第十章-模態(tài)綜合方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第十章 模態(tài)綜合方法10.1 模態(tài)綜合法的基本原理 【為什么要使用模態(tài)綜合法】 復(fù)雜結(jié)構(gòu)自由度多，方程階數(shù)高，計(jì)算成本大。 對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)用假設(shè)模態(tài)法分析難以實(shí)現(xiàn)。 大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)其主要部件可能在不同地區(qū)生產(chǎn)，由于條件限制，只能進(jìn)行部件模態(tài)試驗(yàn)，無法進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗(yàn)。 結(jié)構(gòu)的響應(yīng)只由低階模態(tài)控制，不必為少數(shù)低階模態(tài)去求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的高階動(dòng)力學(xué)方程?！窘鉀Q途徑】仿照有限元方法，先對(duì)各個(gè)局部子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，然后再通過某種方法進(jìn)行整體分析，具體講就是對(duì)各子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，按某

2、種原則得到能恰當(dāng)描述整個(gè)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的“假設(shè)模態(tài)”，再按假設(shè)模態(tài)分析方法來求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。【模態(tài)綜合法的基本思想】 按復(fù)雜結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)將其劃分為若干子結(jié)構(gòu) 對(duì)各子結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，通過動(dòng)力學(xué)分析或試驗(yàn) ，得到子結(jié)構(gòu)的分支模態(tài)。 對(duì)各子結(jié)構(gòu)的物理坐標(biāo)結(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換 對(duì)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行“組集”，獲得整個(gè)結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo) 通過子結(jié)構(gòu)的界面連接條件，作第二次坐標(biāo)變換獨(dú)立坐標(biāo)變換，消去不獨(dú)立的模態(tài)坐標(biāo)，得到一組用獨(dú)立的各子結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)組成的描述整個(gè)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立廣義坐標(biāo)，從而導(dǎo)出整個(gè)系統(tǒng)以獨(dú)立模態(tài)坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)方程?！灸B(tài)綜合法的實(shí)質(zhì)】采用子結(jié)構(gòu)技術(shù)，來獲得一組復(fù)雜結(jié)構(gòu)的品質(zhì)優(yōu)良的“假設(shè)模態(tài)”，以此

3、假設(shè)模態(tài)作為李茲基底所張成的模態(tài)空間，可以很好地覆蓋住系統(tǒng)真實(shí)的低階模態(tài)空間。模態(tài)綜合方法是子結(jié)構(gòu)方法中最成熟、應(yīng)用最普遍的方法?！纠?以兩端固支梁分成兩個(gè)子結(jié)構(gòu)為例，來簡要說明模態(tài)綜合法的基本原理將圖示的梁結(jié)構(gòu)分成兩個(gè)子結(jié)構(gòu)、，其物理坐標(biāo)集分成內(nèi)部坐標(biāo)集和界面坐標(biāo)集，即 （101） 界面位移連續(xù)條件： （102）結(jié)構(gòu)動(dòng)能 （103）結(jié)構(gòu)勢能 （104）假定已經(jīng)選出了各子結(jié)構(gòu)合適的模態(tài)矩陣（下面各節(jié)中就專門討論的求法），則有 （105）通常，的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)少于對(duì)應(yīng)子結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)。記： （106） （107） （108）從而， （109）當(dāng)應(yīng)用拉格朗日方程來建立振動(dòng)方程時(shí)，由于拉格朗日方程要求各相

4、互獨(dú)立，而中有不獨(dú)立的坐標(biāo)。 （1010）由對(duì)接位移條件（界面位移連續(xù)條件）：，有 （1011）寫成約束方程的形式： （1012）下面進(jìn)行第二次坐標(biāo)變換將分塊寫成（1013）則 （1014） （1015） （1016） （1017）稱為獨(dú)立坐標(biāo)變換矩陣。從而 （1018） （1019）由拉格朗日方程可得整個(gè)梁結(jié)構(gòu)通過模態(tài)綜合后的自由振動(dòng)方程為： （1020）相應(yīng)的廣義特征值問題為： （1021）其階數(shù)為所有子結(jié)構(gòu)分支模態(tài)總數(shù)減去界面對(duì)接坐標(biāo)數(shù)。對(duì)其進(jìn)行求解，就可以得到整個(gè)梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)于一般動(dòng)力學(xué)方程，也可以進(jìn)行上述的變換過程，得到縮減了自由度的動(dòng)力學(xué)方程： （1022）其中： （10

5、23） （1024）在模態(tài)綜合法中，為了描述結(jié)構(gòu)在空間的運(yùn)動(dòng)和變形狀態(tài)，采用兩類廣義坐標(biāo)來描述，分別為“物理（幾何）坐標(biāo)”和“模態(tài)坐標(biāo)”，物理坐標(biāo)描述結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的幾何坐標(biāo)位置，而模態(tài)坐標(biāo)則表示物理坐標(biāo)響應(yīng)中各個(gè)模態(tài)成份大小的量。對(duì)于模態(tài)綜合法中的“模態(tài)”一詞，它比“振型”具有更加廣義的內(nèi)涵，它不僅指結(jié)構(gòu)做主振動(dòng)時(shí)的振型，而且還包括了結(jié)構(gòu)在一些特定的外力或者結(jié)點(diǎn)位移作用下產(chǎn)生的靜變形形態(tài)，這些靜變形形態(tài)被認(rèn)為是在整個(gè)結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，各子結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生的變形形態(tài)。而“振型”則是一個(gè)狹義的概念，表示結(jié)構(gòu)作主振動(dòng)時(shí)的變形形式?！灸B(tài)綜合法的基本步驟】由上例可以看到，模態(tài)綜合法的基本步驟可以分成如下六個(gè)步驟：

6、（1）按結(jié)構(gòu)特點(diǎn)劃分子結(jié)構(gòu)（2）計(jì)算并選擇分支模態(tài)進(jìn)行第一次模態(tài)坐標(biāo)變換（3）在全部模態(tài)坐標(biāo)中，選擇不獨(dú)立的廣義坐標(biāo)（4）由位移對(duì)接條件，形成廣義坐標(biāo)的約束方程，得到獨(dú)立坐標(biāo)變換陣（5）對(duì)組集得到的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣進(jìn)行合同變換，得到獨(dú)立坐標(biāo)下的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣，形成整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)方程（6）根據(jù)坐標(biāo)變換關(guān)系，再現(xiàn)子結(jié)構(gòu)物理參數(shù)由上可知，模態(tài)綜合法的關(guān)鍵技術(shù)是如何選擇子結(jié)構(gòu)的分支模態(tài)。10.2 各種形式的分支模態(tài)如前所述，分支模態(tài)就是在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，其子結(jié)構(gòu)（分支結(jié)構(gòu)）可能出現(xiàn)的變形形態(tài)。在模態(tài)綜合法中，分支結(jié)構(gòu)分為兩類：受約束分支結(jié)構(gòu)、有剛體運(yùn)動(dòng)的分支結(jié)構(gòu)。有剛體運(yùn)動(dòng)的分支結(jié)構(gòu)又稱為自由懸

7、浮分支。一、受約束子結(jié)構(gòu)的分支模態(tài)它的可能變形形態(tài)包括：在各種附加約束或無附加約束下自由振動(dòng)模態(tài)，在各種外力作用下的位移形態(tài)，在各種給定的邊界條件下的內(nèi)部位移形態(tài)。在進(jìn)行模態(tài)綜合時(shí)，只需要選其中一部分構(gòu)成其分支模態(tài)，且各有其相應(yīng)的名稱?！局髂B(tài)】分支主模態(tài)由下列子結(jié)構(gòu)的特征方程決定： （1025）在確定分支主模態(tài)時(shí)，需要首先確定子結(jié)構(gòu)的界面坐標(biāo)處理狀態(tài)，按照對(duì)界面位移的處理方法，有三種分支主模態(tài)固定界面主模態(tài)：子結(jié)構(gòu)的全部界面加上附加約束自由界面主模態(tài)：子結(jié)構(gòu)的全部界面都沒有附加約束，但子結(jié)構(gòu)本身原有的約束（稱為自然約束）仍然存在混合界面主模態(tài)：子結(jié)構(gòu)的部分界面加上附加約束在模態(tài)綜合法中，假定

8、主模態(tài)陣都已按質(zhì)量歸一化。即： （1026） （1027）如果模態(tài)綜合法所使用的不是子結(jié)構(gòu)的完全主模態(tài)矩陣，而是保留主模態(tài)集，即經(jīng)過高階模態(tài)截?cái)嗪蟮牟糠值碗A主模態(tài)，模態(tài)綜合法的誤差就由此而產(chǎn)生?！炯s束模態(tài)】約束模態(tài)是指對(duì)界面坐標(biāo)的約束模態(tài)，它定義為：自由界面固定界面在子結(jié)構(gòu)的全部界面自由度上引入附加約束，然后讓這些界面自由度依次產(chǎn)生單位位移，其它約束（包括自然約束和附加約束）則保持不變（即這些界面坐標(biāo)都強(qiáng)制為零）。由此產(chǎn)生的一系列子結(jié)構(gòu)靜變形位移，稱為子結(jié)構(gòu)對(duì)于界面坐標(biāo)的約束模態(tài)，簡稱約束模態(tài)。約束模態(tài)的數(shù)目，等于界面自由度的數(shù)目，全部約束模態(tài)就組成子結(jié)構(gòu)的約束模態(tài)陣，從約束模態(tài)的生成過程看到

9、，它有點(diǎn)類似于有限元法中的形函數(shù)。顯然，約束模態(tài)可以寫成： （1028）下標(biāo)表示子結(jié)構(gòu)不受約束的自由度，表示附加約束的自由度，為單位陣，表示界面坐標(biāo)依次產(chǎn)生單位位移。為子結(jié)構(gòu)內(nèi)部坐標(biāo)由于界面坐標(biāo)依次有單位位移時(shí)所產(chǎn)生的靜態(tài)位移。要讓界面坐標(biāo)依次產(chǎn)生單位位移，必須對(duì)界面坐標(biāo)施加一定的界面力，記界面力矩陣為，則應(yīng)有： （1029）分塊展開第一行有： （1030）從而約束模態(tài)為： （1031）如圖所示為懸臂梁的約束模態(tài)示意圖。【附著模態(tài)】模態(tài)綜合法中的附著模態(tài)是對(duì)界面坐標(biāo)的附著模態(tài)。定義為：對(duì)子結(jié)構(gòu)的界面不附加任何約束，而是在一個(gè)界面自由度上沿此自由度方向施加單位力，而其它自由度上無外力作用，由此得

10、到的子結(jié)構(gòu)靜態(tài)位移向量，就是子結(jié)構(gòu)對(duì)該界面自由度的附著模態(tài)。顯然這個(gè)定義只適合于受約束子結(jié)構(gòu)。依次在每個(gè)界面自由度上作用單位力，就可以得到一系列靜態(tài)位移，也就構(gòu)成子結(jié)構(gòu)對(duì)其界面坐標(biāo)的附著模態(tài)矩陣。根據(jù)附著模態(tài)的定義，附著模態(tài)矩陣由下式來確定： （1032）從而有： （1033）子結(jié)構(gòu)的柔度矩陣為： （1034）所以有： （1035）從而附著模態(tài)為： （1036）【剩余附著模態(tài)】在假設(shè)模態(tài)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，求解其特征值問題時(shí)，要求所用到的假設(shè)模態(tài)應(yīng)該是線性無關(guān)的，但是如果用子結(jié)構(gòu)的主模態(tài)和附著模態(tài)作為假設(shè)模態(tài)集，會(huì)出現(xiàn)主模態(tài)與附著模態(tài)線性相關(guān)的問題。另一方面，在使用子結(jié)構(gòu)的主模態(tài)組成模態(tài)綜合

11、時(shí)的假設(shè)模態(tài)集，采用的是經(jīng)過高階截?cái)嗟闹髂B(tài)。顯而易見，如果在假設(shè)模態(tài)集中加入高階主模態(tài)的信息，則可以提高模態(tài)綜合的精度。前面提到，附著模態(tài)與保留主模態(tài)線性相關(guān)。如果從附著模態(tài)中減去與之不獨(dú)立的低階保留主模態(tài)，則可以得到高階主模態(tài)的近似表達(dá)。這種模態(tài)稱為“剩余附著模態(tài)”設(shè)受約束子結(jié)構(gòu)的全部歸一化主模態(tài)為 （1037）其中，為低階主模態(tài)，即保留主模態(tài)，為高階主模態(tài)，即剩余主模態(tài)。下標(biāo)分別表示內(nèi)部自由度和界面自由度。顯然有 （1038）子結(jié)構(gòu)柔度矩陣為： （1039）定義剩余柔度矩陣： （1040）仿照（1032）的定義，將換成，得到剩余附著模態(tài)陣的定義式為： （1041）下面討論一下受約束子結(jié)構(gòu)

12、剩余附著模態(tài)的物理意義。由定義： （1042）而 （1043）由此，剩余附加約束模態(tài)可以寫成： （1044）顯然，與線性相關(guān)。也就是說，剩余附著模態(tài)實(shí)際是進(jìn)行主模態(tài)截?cái)鄷r(shí)，略去的高階模態(tài)的一種線性組合。因此用剩余附著模態(tài)作為子結(jié)構(gòu)分支模態(tài)集的一個(gè)子集，是對(duì)保留主模態(tài)集的一個(gè)合理補(bǔ)集。由于與保留主模態(tài)具有正交性，因而剩余附著模態(tài)的與也是關(guān)于質(zhì)量陣正交的。即： （1045）二有剛體運(yùn)動(dòng)子結(jié)構(gòu)的分支模態(tài)對(duì)于有剛體運(yùn)動(dòng)的子結(jié)構(gòu)，其模態(tài)集中包含有全部的剛體模態(tài)，由此可知，得到的有剛體運(yùn)動(dòng)子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是奇異的?！局髂B(tài)】有剛體運(yùn)動(dòng)子結(jié)構(gòu)的主模態(tài)的定義與受約束子結(jié)構(gòu)的主模態(tài)定義相同，只是還應(yīng)包括相應(yīng)與剛

13、體自由度的剛體模態(tài)。但是對(duì)于固定界面和混合界面的分支主模態(tài)中，如果附加界面約束消除了剛體自由度，則這時(shí)的分支主模態(tài)集中將沒有剛體模態(tài)?！炯s束模態(tài)】有剛體運(yùn)動(dòng)子結(jié)構(gòu)的約束模態(tài)的定義與受約束子結(jié)構(gòu)的約束模態(tài)定義相同，但是，只有在附加界面約束全部約束了子結(jié)構(gòu)的全部運(yùn)動(dòng)時(shí)，才能求出約束模態(tài)。（1046）【剛體模態(tài)】對(duì)受不完全約束的子結(jié)構(gòu)，即有剛體自由度的子結(jié)構(gòu)，描述其無變形運(yùn)動(dòng)位移的模態(tài)稱為剛體模態(tài)。對(duì)于空間自由懸浮結(jié)構(gòu)，最多只有六個(gè)剛體模態(tài)坐標(biāo)，因此剛體模態(tài)數(shù)滿足。對(duì)于有剛體位移的子結(jié)構(gòu)，其剛體模態(tài)是十分重要的，其分支模態(tài)集中必須包含這些剛體模態(tài)。剛體模態(tài)可以通過求解自由界面子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的特征方程得

14、到。也可以作為子結(jié)構(gòu)約束模態(tài)的一種特殊情況求出，即當(dāng)附加界面約束剛好約束住結(jié)構(gòu)的全部剛體自由度時(shí)，這是求出的約束模態(tài)，就是有剛體運(yùn)動(dòng)自由度的子結(jié)構(gòu)的剛體模態(tài)。 （1047）當(dāng)界面附加約束超過了子結(jié)構(gòu)的剛體自由度時(shí)，約束模態(tài)就是彈性位移和全部剛體位移的線性組合。即這時(shí)的約束模態(tài)實(shí)際上包含了剛體模態(tài)?！纠壳髨D示系統(tǒng)的約束模態(tài)顯然系統(tǒng)有一個(gè)剛體模態(tài)，其剛度矩陣為：故取約束坐標(biāo)集，由方程（1030）得到：如果取界面坐標(biāo)集為：，此時(shí)約束模態(tài)數(shù)和剛體模態(tài)數(shù)相等，約束模態(tài)退化為剛體模態(tài)。即【附著模態(tài)】對(duì)有剛體運(yùn)動(dòng)的子結(jié)構(gòu)，應(yīng)該在子結(jié)構(gòu)中引入適當(dāng)?shù)母郊屿o定約束，并剛好能約束住子結(jié)構(gòu)的剛體運(yùn)動(dòng)，然后才能求其附

15、著模態(tài)。將有剛體運(yùn)動(dòng)子結(jié)構(gòu)的物理坐標(biāo)分為三個(gè)子集，即。為附加約束坐標(biāo)集，它剛好約束住子結(jié)構(gòu)的剛體位移，為界面坐標(biāo)集，為內(nèi)部坐標(biāo)集。根據(jù)附著模態(tài)的定義，在集中的物理坐標(biāo)上依次作用單位力，得到子結(jié)構(gòu)的位移就是附著模態(tài)。 （1048）是在附加約束坐標(biāo)集中產(chǎn)生的附加約束反力。將（1048）分塊展開，得到： （1049）令 （1050）則 （1051）從而有剛體自由度子結(jié)構(gòu)的附著模態(tài)為： （1052）子結(jié)構(gòu)圖中子結(jié)構(gòu)是一個(gè)有剛體自由度的子結(jié)構(gòu)，引入附加約束后，可以求出其附著模態(tài)，如圖所示 【慣性釋放附著模態(tài)】如前面所述，我們看到，對(duì)有剛體自由度子結(jié)構(gòu)，引入附加靜定約束后，在界面坐標(biāo)方向施加單位作用力，得

16、到附著模態(tài)。而慣性釋放附著模態(tài)是在釋放這些附加約束后，在界面單位力作用下求得的附著模態(tài)。但這時(shí)子結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生剛體位移，因此我們將一組相應(yīng)的慣性力作用在子結(jié)構(gòu)上，這些慣性力與界面力組成一個(gè)自平衡力系。慣性釋放附著模態(tài)就是該平衡力系下，子結(jié)構(gòu)的不包含剛體模態(tài)的附著模態(tài)。在界面作用力作用下，子結(jié)構(gòu)的位移矢量是剛體位移分量和變形位移分量之和。即 （1053）代入子結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程 （1054）由于，故得到： （1055）就是上面所說的由界面力與慣性力組成的自平衡力系。假定已經(jīng)求出了子結(jié)構(gòu)的主模態(tài) （1056）與分別為子結(jié)構(gòu)的剛體模態(tài)矩陣和完全彈性變形模態(tài)矩陣。那么有： （1057）于是， （1058）對(duì)方程

17、（1055）作坐標(biāo)變換，并注意到與的正交性，得到： （1059） （1060）其中， （1061）由（1059）得到： （1062）所以 （1063） （1064） （1065）顯然，用矩陣對(duì)界面力矩陣進(jìn)行線性變換，就可以得到子結(jié)構(gòu)在界面力和慣性力組成的自平衡力系。如果主模態(tài)已經(jīng)對(duì)質(zhì)量陣歸一化，則 （1066）自平衡力系作用下的附著模態(tài)由下列方程確定： （1067）上式中， （1068）為界面作用力矩陣。從而， （1069）由此得到： （1070）其中， （1071）一般情況下，中含有子結(jié)構(gòu)的剛體模態(tài)分量，為了消除剛體模態(tài)，令： （1072）由下式?jīng)Q定： （1073）從而： （1074）所以，

18、慣性釋放附著模態(tài)的計(jì)算公式為： （1075）【例】對(duì)圖示系統(tǒng)，設(shè)為約束坐標(biāo)，是附著坐標(biāo)，為內(nèi)部坐標(biāo)，確定系統(tǒng)的附著模態(tài)確定系統(tǒng)的自平衡力系確定系統(tǒng)的慣性釋放附著模態(tài)系統(tǒng)的剛度陣和質(zhì)量陣為：根據(jù)剛度矩陣，可以求得系統(tǒng)的柔度矩陣，從而附著模態(tài)為：312系統(tǒng)有一個(gè)剛體模態(tài)歸一化后得到：自平衡力系為：自平衡力系示意圖如圖。系統(tǒng)的慣性釋放附著模態(tài)為：在模態(tài)綜合法中，常常使用的是分支的慣性釋放附著模態(tài)而不是分支的附著模態(tài)。（整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，慣性釋放附著模態(tài)是子結(jié)構(gòu)更加可能的變形形態(tài)）【剩余慣性釋放附著模態(tài)】定義系統(tǒng)的彈性柔度陣為 （1076）為系統(tǒng)對(duì)模態(tài)坐標(biāo)的剛度矩陣。 （1077）從而 （1078）將完

19、全彈性變形主模態(tài)分成保留主模態(tài)和剩余主模態(tài)，即 （1079） （1080）定義剩余柔度陣為： （1081）根據(jù)（1065）式與（1070）式可得： （1082）故 （1083）類似慣性釋放附著模態(tài)，定義剩余慣性釋放附著模態(tài)： （1084）以上介紹了有關(guān)各種分支模態(tài)的概念，在以后的各種模態(tài)綜合法中會(huì)看到各種模態(tài)綜合方法的差異，就在于模態(tài)集的不同選取。10.3 固定界面模態(tài)綜合法子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法的關(guān)鍵，是對(duì)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換。這首先要假設(shè)一組分支模態(tài)集，這一分支模態(tài)集中，通常不可缺少的是子結(jié)構(gòu)主模態(tài)集，而在求解主模態(tài)集時(shí)，必須先要對(duì)子結(jié)構(gòu)的邊界坐標(biāo)進(jìn)行處理，或者固定，或者自由。固定界面模態(tài)綜合

20、法就是在求解保留主模態(tài)集時(shí)，界面坐標(biāo)是通過引進(jìn)的附加約束全部固定的。顯然，這時(shí)解得的保留主模態(tài)集具有如下形式： （1085）下標(biāo)表示內(nèi)部自由度，表示界面自由度，表示保留主模態(tài)階數(shù)，是由子結(jié)構(gòu)在界面坐標(biāo)固定情況下的特征值問題 （1086）求出的低階特征矢量。是對(duì)應(yīng)于界面坐標(biāo)的模態(tài)分量。固定界面模態(tài)綜合法由Hutty在1960年代初提出，經(jīng)過Craig 和Bampton兩人在1968年改進(jìn)后，修正為C-B方法?！綡utty方法】（1）有剛體運(yùn)動(dòng)子結(jié)構(gòu)的分支模態(tài)集基于運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分為牽連運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)，子結(jié)構(gòu)內(nèi)部任一點(diǎn)的位移，可用如下三種類型的運(yùn)動(dòng)來描述。剛體位移由引起的牽連運(yùn)動(dòng)約束模態(tài)引起

21、的牽連運(yùn)動(dòng)子結(jié)構(gòu)界面上全部加上附加約束后，子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)相對(duì)于這些約束的運(yùn)動(dòng)，由固定界面分支主模態(tài)來描述。 （1087）即 （1088）其中 （1089） （1090）因此在Hutty方法中，對(duì)有剛體自由度的子結(jié)構(gòu)，可以選取子結(jié)構(gòu)對(duì)于界面靜定坐標(biāo)的剛體模態(tài)集，對(duì)于界面贅余坐標(biāo)的約束模態(tài)集和子結(jié)構(gòu)的固定界面保留主模態(tài)集三個(gè)子集。（2）對(duì)于模態(tài)坐標(biāo)的分支特性 子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為： （1091）根據(jù)（1088）式對(duì)上方程進(jìn)行子結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)變換，模態(tài)變換矩陣為： （1092）在模態(tài)坐標(biāo)下的子結(jié)構(gòu)特性矩陣為： （1093） （1094）我們知道，模態(tài)坐標(biāo)下，系統(tǒng)的剛度系數(shù)等于相應(yīng)于第個(gè)模態(tài)產(chǎn)生的應(yīng)力，

22、在相應(yīng)于第個(gè)模態(tài)的應(yīng)變上所做的功；或者等于相應(yīng)于第個(gè)模態(tài)的廣義力，在相應(yīng)于第個(gè)模態(tài)的廣義位移上所做的功。根據(jù)上述，我們可以仔細(xì)研究（1094）式模態(tài)剛度矩陣中各項(xiàng)的意義。，因?yàn)橐粋€(gè)自平衡力系在剛體位移中所做的功為零。為存在約束模態(tài)時(shí)，贅余約束坐標(biāo)處的力在此約束位移上所做的功。它不為零。，因?yàn)樵诠潭ń缑媲闆r下，約束坐標(biāo)是固定不動(dòng)的，約束模態(tài)的外力是界面上的作用力，所以，約束力在主模態(tài)位移上的功為零。，系統(tǒng)有剛體模態(tài)位移時(shí)，沒有受到相應(yīng)于主模態(tài)位移的外力，反之亦然。，因?yàn)橹挥袆傮w模態(tài)位移時(shí)，約束坐標(biāo)的反力為零。由此可得子結(jié)構(gòu)對(duì)于模態(tài)坐標(biāo)的模態(tài)剛度矩陣可以寫成： （1095）（3）模態(tài)綜合設(shè)系統(tǒng)由兩

23、個(gè)子結(jié)構(gòu)組成，它們的分支特性已經(jīng)用上節(jié)的方法求出。系統(tǒng)的位移為： （1096）其中 （1097）系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為： （1098）系統(tǒng)的假設(shè)模態(tài)矩陣為： （1099）作系統(tǒng)的第一次坐標(biāo)變換 （10100）其中 （10101）與模態(tài)坐標(biāo)相應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣和模態(tài)剛度矩陣為： （10102） （10103）兩個(gè)子結(jié)構(gòu)對(duì)接的幾何條件為： （10104）其中， （10105）為界面坐標(biāo)，為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)連接處的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣。由對(duì)接條件（10104）得到： （10106）（10107）進(jìn)一步得到： （10108）（10109）選擇 （10110）為獨(dú)立的廣義坐標(biāo)系統(tǒng)第二次坐標(biāo)變換（獨(dú)立坐標(biāo)變換）為：

24、（10111） （10112）獨(dú)立廣義坐標(biāo)下系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為： （10113）綜合后的系統(tǒng)自由振動(dòng)方程為： （10114）由此就完成了兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)綜合?！綜raig-Bampton方法】固定界面模態(tài)綜合法中最具代表性的一種方法。簡稱為C-B方法。它是對(duì)Hutty方法的改進(jìn)方法。認(rèn)為在子結(jié)構(gòu)的界面自由度中，不必將它們區(qū)分為靜定約束和贅余約束。因?yàn)樵谝粋€(gè)具有高度贅余的界面對(duì)接系統(tǒng)中，哪些界面自由度應(yīng)該作為靜定約束部分，哪些界面自由度應(yīng)該作為贅余自由度，這是完全不明確的。因此，對(duì)界面對(duì)接自由度不做區(qū)分，對(duì)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的模態(tài)綜合是十分方便的。正如對(duì)有剛體運(yùn)動(dòng)子結(jié)構(gòu)的剛體模態(tài)的處理一樣，只要界

25、面附加約束超過子結(jié)構(gòu)的剛體自由度，則約束模態(tài)中就必然包含子結(jié)構(gòu)的剛體模態(tài)。根據(jù)上述,C-B方法所選擇的假設(shè)分支模態(tài)集，由兩個(gè)子集固定界面的分支保留主模態(tài)集以及對(duì)全部界面坐標(biāo)的約束模態(tài)集組成。即： （10115）其中，是子結(jié)構(gòu)界面固定后，求解固定界面的分支特征問題方程： （10116）得到。是一組包括剛體模態(tài)在內(nèi)的約束模態(tài)。由下式求得： （10117）解得： （10118）故（10115）式寫成: （10119）注意到，（10117）式中的與（10116）式中的是不相同的，兩者關(guān)系為： （10120）123因此，C-B法中的子結(jié)構(gòu)保留主模態(tài)集中的模態(tài)數(shù)目由精度需要來選定，而子結(jié)構(gòu)的約束模態(tài)數(shù)目等

26、于界面自由度數(shù)目。它等于Hutty法中剛體模態(tài)與約束模態(tài)之和。但兩種方法的模態(tài)各列的定義不一定相同。以一懸臂梁為例，中間子結(jié)構(gòu)2為一個(gè)具有剛體模態(tài)的子結(jié)構(gòu)，它有兩個(gè)界面，四個(gè)自由度，在Hutty方法中，取其中兩個(gè)作為剛體模態(tài)，兩個(gè)為約束模態(tài)，（圖c）,而C-B方法中，將界面自由度全部作為對(duì)界面坐標(biāo)的約束模態(tài)。按Hutty方法，先根據(jù)界面自由度情況，得到r組剛體模態(tài)，然后在界面坐標(biāo)中取r個(gè)固定?。ㄇ蠹s束模態(tài)時(shí)不再放松），得到一個(gè)靜定的系統(tǒng)，然后對(duì)其余c個(gè)界面坐標(biāo)求得c個(gè)約束模態(tài)。(a)2(b)1111(c)1111(d)下面就用得到的分支模態(tài)矩陣進(jìn)行從物理坐標(biāo)到模態(tài)坐標(biāo)的變換。為了方便，省去表示

27、結(jié)構(gòu)編號(hào)的上標(biāo)。 （10121）寫成分塊形式： （10122）表示子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，為表示保留主模態(tài)及其編號(hào)，表示與對(duì)應(yīng)的行列的分支保留主模態(tài)矩陣，表示個(gè)主模態(tài)坐標(biāo)，表示個(gè)（個(gè)）約束模態(tài)坐標(biāo)。顯然，從而達(dá)到減少系統(tǒng)自由度降階的目的。在模態(tài)坐標(biāo)下的子結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣、剛度陣和阻尼陣等分別為： （10123）將等矩陣分塊展開，得到：（10124）其中 （10125）同樣確定： （10126） （10127）顯然，這種方法中，主模態(tài)坐標(biāo)與約束模態(tài)坐標(biāo)間存在慣性耦合，但沒有彈性耦合。由于子結(jié)構(gòu)間通過界面相連，在各個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)方程建立后，進(jìn)行組集時(shí)，需要進(jìn)行獨(dú)立坐標(biāo)變換。記結(jié)構(gòu)不獨(dú)立的廣義坐標(biāo)以及相應(yīng)

28、的質(zhì)量、剛度矩陣為：（10128）兩個(gè)子結(jié)構(gòu)界面相連接的幾何協(xié)調(diào)條件可以寫成： （10129）為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)不同所必須的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換陣。假定有三個(gè)子結(jié)構(gòu)如圖所示相連接，其不獨(dú)立的廣義坐標(biāo)向量為： （10130）則界面幾何協(xié)調(diào)方程為： （10131）獨(dú)立坐標(biāo)選為： （10134） （10135） （10136）綜合后系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和外力向量（界面內(nèi)力在組集時(shí)自動(dòng)抵消，不出現(xiàn)在方程中）為： （10137）其中： （10138） （10139）最后的振動(dòng)方程為： （10140）在利用方程（10135）對(duì)剛度陣和質(zhì)量陣進(jìn)行變換后會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后的總剛陣組集過程與有限元法中總剛陣裝配的

29、“對(duì)號(hào)入座”過程完全一樣，實(shí)際上有限元素法是一種只用了約束模態(tài)集的固定界面模態(tài)綜合法。由前述可知，各子結(jié)構(gòu)的保留主模態(tài)對(duì)應(yīng)的主模態(tài)坐標(biāo)是彼此獨(dú)立的，而其約束模態(tài)坐標(biāo)為界面的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，相互連接的子結(jié)構(gòu)的界面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)是相等的。如選取結(jié)構(gòu)的獨(dú)立廣義坐標(biāo)為： （10141）為結(jié)構(gòu)的全部界面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)向量，并取統(tǒng)一的子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系，則結(jié)構(gòu)假設(shè)模態(tài)剛度陣和假設(shè)模態(tài)質(zhì)量陣表示為： （10142）其中與按常規(guī)有限元的組集方法，由各子結(jié)構(gòu)的與直接對(duì)號(hào)疊加得到。C-B法得到的系統(tǒng)總自由度為： （10143）即全部子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)中主模態(tài)數(shù)之和，再加上全部界面自由度數(shù)。有限元素法的形函數(shù)，就是固定界面模態(tài)綜合法的約束模

30、態(tài)，因此，有限元素法是一種主模態(tài)集取空集的固定界面模態(tài)綜合法。當(dāng)界面自由度較多時(shí)，即使主模態(tài)數(shù)取得再少，最后的系統(tǒng)方程階數(shù)仍然很高，所以為了降低最后的方程階數(shù)，對(duì)固定界面模態(tài)綜合法又有幾種改進(jìn)：【子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的縮減】：即將最后得到的方程中保留主模態(tài)對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)分為保留項(xiàng)和縮減項(xiàng)： （10144）將分成： （10145）方程（10144）重新寫成： （10146）展開第二行，得到： （10147）假定主模態(tài)已經(jīng)對(duì)質(zhì)量陣歸一化，則： （10148）從而： （10149）上式說明，當(dāng)時(shí)，即對(duì)應(yīng)當(dāng)模態(tài)參與綜合振動(dòng)的貢獻(xiàn)趨于零，故從該階模態(tài)起的高階模態(tài)可以予以縮減?！窘缑嫔系哪B(tài)縮減】在C-B方法中，

31、元素個(gè)數(shù)就是子結(jié)構(gòu)連接界面上的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)，Craig提出用界面上的位移模態(tài)作為廣義坐標(biāo)，使這部分自由度得以降低。（10144）式中的分別是將子結(jié)構(gòu)主模態(tài)矢量固定不變，僅允許連接界面上的自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。由特征值問題： （10150）注意到不同于系統(tǒng)總體振動(dòng)頻率。求解上式得到模態(tài)集，稱為系統(tǒng)的對(duì)接模態(tài)，一共有個(gè)，假定保留其個(gè)對(duì)接模態(tài)，將寫成分塊形式： （10151）其中和分別是保留模態(tài)集和可以減縮的模態(tài)。用保留的對(duì)接模態(tài)進(jìn)行坐標(biāo)變換： （10152）稱為對(duì)接模態(tài)坐標(biāo)。現(xiàn)在用： （10153）從而對(duì)系統(tǒng)做第三次坐標(biāo)變換： （10154）系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣為： （

32、10155）方程（10155）的階數(shù)為，因?yàn)?，顯然系統(tǒng)的階數(shù)得到降低。此外，還有所謂的“多重子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合方法”，其原理是先把結(jié)構(gòu)分成幾個(gè)子結(jié)構(gòu)（一級(jí)子結(jié)構(gòu)），再把每個(gè)一級(jí)子結(jié)構(gòu)分成若干個(gè)二級(jí)子結(jié)構(gòu)。對(duì)二級(jí)子結(jié)構(gòu)，使用改進(jìn)的C-B方法，經(jīng)過三次坐標(biāo)變換，綜合得到一級(jí)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)，此時(shí)假定一級(jí)子結(jié)構(gòu)間的界面是固定的，從而得到的是一級(jí)子結(jié)構(gòu)固定界面主模態(tài)。對(duì)各一級(jí)子結(jié)構(gòu)，以上述主模態(tài)的保留模態(tài)集和一級(jí)子結(jié)構(gòu)界面約束模態(tài)集組成系統(tǒng)的假設(shè)模態(tài)矩陣，進(jìn)行第一次坐標(biāo)變換，再采用修改的C-B方法，進(jìn)行二次、三次坐標(biāo)變換。10.4 自由界面模態(tài)綜合法若在子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)集中，以子結(jié)構(gòu)的自由界面保留主模態(tài)集作為

33、其中一子集，這樣的綜合方法，稱為自由界面模態(tài)綜合法。它是對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的有效方法之一。最早提出自由界面模態(tài)綜合法的是Shou-nien Hou，后來，Hintz、Rubin、R.R.Craig與C.J.Chang、王文亮等人對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)研究，形成了現(xiàn)在常用的自由界面模態(tài)綜合法?！維hou-nin Hou方法】基本思想是把結(jié)構(gòu)分成若干子結(jié)構(gòu)，在求解子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部主模態(tài)時(shí)，子結(jié)構(gòu)界面不加任何附加約束，得到自由界面分支主模態(tài)： （10156）它由自由界面子結(jié)構(gòu)特征方程： （10157）解得。子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)就由求出的各子結(jié)構(gòu)的低階保留主模態(tài)集組成，但主模態(tài)數(shù)必須大于界面自由度數(shù)。用此假設(shè)模

34、態(tài)進(jìn)行第一次坐標(biāo)變換，再考慮界面對(duì)接條件，對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合。Shou-nien Hou方法的特點(diǎn)是，當(dāng)不同的子結(jié)構(gòu)在不同的地方進(jìn)行設(shè)計(jì)制造時(shí)，可以采用子結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)或者使用計(jì)算得到的子結(jié)構(gòu)自由界面保留模態(tài)作為保留主模態(tài)集來進(jìn)行綜合，不需要子結(jié)構(gòu)與子結(jié)構(gòu)間的對(duì)接信息，這一點(diǎn)特別適合于工程上的應(yīng)用。但是由于略去了子結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)，又沒有采用補(bǔ)集模態(tài)，故收斂性較差，且在界面自由度較多時(shí)，最后的方程階數(shù)仍然很高。雖然現(xiàn)在實(shí)際采用不多，但Shou-nien Hou方法是各種自由界面模態(tài)綜合法的基礎(chǔ)，因而有必要進(jìn)行介紹。下面用三個(gè)子結(jié)構(gòu)組成的結(jié)構(gòu)為例介紹自由界面模態(tài)綜合的過程。ACBCBA上圖中，子結(jié)

35、構(gòu)A、B、C的內(nèi)部坐標(biāo)分別用、表示。而子結(jié)構(gòu)界面上的坐標(biāo)分別用、表示。顯然界面上幾何協(xié)調(diào)條件為： （10158）其中、分別表示由于子結(jié)構(gòu)A與B、B與C之間坐標(biāo)系不同而需要的旋轉(zhuǎn)矩陣。當(dāng)坐標(biāo)系相同時(shí)，則旋轉(zhuǎn)矩陣為單位矩陣。顯然，各子結(jié)構(gòu)的物理坐標(biāo)并不完全獨(dú)立。取系統(tǒng)的坐標(biāo)向量為： （10159）相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣具有形式： （10160）如果用 作為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行第一次坐標(biāo)變換的假設(shè)模態(tài)矩陣，其中，分別為子結(jié)構(gòu)A、B、C的自由界面主模態(tài)的保留主模態(tài)集，則有： （10161）進(jìn)行第一次坐標(biāo)變換后的質(zhì)量陣、剛度陣和外力向量為： （10162）設(shè)A子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)為，B子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)為，C

36、子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)為，界面AB和BC的界面自由度分別為和把進(jìn)行相應(yīng)的分塊：（10163）其中，分別為子結(jié)構(gòu)A、B、C的保留主模態(tài)數(shù)。從而界面位移協(xié)調(diào)條件可以寫成： （10164） （10165）其中， （10166）從而，可以解出、為： （10167）若選擇： （10168）為系統(tǒng)獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，進(jìn)行第二次坐標(biāo)變換：（10169）或?qū)憺椋?（10170）獨(dú)立廣義坐標(biāo)下，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣和外力向量為: （10171）最后，由Shou-nien Hou方法導(dǎo)出的整體結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為： （10172）由于子結(jié)構(gòu)間的界面作用力是作用力與反作用力，因此在組集后相互抵消。顯然，綜合后系統(tǒng)總自由度數(shù)

37、為: （10173）其中，為全部子結(jié)構(gòu)的保留主模態(tài)數(shù)，為全部界面自由度數(shù)?！綜raig- Chang方法】由于Shou-nien Hou方法只用了分支的自由界面保留主模態(tài)集，舍去了全部的剩余主模態(tài)的影響，因此結(jié)果的收斂性很差，但如果把分支的全部主模態(tài)都納入分支假設(shè)模態(tài)集中，又達(dá)不到縮減系統(tǒng)自由度的目的。因此，要在工程實(shí)際中使用自由界面模態(tài)綜合法，就必須對(duì)Shou-nien Hou方法進(jìn)行改進(jìn)?；叵胍幌?，我們?cè)谇耙还?jié)介紹了受約束分支的剩余附著模態(tài)，并且得到了剩余附著模態(tài)與剩余主模態(tài)關(guān)系式： （10174）與是相關(guān)的，而且的列數(shù)與界面自由度相同，通常遠(yuǎn)小于剩余主模態(tài)數(shù)。因此，如果用剩余附著模態(tài)集作

38、為假設(shè)模態(tài)集中保留主模態(tài)集的補(bǔ)集是一個(gè)合理的選擇。Craig-Chang方法（C-C方法）就是用約束子結(jié)構(gòu)的自由界面保留主模態(tài)集和分支的剩余附著模態(tài)集組成分支的假設(shè)模態(tài)集。即： （10175）我們已經(jīng)知道： （10176）對(duì)各子結(jié)構(gòu)作第一次坐標(biāo)變換，可以得到以下方程： （10177）其中， （10178）如果主模態(tài)已經(jīng)按模態(tài)質(zhì)量歸一化，則（10177）可以寫成： （10179）式中為作用于子結(jié)構(gòu)的力矢量，當(dāng)結(jié)構(gòu)作自由振動(dòng)時(shí)，沒有外載荷，只有界面上的界面力矢量。即： （10180）由于剩余高階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)低階振動(dòng)影響較小，其慣性項(xiàng)可近似忽略不計(jì)，相當(dāng)于對(duì)剩余模態(tài)只求其“類靜響應(yīng)”。從而由方程（10

39、179）的第二式得到： （10181）由于： （10182） （10183）所以： （10184）將（10182）（10184）代入（10181）得到： （10185）由于是非奇異的，故有： （10186）即模態(tài)坐標(biāo)近似等于子結(jié)構(gòu)的界面作用力。稱其為對(duì)廣義坐標(biāo)的“類靜逼近”。在固定界面模態(tài)綜合法和Shou-nien Hou自由界面模態(tài)綜合法中，都只用到了位移協(xié)調(diào)條件，沒有用到界面力的平衡條件，在C-C方法中，除了用到界面位移協(xié)調(diào)條件外，還要用到界面力平衡條件： （10187）因而我們可以把分支的界面作用力作為分支的剩余附著模態(tài)坐標(biāo)，即把分支的界面作用力作為分支的部分廣義坐標(biāo)，界面力平衡條件為：

40、 （10188）所以在進(jìn)行C-C方法的第二次坐標(biāo)變換時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)子結(jié)構(gòu)間的界面連接，引入的約束方程為： （10189）設(shè)系統(tǒng)由個(gè)子結(jié)構(gòu)組成，系統(tǒng)的物理坐標(biāo)為： （10190）相應(yīng)的質(zhì)量陣、剛度陣為： （10191）對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行第一次坐標(biāo)變換 （10192）系統(tǒng)的模態(tài)坐標(biāo)變換陣為： （10193）對(duì)每一子結(jié)構(gòu)，有： （10194） （10195）為系統(tǒng)不獨(dú)立的模態(tài)坐標(biāo)： （10196）將其元素重新排列： （10197）這個(gè)過程相當(dāng)于一種坐標(biāo)變換： （10198）稱為定位矩陣 （10199）（10189）式給出的約束方程可以寫成： （10200）將上方程寫成分塊形式： （10201）從而： （102

41、02）取為獨(dú)立廣義坐標(biāo)，則第二次坐標(biāo)變換式為： （10203） （10204）用上式進(jìn)行第二次坐標(biāo)變換就可以得到縮減后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。C-C方法的具體步驟為：（1）形成非耦合的全部子結(jié)構(gòu)的剛度陣、質(zhì)量陣 和載荷列陣。 （10205）（2）求解子結(jié)構(gòu)自由界面保留主模態(tài)和剩余附著模態(tài)，作第一次坐標(biāo)變換 （10206） （10207）(3) 把分成剩余模態(tài)坐標(biāo)和保留模態(tài)坐標(biāo)，即作變換： （10208）由界面連接條件（包括位移和界面內(nèi)力），作第二次坐標(biāo)變換： （10209）從而： （10210） （10211）綜合后的運(yùn)動(dòng)方程為： （10212）當(dāng)結(jié)構(gòu)作自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)特征值問題為： （1021

42、3）由以上推導(dǎo)過程可知，模態(tài)綜合后，系統(tǒng)方程的階數(shù)為，為第個(gè)子結(jié)構(gòu)的保留主模態(tài)數(shù)，即系統(tǒng)階數(shù)與界面坐標(biāo)數(shù)無關(guān)。C-C法在計(jì)算上比C-B法麻煩，增加了綜合的復(fù)雜性，但由于引入了剩余附著模態(tài)，大大提高了計(jì)算結(jié)果的精度和收斂性，且由于最后的方程階數(shù)不高。 而使用固定界面的C-B模態(tài)綜合法，則必須進(jìn)行第三次坐標(biāo)變換，才能獲得同樣的階數(shù)。因此，該法目前成為人們最常用的方法。【有剛體自由度子結(jié)構(gòu)的CC方法】對(duì)于受約束分支，其低階自由界面主模態(tài)很容易用試驗(yàn)或計(jì)算得到，也可以很容易求得剩余附著模態(tài)。但對(duì)于有剛體自由度分支，其剛度矩陣為奇異的，因此無法得到子結(jié)構(gòu)的剩余附著模態(tài)。對(duì)這種情況的處理，可以有兩種方法：

43、1 用剩余慣性釋放附著模態(tài)，代替剩余附著模態(tài)，但剩余慣性釋放附著模態(tài)計(jì)算比較麻煩。2 采用移軸法來消除剛度矩陣的奇異性。對(duì)于自由界面模態(tài)綜合法的特征值移軸定理為：對(duì)各子結(jié)構(gòu)的特征值移動(dòng)一個(gè)統(tǒng)一的移動(dòng)量，則等價(jià)于整體結(jié)構(gòu)的特征值移動(dòng)同樣的偏移量。簡述如下：對(duì)第個(gè)子結(jié)構(gòu)，特征值問題方程為: （10214）兩邊減去得到一個(gè)新的特征值問題， （10215）其特征向量不變，但有：， （10216）通常選取以保證每一個(gè)子結(jié)構(gòu)都有正定，。至此，就可以求出各子結(jié)構(gòu)的低階保留主模態(tài)和剩余附著模態(tài)，再用上面的CC方法進(jìn)行綜合，求出綜合后整個(gè)結(jié)構(gòu)的特征值后，移頻得到： （10217）10.5 混合界面模態(tài)綜合法固定

44、界面模態(tài)綜合法的方法比較簡單，計(jì)算精度一般也較高，但存在一個(gè)較大的缺點(diǎn)綜合后的自由度必定大于子結(jié)構(gòu)的界面坐標(biāo)數(shù)，而對(duì)于一個(gè)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)的界面坐標(biāo)數(shù)往往很大，所以綜合后的自由度也很大。自由界面模態(tài)綜合法不但計(jì)算精度優(yōu)于固定界面模態(tài)綜合法，而且綜合后的自由度數(shù)也不受子結(jié)構(gòu)界面坐標(biāo)數(shù)的限制。但缺點(diǎn)是方法比較復(fù)雜。綜合上述兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，提出了混合界面模態(tài)綜合法。1971年，W.A.Benfield首次提出了混合界面模態(tài)綜合法?；舅枷胧牵喊岩粋€(gè)結(jié)構(gòu)分成若干個(gè)子結(jié)構(gòu)，并把這些子結(jié)構(gòu)分成主子結(jié)構(gòu)和從子結(jié)構(gòu)，但主子結(jié)構(gòu)與主子結(jié)構(gòu)之間，從子結(jié)構(gòu)與從子結(jié)構(gòu)之間互不連接。對(duì)主子結(jié)構(gòu)，用自由界面保留主模態(tài)

45、集組成假設(shè)模態(tài)集，并對(duì)其結(jié)點(diǎn)物理坐標(biāo)作模態(tài)坐標(biāo)變換： （10218）對(duì)從子結(jié)構(gòu)，用其固定界面的保留主模態(tài)集，與其對(duì)界面坐標(biāo)的約束模態(tài)集組成假設(shè)模態(tài)矩陣，并對(duì)結(jié)點(diǎn)物理坐標(biāo)作模態(tài)坐標(biāo)變換： （10219）主從子結(jié)構(gòu)的界面對(duì)接條件： （10220）從而可得約束方程： （10221）那么系統(tǒng)物理坐標(biāo)與其獨(dú)立的模態(tài)坐標(biāo)之間的變換關(guān)系為： （10222）其中： （10223） （10224）對(duì)應(yīng)于獨(dú)立模態(tài)坐標(biāo)的質(zhì)量陣和剛度陣為： （10225）從而得到綜合后結(jié)構(gòu)的特征值問題： （10226）最后方程度階數(shù)是兩個(gè)子結(jié)構(gòu)保留主模態(tài)數(shù)之和，與界面坐標(biāo)數(shù)無關(guān)。Benfield混合界面模態(tài)綜合法忽略了從子結(jié)構(gòu)對(duì)主子

46、結(jié)構(gòu)自由界面主模態(tài)的影響，所以對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性計(jì)算結(jié)果精度不高?！緦?duì)Benfield混合界面模態(tài)綜合法的修正】日本學(xué)者長松昭男等人1980年提出了如下修正方法。結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)，子結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為： （10227）忽略內(nèi)部坐標(biāo)上的慣性力，得到如下的靜聚縮變換： （10228）忽略內(nèi)部坐標(biāo)上的彈性恢復(fù)力，得到如下變換： （10229）上式僅對(duì)于一致質(zhì)量陣有效，當(dāng)采用集中質(zhì)量陣時(shí)，成為零矩陣。由（10229）積分可得如下的動(dòng)聚縮變換： （10230）而實(shí)際上，結(jié)構(gòu)內(nèi)坐標(biāo)上的慣性力和彈性恢復(fù)力都不為零，故可以用如下變換式： （10231）其中： （10232）顯然，當(dāng)時(shí)就是靜聚縮，時(shí)就是動(dòng)聚縮。稱為聚縮系數(shù)

47、，顯然應(yīng)該有： （10233）采用（10231）的坐標(biāo)變換式，可以得到子結(jié)構(gòu)對(duì)于界面坐標(biāo)的質(zhì)量陣和剛度陣為： （10234）由此，長松昭男提出了對(duì)Benfield方法的修正：在計(jì)算主子結(jié)構(gòu)的自由界面主模態(tài)之前，先對(duì)其剛度矩陣、質(zhì)量矩陣進(jìn)行修正把從子結(jié)構(gòu)的聚縮剛度矩陣和聚縮質(zhì)量矩陣分別加到主子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣中相應(yīng)子陣上，即修正后主子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為：（10235）用和求其自由界面主模態(tài)，隨后再用Benfield方法進(jìn)行模態(tài)綜合。長松昭男的研究結(jié)果表明，如果用靜聚縮修正，則修正后得到的低階固有頻率精度提高，但高階固有頻率精度反而降低；如果將聚縮系數(shù)提高，則系統(tǒng)高階固有頻率精度提

48、高而低階精度降低。顯然，長松昭男方法的缺點(diǎn)是對(duì)于聚縮系數(shù)的取值沒有準(zhǔn)則，修正后的結(jié)果精度無法估計(jì)?！净旌辖缑婺B(tài)修正法】對(duì)從子結(jié)構(gòu)利用模態(tài)坐標(biāo)變換陣： （10236）其中，是對(duì)質(zhì)量陣歸一化的。子結(jié)構(gòu)對(duì)其模態(tài)坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程為： （10237）利用對(duì)質(zhì)量陣的正交性，得到：（10238）令： （10239）代入上式第一行，得到： （10240）簡記為： （10241）其中： （10242）（10243）由（10241）式得到獨(dú)立坐標(biāo)變換： （10244）從而由（10241）（10244）可以得到： （10245）其中， （10246）至此，用（10245）式代替長松昭男方法中的（10231），就可以

49、得到更加好的結(jié)果。但是由于（10245）式中有待求的系統(tǒng)固有頻率，從而導(dǎo)致最后得到的系統(tǒng)特征值問題是一個(gè)非線性特征值問題。在實(shí)際應(yīng)用中，是采用Benfield法得到的計(jì)算結(jié)果作為中系統(tǒng)固有頻率的初值，則在陣中就不再有待求的系統(tǒng)固有頻率，這實(shí)際上也是一個(gè)迭代過程，而且是對(duì)Benfield法得到的計(jì)算結(jié)果一階一階地進(jìn)行修正的，所以最好在修正過程中采用頻率掃描方法或矩陣迭代法計(jì)算特征值和特征向量。一般經(jīng)過一次修正就可以得到較好的結(jié)果?！灸B(tài)綜合法的簡化】我們看到，無論是固定模態(tài)綜合法或是自由模態(tài)綜合法，都需要用到子結(jié)構(gòu)的保留主模態(tài)集作為假設(shè)模態(tài)集的一個(gè)子集。對(duì)于一個(gè)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其子結(jié)構(gòu)對(duì)自由度相當(dāng)大，主模態(tài)的求解計(jì)算量很大。如果