彈性力學(xué)-第四章 應(yīng)力應(yīng)變-問題建立

1、第四章 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 彈性力學(xué)(l xu)問題的建立材料的應(yīng)力應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系-材料固有特性，因此稱為物理方程或者本構(gòu)關(guān)系總結(jié)彈性力學(xué)基本方程 討論求解彈性力學(xué)問題的方法解的唯一性 局部(jb)影響原理 疊加原理共六十六頁目錄4.1廣義胡克定律4.2彈性體的應(yīng)變能函數(shù)(hnsh)4.3 彈性力學(xué)問題的提法4.4 彈性力學(xué)解的唯一性定理 逆解法和半逆解法4.5局部影響原理 解的疊加原理共六十六頁靜力學(xué)靜力平衡方程(fngchng) 描述力（應(yīng)力）關(guān)系運動學(xué)幾何方程變形協(xié)調(diào)方程 描述變形（應(yīng)變，位移）關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變間？有著完全確定的關(guān)系是材料的固有特性稱作物理方程或本構(gòu)關(guān)系 胡克定律共六十六頁應(yīng)力應(yīng)

2、變關(guān)系屬于材料性能 稱為物理方程或者本構(gòu)方程單向拉伸或者扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過實驗確定：這一定律是虎克在大量的材料拉伸、剪切試驗研究基礎(chǔ)上于1678年正式發(fā)表的，它雖然簡單卻非常重要(zhngyo)，這一定律奠定了彈性理論的物理基礎(chǔ)。 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)難以通過實驗確定4.1 廣義(gungy)胡克定律共六十六頁 與此相關(guān)的是材料(cilio)受拉時的側(cè)向收縮現(xiàn)象。法國科學(xué)家泊松（Poisson）指出：材料在一個方向的拉伸必伴隨著與之垂直方向的收縮，收縮比：彈性常數(shù)中，E拉壓彈性模量，簡稱彈性模量、楊氏（Yong）模量。G剪切彈性模量，簡稱剛度模量。側(cè)向收縮系數(shù)，簡稱泊松比。4.1 胡克(h k)

3、定理2對每一種材料，它們都是定植。這為試驗所證明。對于均勻、各向同性材料，可以證明只有2個獨立彈性常數(shù)。三個常數(shù)E，G， 間存在關(guān)系：共六十六頁上式表明，物體中一點的3個正應(yīng)力與3個正應(yīng)變(yngbin)之間相互牽連，而剪應(yīng)力與剪應(yīng)變(yngbin)之間互不相關(guān)。廣義(gungy)胡克定律逆彈性關(guān)系關(guān)系4.1 胡克定理3共六十六頁 各向同性材料廣義(gungy)胡克（Hooke）定律l稱為拉梅（Lame）彈性(tnxng)常數(shù)4.1 胡克定理4將前三式相加，則有體積應(yīng)變體積應(yīng)力又稱為應(yīng)變張量剪應(yīng)變 共六十六頁工程(gngchng)彈性常數(shù)與拉梅彈性常數(shù)之間的關(guān)系為兩個獨立的彈性(tnxng)常

4、數(shù)實驗測定：單向拉伸實驗可以測出彈性模量E薄壁管扭轉(zhuǎn)實驗可以測定剪切彈性模量G4.1 彈性常數(shù)5共六十六頁各向同性材料主應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)對應(yīng)的切應(yīng)力分量均為零。 所有的切應(yīng)變分量也為零。所以，各向同性彈性體應(yīng)力主軸同時又是應(yīng)變主軸應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向是重合的4.1 彈性(tnxng)常數(shù)6以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，則對應(yīng)的切應(yīng)力分量均應(yīng)為零。共六十六頁物理意義物體各個方向上的彈性性質(zhì)完全相同，即物理性質(zhì)的完全對稱。數(shù)學(xué)反映應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系(gun x)在所有方位不同的坐標(biāo)系中都一樣。金屬材料各向同性彈性體，是最常見的工程材料。彈性力學(xué)主要討論各向同性材料。各向同性( xin tn xn)彈

5、性體4.1 胡克定理7共六十六頁4.2 彈性體的應(yīng)變(yngbin)能函數(shù). 應(yīng)變能彈性體發(fā)生變形時，外力作的功將轉(zhuǎn)化(zhunhu)為彈性體的內(nèi)能。對于完全彈性體，內(nèi)能就是物體的應(yīng)變能設(shè)U0為彈性體單位體積的應(yīng)變能，經(jīng)推導(dǎo)，得到同時用應(yīng)力和應(yīng)變表達(dá)的應(yīng)變能（推導(dǎo)略）共六十六頁僅用應(yīng)力(yngl)表示的應(yīng)變能函數(shù) 將應(yīng)變(yngbin)能對應(yīng)變(yngbin)分量求導(dǎo)，能夠得到應(yīng)力. 格林公式 4.2 應(yīng)變能2共六十六頁僅用應(yīng)變分量表達(dá)(biod)的應(yīng)變能（推導(dǎo)略）可見 U0 恒大于零，即單位(dnwi)體積的應(yīng)變能總是正的。 4.2 應(yīng)變能3共六十六頁總結(jié)彈性力學(xué)(l xu)基本理論；討論已

6、知物理量、基本未知量；以及物理量之間的關(guān)系基本方程和邊界條件。4.3 彈性力學(xué)(l xu)基本方程 彈性力學(xué)(l xu)問題的解法共六十六頁彈性力學(xué)基本(jbn)方程 1. 平衡(pnghng)微分方程2. 幾何方程 4.3 基本方程2共六十六頁3. 變形(bin xng)協(xié)調(diào)方程位移作為基本未知量時，變形協(xié)調(diào)方程(fngchng)自然滿足。4.3 基本方程3共六十六頁本構(gòu)方程(fngchng)廣義胡克定律 應(yīng)力表示 應(yīng)變表示 4.3 基本(jbn)方程4共六十六頁邊界條件若物體表面(biomin)的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz已知則面力邊界條件為：若物體表面(biomin)的位移 已知，

7、則位移邊界條件為 若物體部分表面面力和部分表面位移已知，則為混合邊界條件4.3 基本方程5共六十六頁 總結(jié)(zngji)：4.3 基本(jbn)方程6已建立的方程反映力學(xué)關(guān)系的平衡微分方程（3個）反映變形關(guān)系的幾何方程（6個）反映物理性質(zhì)的本構(gòu)方程（6個） 這些方程稱作基本方程或泛定方程（15個）共六十六頁變形協(xié)調(diào)方程由幾何方程求解位移(wiy)時，需要確定變形是否協(xié)調(diào)4.3 基本(jbn)方程7共六十六頁彈性力學(xué)問題的提法已知什么幾何性質(zhì)：形狀與尺寸物理性質(zhì)：E，G 等受載荷情況：體力 Fb面力 Fs物體的約束情況：邊界位移 u,v,w求什么應(yīng)力分量ij ，6個應(yīng)變分量ij ， 6個位移分量

8、 u,v,w ，3個 一共15個變量怎樣求建立變量間的關(guān)系(gun x)（一般是微分方程）解方程（求積分）由已知條件確定待定常數(shù)4.3 基本(jbn)提法1共六十六頁彈性力學(xué)的任務(wù)(rn wu)就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。求解彈性力學(xué)問題時，并不需要同時求解十五個基本未知量，可以做必要的簡化。為簡化求解的難度，僅選取部分未知量作為基本未知量。4.3 基本(jbn)提法2共六十六頁在給定的邊界條件下，求解(qi ji)偏微分方程組的問題，數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問題。按照不同的邊界條件，彈性力學(xué)有三類邊值問題。第一類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力分量為

9、Fsx、Fsy和Fsz，邊界條件為面力邊界條件。第二類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量，邊界條件為位移邊界條件。4.3 基本(jbn)提法3共六十六頁第三類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體(wt)表面的部分位移分量和部分面力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界條件。以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實際工程問題。若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問題的解是唯一的。4.3 基本(jbn)提法4共六十六頁邊值問題基本方程與邊界條件構(gòu)成了邊值問題按邊界條件的不同，邊值問題分為(fn wi)三類體力面力位移對應(yīng)邊界條件第

10、一類邊值問題已知已知面力邊界條件第二類邊值問題已知已知位移邊界條件第三類邊值問題已知部分表面已知部分表面已知混合邊界條件共六十六頁三種直接解法：理 論 上：由15個方程可同時(tngsh)求解15個變量實 際 上：比較困難，也沒有必要通常做法：選部分作為基本未知量，列出只含有這些未知量的方程， 先求這些未知量，然后求其它位移解法以位移為基本未知量：位移幾何方程應(yīng)變本構(gòu)方程應(yīng)力應(yīng)力解法以應(yīng)力為基本未知量：應(yīng)力本構(gòu)方程應(yīng)變幾何方程+協(xié)調(diào)方程位移 混合解法以部分位移和部分應(yīng)力為基本未知量如何列出只含基本未知量的方程？ “消元”法注：不同于直接解法的是逆解法、半逆解法等共六十六頁基本思路導(dǎo)出僅含有3個

11、位移分量u,v,w的方程，即從基本方程中消去應(yīng)力和應(yīng)變分量，留3個方程即可求解“消元”方法將應(yīng)力用應(yīng)變表示胡克定律將應(yīng)變用位移表示幾何(j h)方程故可將應(yīng)力用位移表示將用位移表示的應(yīng)力代入平衡方程得到只含有位移分量的平衡方程位移(wiy)解法共六十六頁將幾何方程代入應(yīng)變表示的本構(gòu)方程得到(d do)由位移分量表達(dá)的應(yīng)力分量 其中4.3 位移(wiy)解法2共六十六頁將位移表示的應(yīng)力分量 代入靜力平衡方程得到(d do)以位移表示的平衡方程，稱拉梅（Lam）方程： 2為拉普拉斯運算符號共六十六頁說明位移解法就是解用位移表示的平衡方程 拉梅方程該方程是靜力平衡方程、幾何方程、物理方程的綜合該方程

12、是關(guān)于3個位移變量的微分方程 u(x,y,z), v(x,y,z),w(x,y,z)如果已知的邊界條件為位移邊界條件問題變?yōu)榍笤趦?nèi)部滿足拉梅方程在邊界處滿足邊界條件的位移函數(shù)如果已知的邊界條件為應(yīng)力邊界條件因前面(qin mian)只給出了用應(yīng)力表示的邊界條件所以下面設(shè)法將其用位移表示4.3 位移(wiy)解法4共六十六頁得位移函數(shù)(hnsh)表達(dá)的面力邊界條件這一邊界條件幾乎(jh)不可能實現(xiàn) 4.3 位移解法5共六十六頁位移(wiy)解法的基本未知量為3個位移函數(shù)基本方程為3個拉梅方程對于位移邊界條件，位移解法是十分的合適的。4.3 位移(wiy)解法6共六十六頁總之，位移解法以位移為基本

13、未知函數(shù)，歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，可通過(tnggu)幾何方程和物理方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。位移解法 可以求解 三類 彈性力學(xué)邊值問題。4.3 位移(wiy)解法7共六十六頁應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解的方法稱為應(yīng)力解法(ji f)。應(yīng)力解法綜述用應(yīng)力法求解，必須滿足平衡微分方程、變形協(xié)調(diào)方程。 應(yīng)力解法的基本方程 應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程應(yīng)力(yngl)解法4.3 應(yīng)力解法1共六十六頁代入變形協(xié)調(diào)方程(fngchng)第一、四式4.3 應(yīng)力(yngl)解法2可以得到：a)b)c)共六十六頁輪換x,y,z還可以得到其余四個類似方程(

14、fngchng)，問題到此可以結(jié)束了， 但可以利用平衡方程(fngchng)再將它們簡化。4.3 應(yīng)力(yngl)解法3將平衡方程的一、二式對x,y求一階偏導(dǎo)，然后相加，再利用平衡方程的第三式，就得到：d)將式d）代入式b)的右邊，并注意e)共六十六頁輪換x,y,z還可以(ky)得到其余二個類似方程，將式e）與輪換得到的其他二式相加，得到一個重要的公式4.3 應(yīng)力(yngl)解法4f)將式f）代入式e) ，則有共六十六頁這種形式(xngsh)的綜合方程（相容方程），稱為應(yīng)力協(xié)調(diào)方程或拜爾脫拉密-密切爾（Beltrami-Michell）方程 。4.3 應(yīng)力(yngl)解法5共六十六頁對于體力為

15、零或常量的情況，上述方程(fngchng)簡化為 在確定應(yīng)力分量后，則由物理方程確定應(yīng)變分量，再由幾何(j h)方程確定位移分量。由于位移邊界條件一般無法改用應(yīng)力分量及其導(dǎo)數(shù)來表示，故位移邊值問題和混合問題一般都不能按應(yīng)力法求得精確解。4.3 應(yīng)力解法3共六十六頁如果應(yīng)力分量是坐標(biāo)x,y,z的線性函數(shù)，則上式中的各二階偏導(dǎo)數(shù)項為零，即應(yīng)力分量恒滿足相容方程，稱此種問題為彈性力學(xué)的最簡單問題。即在體力不計或體積力為常量時，任何滿足平衡微分方程(wi fn fn chn)和應(yīng)力邊界條件的線性函數(shù)形式的應(yīng)力分量表達(dá)式，就是問題的精確解答。當(dāng)然，對于多連通物體，應(yīng)力解答還應(yīng)滿足位移的單值條件。4.3

16、應(yīng)力(yngl)解法4共六十六頁應(yīng)力解法的基本未知量為6個應(yīng)力分量(fn ling)；基本方程為3個平衡微分方程和6個變形協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力解法適用于面力邊界條件?？偠灾?，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時，歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程組。 4.3 應(yīng)力(yngl)解法5共六十六頁體力為常量時一些(yxi)物理量的特性彈性力學(xué)(l xu)的基本未知量位移、應(yīng)力和應(yīng)變等在體力為常量時具有一些特性。掌握這些特性，可以幫助我們分析彈性力學(xué)問題。物理量特性4.3 體力為長量時1共六十六頁體力(tl)為常量，體積應(yīng)力和體積應(yīng)變均滿足拉普拉斯（Lapla

17、ce)方程。體積應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)為調(diào)和函數(shù)。位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量均滿足雙調(diào)和方程，位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量為雙調(diào)和函數(shù)。 4.3 體力(tl)為長量時2共六十六頁 解的唯一性原理彈性體受已知體力作用，在物體的邊界上， 或者面力已知；或者位移(wiy)已知； 或者一部分面力已知，另一部分位移已知。則彈性體平衡時，體內(nèi)各點的應(yīng)力和應(yīng)變是唯一的；對于后兩種情況，位移也是唯一的。4.4 彈性力學(xué)(l xu)解的唯一性定理 逆解法和半逆解法共六十六頁4.4 唯一性2 解的唯一性原理的證明：設(shè)在給定的體力和邊界條件下，有兩組不同(b tn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量的解； 它們都應(yīng)滿足前述邊

18、值問題的基本方程(fngchng)和邊界條件。將兩組應(yīng)力分量的解分別代入平衡微分方程，并對應(yīng)相減，有a)共六十六頁4.4 唯一性3將兩組應(yīng)力(yngl)分量的解分別代入應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，并相減，有b)共六十六頁4.4 唯一性4將兩組應(yīng)力(yngl)分量的解分別代入靜力邊界條件，并相減，有將兩組應(yīng)力分量的解分別(fnbi)代入位移邊界條件，并相減，有c)d)共六十六頁4.4 唯一性5由初始無應(yīng)力的自然狀態(tài)假設(shè)(jish)可知，此時彈性體內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變均應(yīng)為零，即兩組解的差值應(yīng)為零?？梢?，原設(shè)的兩組解完全相同。于是，證明了解是唯一的。必須指出，解的唯一性定理只有滿足小變形條件，適用迭加原理和自然狀態(tài)假

19、設(shè)的前提下，才是正確的。由上述(shngsh)方程組a)、b)、c)、d)可知，這兩組解的差值，就相當(dāng)于彈性體的體力、面力和位移均為零的解。 共六十六頁逆解法根據(jù)問題的性質(zhì)，確定基本未知量和相應(yīng)的基本方程，并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)。然后在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，其表面(biomin)將受什么樣的面力作用或者將有什么樣的位移。4.4 唯一性6共六十六頁半逆解法對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征和變形特點，或已知簡單結(jié)論，如材料力學(xué)解，假設(shè)部分應(yīng)力分量或者部分位移(wiy)分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后

20、根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。如所作的假設(shè)不滿足基本方程或不符合所考慮的問題，則需重新設(shè)定或修正，直到滿足為止。半逆解法系由Saint-Venant提出，故又稱為Saint-Venant解法或湊合解法。4.4 唯一性7共六十六頁逆解法和半逆解法的應(yīng)用將在以后的章節(jié)中介紹，其求解過程帶有“試算”的性質(zhì)。偏微分方程邊值問題求解困難難以確定彈性力學(xué)問題的解析(ji x)解顯然彈性力學(xué)解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。4.4 唯一性8共六十六頁舉例： 設(shè)：有一半空間體，單位體積重 p=g，在水平邊界(binji)上受均布壓力 q 作用，求：應(yīng)力分布及位移分量.解：由已知條件知，體力分

21、量 Fbx=0、Fby=0、Fbz=g， 由于幾何形狀和載荷對稱于z軸，故可假設(shè) u=0,v=0,w=w(z) 采用位移法，由拉梅方程并注意以上情況得 對拉梅方程進(jìn)行積分，得 式中的常數(shù) A 和 B 要由邊界條件確定xzoqh例一 半逆解法(ji f)-位移解法1共六十六頁在表面（z=0），有l(wèi) = m = 0，n = -1。面力Fsx= Fsy=0, Fsz=q代入由位移表示的邊界條件，得代入積分結(jié)果，得設(shè)在距離(jl)表面h處位移等于0，即(w)z=h=0,則有代入后，得位移分布函數(shù)的解xzoqh例一 半逆解法(ji f)-位移解法2共六十六頁分析最大位移發(fā)生(fshng)在邊界上，即z=

22、0處將位移解代入由位移表示的應(yīng)力公式，得例一 半逆解法(ji f)-位移解法3共六十六頁由解的唯一性定理可知，如有兩組靜力等效的力系（主矢向量、主矩均相等）分別作用于同一彈性體的同一部分，則由于它們的分布情況不同而有不同的邊界值，從而使彈性體內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力狀態(tài)也不同。事實上，對于給定的問題，我們往往只知道其邊界力的總值，一般很難知道其準(zhǔn)確的分布情況。因而，在解彈性力學(xué)的基本(jbn)方程時，如何正確選定邊界條件，以獲得問題的真實解，是一個極為重要的課題。首先對此作出解答的是Saint-Venant所提出的局部性原理或Saint-Venant原理。4. 5 局部影響(yngxing)原理 解的疊加

23、原理共六十六頁物體任意一個小部分作用一個平衡力系，則該平衡力系在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力分布，僅局限于力系作用的附近區(qū)域。在距離(jl)該區(qū)域相當(dāng)遠(yuǎn)處，這種影響便急劇減小。4.5 局部(jb)影響2共六十六頁 局部影響原理可表述為：分別作用于彈性體同一局部表面上的靜力等效力系所產(chǎn)生的應(yīng)力場（或應(yīng)變場），只在力系直接作用的小區(qū)域及其附近才有明顯的差別，而在離該區(qū)域較遠(yuǎn)處，這種差別便急劇減小，可忽略不計。也就是說，作用于物體局部表面上的外力系，無論(wln)其分布情況如何，都可用與之靜力等效的力系代替。應(yīng)該指出，這里所謂“局部表面”系指該表面的面積遠(yuǎn)小于物體的總表面積，且其線性尺寸不超過物體的最小特征

24、(tzhng)尺寸，如板與殼的厚度，桿件橫截面的最小尺寸等?，F(xiàn)在通過實例來說明Saint-Venant原理的正確性。 4.5 局部影響3共六十六頁4.5 局部(jb)影響4共六十六頁4.5 局部(jb)影響5共六十六頁4.5 局部(jb)影響6共六十六頁解的疊加原理小變形 線性 彈性 條件下，作用于物體的若干組載荷產(chǎn)生的總效應(yīng)（應(yīng)力(yngl)和變形等），等于每組載荷單獨作用效應(yīng)的總和。4.5 解的疊加共六十六頁第四章 小結(jié)(xioji)彈性物理關(guān)系-本構(gòu)關(guān)系 -廣義胡克定律的一般形式 -應(yīng)變表示(biosh)的本構(gòu)關(guān)系 -拉梅常數(shù) -應(yīng)力表示的本構(gòu)關(guān)系 -工程彈性常數(shù)及與拉梅常數(shù)的換算 -應(yīng)

25、變能及與應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系彈性力學(xué)問題的建立基本方程（泛定方程）三種邊值問題彈性力學(xué)求解方法位移解法應(yīng)力解法解的唯一性定理逆解法和半逆解法圣維南局部影響原理距離決定了影響靜力等效的處理方法共六十六頁第四章 作業(yè)(zuy)4.1 對于(duy)各向同性材料，與下列性質(zhì)無關(guān)的是 。 A. 具有2個彈性常數(shù)； B. 材料性質(zhì)與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)； C. 應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合； D. 彈性常數(shù)為3個。4.2 鋼制圓柱體直徑為d =100mm，外套一個厚度d=5mm的鋼制圓筒，如右圖所示。圓柱體受軸向壓力F = 250kN作用，已知鋼的彈性模量E =210GPa，泊松比=0.3，試求圓筒應(yīng)力。 共六十六頁4.3 選擇題 a. 彈性力學(xué)解的唯一性定理在 條件成立。 A. 具有相同體力和面力邊界條件； B. 具有相同位移約束； C. 相同材料； D. 上述3條同時成立。b. 對于彈性力學(xué)的基本解法，不要求條件 。 A. 基本未知量必須能夠表達(dá)其它未知量； B. 必須有基本未知量表達(dá)的基本方程； C.