定義域?yàn)椋?，+），令x1=，x2=，則f（）f（）=log2log2=1（2）=1，而2|x1x2|=，f（x1）f（x2）2|x1x2|，函數(shù)f（x）=log2x 不是“2利普希茲條件函數(shù)”（3）設(shè)f（x）的最大值為M，最小值為m，在一個(gè)周期0，2內(nèi)f（a）=M，f（b）=m，則|f（x1）f（x2）|Mm=f（a）f（b）|ab|若|ab|1，顯然有|f（x1）f（x2）|ab|1若|ab|1，不妨設(shè)ab，則0b+2a1，|f（x1）f（x2）|Mm=f（a）f（b+2）|ab2|1綜上，|f（x1）f（x2）|1例13（

16、2022上海高三專題練習(xí)）對定義域的函數(shù)，規(guī)定：函數(shù)（1）若函數(shù)，寫出函數(shù)的解析式；（2）求問題（1）中函數(shù)的值域；（3）若，其中是常數(shù)，且，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，及一個(gè)的值，使得，并予以證明.【答案】（1）；（2）；（3），當(dāng)時(shí)，此時(shí).【解析】【詳解】試題分析：（）依題意得，分討論，利用函數(shù)性質(zhì)可求得函數(shù)的解析式；（）當(dāng)時(shí)，易求；當(dāng)時(shí)，再對分和討論，利用基本不等式即可求得函數(shù)的值域；（）構(gòu)造函數(shù)，可求得，繼而可證得試題解析：（1）.（2）當(dāng)時(shí), 若時(shí), 則,其中等號當(dāng)時(shí)成立,若時(shí), 則,其中等號當(dāng)時(shí)成立, 函數(shù)的值域是.（3） 令,則,于是,另解令,于是.考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用例14（

17、2022上海高三專題練習(xí)）對于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”（1）求證：對任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求的取值范圍；（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由【答案】（1）證明見解析 （2） （3）存在，【解析】【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可證明；（2）根據(jù)“同比不減函數(shù)”的定義，恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的最值關(guān)系，即可求出結(jié)果；（3）去絕對值化簡函數(shù)解析式，根據(jù)“同比不減函數(shù)”的定義，取，因?yàn)槌闪?，求出的范圍，然后證明對任意的，恒成立，即

18、可求出結(jié)論.【詳解】證明：（1）任取正常數(shù)，存在，所以，因?yàn)?，即不恒成立，所以不是“同比不減函數(shù)”.（2）因?yàn)楹瘮?shù)是“同比不減函數(shù)”，所以恒成立，即恒成立，對一切成立.所以.（3）設(shè)函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌闪?，所以，所以，而另一方面，若，（）?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以有成?（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即成?綜上，恒有有成立，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查從特殊到一般的解決問題方法，屬于較難題.【方法技巧與總結(jié)】緊扣題目中所給的信息和對已知條件的解讀理解，將其轉(zhuǎn)化為已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，然后利用函數(shù)性質(zhì)解題.【過關(guān)測試】一、單選題1（2022全國高三

19、專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)a，b，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由存在，使得成立，故，又對任意的實(shí)數(shù)a，b，則，數(shù)形結(jié)合，為函數(shù)與函數(shù)圖象上的縱向距離的最大值中的最小值，求出的邊界直線，即過點(diǎn)，再求出與平行且與相切的直線，則為與正中間的直線，可得答案.【詳解】由存在，使得成立，故，又對任意的實(shí)數(shù)a，b，則，可看作橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象上的縱向距離的最大值中的最小值，又，作示意圖如圖所示：設(shè)，則直線的方程，設(shè)與相切，則，得，有，得或，由圖知，切點(diǎn)，則，當(dāng)直線與，平行且兩直線距離相等時(shí)，即恰好處于正中間時(shí)，函數(shù)與圖象上的縱向距離能取到最大

20、值中的最小值，此時(shí)，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了存在和任意問題，考查了學(xué)生分析理解能力，運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，難度較大.2（2022全國高三專題練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)滿足，則其圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.已知：函數(shù)，則函數(shù)圖象的中心對稱點(diǎn)是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】求出，即可求，即可選出正確答案.【詳解】解:由得，所以，所以圖象的中心對稱點(diǎn)是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)對稱中心的求解，屬于基礎(chǔ)題.3（2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為，則的取值范圍是ABCD【答案】B【解析】【分析】作出圖象，求出，利用對稱性把轉(zhuǎn)化

21、為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求范圍.【詳解】作出函數(shù)，的圖象如圖，不妨設(shè)，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立得，所以；因?yàn)榕c的圖象關(guān)于直線對稱，而與垂直，所以，且.令，且，則易知為增函數(shù)，所以，因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，綜合了分段函數(shù)的圖象問題，函數(shù)的對稱問題，范圍問題等，難度較大，綜合性較強(qiáng)，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).4（2022全國高三專題練習(xí)（理）已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)都有，記，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造,借助已知條件可判斷出在區(qū)間上單調(diào)遞減,由在上為奇函數(shù),可知在上為偶函數(shù),由,借助函數(shù)圖象性質(zhì)即可解得.【詳解】不妨設(shè):，由題意

22、得，即，同理.當(dāng)時(shí)，有，據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且函數(shù)是偶函數(shù)，因此，因?yàn)椋?，?故選:.【點(diǎn)睛】本題通過構(gòu)造新函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,比較函數(shù)值大小的問題,注意應(yīng)將自變量置于同一單調(diào)區(qū)間再借助單調(diào)性比較,考查分析問題和解決問題的能力，難度一般.5（2022全國高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：f(x)是偶函數(shù)f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增f(x)在有4個(gè)零點(diǎn)f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是ABCD【答案】C【解析】【分析】化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案【詳解】為偶函數(shù)，故正確當(dāng)時(shí)，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在

23、有個(gè)零點(diǎn)：，故錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又為偶函數(shù)，的最大值為，故正確綜上所述，正確，故選C【點(diǎn)睛】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得正確，故選C6（2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先求得函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)，把函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，轉(zhuǎn)化為在上有解，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，借助有解，即求解【詳解】由題意，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為，即，若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則等價(jià)為在上有解，即，在上有解，由，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)

24、時(shí)，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，取得極小值同時(shí)也是最小值，且，即，當(dāng)時(shí)，即，設(shè)，要使得有解，則當(dāng)過點(diǎn) 時(shí)，得，過點(diǎn)時(shí)，解得，綜上可得故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有解問題，以及函數(shù)的對稱問題的應(yīng)用，其中把函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，轉(zhuǎn)化為有解，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，結(jié)合圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題7（2022天津一中模擬預(yù)測）已知，且函數(shù).若對任意的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為ABCD【答案】B【解析】先參變分離得，然后分類討論求出得最小值，列不等式解出的范圍即可.【詳解】解：因?yàn)椋坏仁胶愠闪?，所以，即恒成立，令，則，時(shí)，0

25、，g（x）遞減；時(shí)，0，g（x）遞增，所以g（x）最小值為：，令（），所以令（1）當(dāng)時(shí)，t4，所以的最小值為：，所以，即，解得：，所以（2）當(dāng)14時(shí)，所以，的最小值為：，所以，即，解得：所以恒成立綜合（1）（2）可知：故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的綜合問題，不等式恒成立問題，參變分離和分類討論是解題關(guān)鍵，屬于難題.8（2022全國高三專題練習(xí)（文）設(shè)函數(shù)，其中 ，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)

26、的橫坐標(biāo)為整數(shù)， ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的最小值為.又，.直線恒過定點(diǎn)且斜率為，故且，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.二、多選題9（2022浙江嘉興高二期中）對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在區(qū)間，同時(shí)滿足下列條件：在上是單調(diào)的；當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是，則稱為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是（）ABCD【答案】BD【解析】【分析】由 “和諧區(qū)間”定義，結(jié)合每個(gè)函數(shù)進(jìn)行判斷，逐一證明函數(shù)存在或不存在“和諧區(qū)間”即可【詳解】對A，可知函數(shù)單調(diào)遞增，則若定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)椋什淮嬖凇昂椭C區(qū)間”；對B，可假設(shè)在存在“和諧區(qū)間”，函數(shù)為增函數(shù)

27、，若定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，則，解得（符合），（舍去），故函數(shù)存在“和諧區(qū)間”；對C，對稱軸為，先討論區(qū)間，函數(shù)為減函數(shù)，若定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，則滿足，解得，故與題設(shè)矛盾；同理當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足，解得，故無解，所以不存在“和諧區(qū)間”； 對D，為單增函數(shù)，則應(yīng)滿足，可將解析式看作，由圖可知，兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則存在“和諧區(qū)間”故選BD【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義，函數(shù)基本性質(zhì)，方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，屬于難題10（2021福建福州高一期末）設(shè)，計(jì)算機(jī)程序中的命令函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.若函數(shù)（，且），則下列說法正確的是（）A在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)B在區(qū)間上不存在最大值C在區(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)D若的圖象

28、上至少存在4對關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，則.【答案】BD【解析】由題意，畫出的圖象，觀察在區(qū)間的圖像即可判斷選項(xiàng)AB；觀察在區(qū)間上的零點(diǎn)即可判斷選項(xiàng)C；通過條件分析出函數(shù)與的圖象至少有4個(gè)交點(diǎn)，觀察圖像得到，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題意，畫出的圖象如圖所示：由在區(qū)間上的圖象可知，在區(qū)間上為非單調(diào)函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；在區(qū)間上，沒有最大值，B項(xiàng)正確；無論還是，在區(qū)間內(nèi)恒有1個(gè)零點(diǎn)，由圖象可知，在區(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間上有6個(gè)零點(diǎn)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；要使的圖象上至少存在4對關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，則函數(shù)與的圖象至少有4個(gè)交點(diǎn)，由圖象得，解得，D項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是函數(shù)的綜合問題，主要考

29、查函數(shù)的圖像，函數(shù)的單調(diào)性以及考生對新定義的理解.數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.11（2021全國高一單元測試）數(shù)學(xué)的對稱美在中國傳統(tǒng)文化中多有體現(xiàn)，譬如如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化對稱統(tǒng)一的和諧美.如果能夠?qū)A的周長和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”，下列說法正確的是（）A對于任意一個(gè)圓，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個(gè)B可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”C正弦函數(shù)可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”D函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對稱圖形【答案】ABC【解析】【分析】利用“優(yōu)美函數(shù)”的定義判斷選項(xiàng)A，B，C正確，函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則函數(shù)有可能

30、是“優(yōu)美函數(shù)”，但是函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”時(shí)，圖象不一定是中心對稱圖形，舉出反例，可判斷選項(xiàng)D錯(cuò)誤【詳解】對于A：過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時(shí)平分，所以對于任意一個(gè)圓，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個(gè)，故選項(xiàng)A正確；對于B：因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以將圓的圓心放在原點(diǎn)，則函數(shù)是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”，故選項(xiàng)B正確；對于C：將圓的圓心放在正弦函數(shù)的對稱中心上，則正弦函數(shù)是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”，故選項(xiàng)C正確；對于D：函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則函數(shù)不一定是“優(yōu)美函數(shù)”，如；函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”時(shí)，圖象也不一定是中心對稱圖形，如圖所示：所以函數(shù)的圖象是中心對稱圖形是函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的不充分不必要條件

31、，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過函數(shù)的新定義，結(jié)合函數(shù)圖象的應(yīng)用，以及對函數(shù)對稱性的理解，使用數(shù)形結(jié)合的方法來分析問題.12（2020重慶市秀山高級中學(xué)校高三階段練習(xí)）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，給出以下命題，其中正確的是（）A若，則BC若，則可由解得的范圍是D若，則函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】根據(jù)的意義判斷，即時(shí)，【詳解】由題意時(shí)，A設(shè)，則，若，則，即，A正確；B由的定義，時(shí)，同理時(shí)，時(shí)，時(shí)，B正確；C，若，則，滿足題意，但也滿足題意，C錯(cuò)；D定義域是，則，即，是奇函數(shù)；設(shè)，則， 時(shí)，時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，D正確故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)，解題關(guān)鍵是理解新定義，

32、用不等關(guān)系表示出函數(shù)的值，從而使問題得解旨在學(xué)生的創(chuàng)新意識，運(yùn)算求解能力邏輯推理能力13（2022全國高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，其中，則_，_.【答案】 0 【解析】先令，代入函數(shù)即可計(jì)算出的值；然后根據(jù)題干的表達(dá)式可得，很明顯，進(jìn)一步化簡計(jì)算再代入可得的值.【詳解】由得，很明顯，即，令，則，故答案為：0，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合考查了轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思想，邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題.三、填空題14（2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，給出下列命題：存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)；對任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)關(guān)于對稱；若對任意非零實(shí)數(shù)，都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；存在實(shí)數(shù)

33、，使得函數(shù)對任意非零實(shí)數(shù)均存在6個(gè)零點(diǎn).其中的真命題是_.（寫出所有真命題的序號）【答案】【解析】利用特殊值法可判斷不正確；驗(yàn)證，可判定正確；利用基本不等式可判定正確；當(dāng)時(shí)，分析出函數(shù)在上現(xiàn)遞減再遞增，即，可得出，利用不恒成立，可判定錯(cuò)誤，同理可得，當(dāng)時(shí)，命題也不成立，從而得到為假命題.【詳解】由題意，令，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以函數(shù)為偶函數(shù).對于，若，則 ，則，此時(shí)函數(shù)不是奇函數(shù)；若，則函數(shù)的定義域?yàn)榍?，顯然.綜上所述，對任意的，函數(shù)都不是奇函數(shù)；對于，所以，函數(shù)關(guān)于直線對稱.因此，對任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)關(guān)于對稱，所以正確；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以

34、，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，兩個(gè)等號可以同時(shí)成立，所以.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，正確；對于，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得直線與函數(shù)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，若，當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，任取，且，即，則 ，因?yàn)椋S著的增大而增大，當(dāng)且時(shí)，當(dāng)且時(shí)，所以，使得當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，.若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實(shí)數(shù)均存在6個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則直線與函數(shù)在直線右側(cè)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以，.由于為定值，當(dāng)且當(dāng)逐漸增大時(shí)，也在逐漸增大，所以不可能恒成立，所以當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實(shí)數(shù) 均存在6個(gè)零點(diǎn)；同理可知，當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實(shí)數(shù)均存在6個(gè)零點(diǎn)，故命題錯(cuò)誤.故答案為：.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題的常用方法：1、分離參數(shù)法：一般命題的情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離出參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，求得新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題的情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各校范圍并在