132__“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

1、1.3.2 “楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一般地，對(duì)于n N*有二項(xiàng)定理:新課引入二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個(gè)？ 下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？計(jì)算(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表 n(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111對(duì)稱性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議1）請(qǐng)看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？ 3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第

2、二行起，每行除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+詳解九章算法中記載的表?xiàng)?輝楊輝三角二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是： 從函數(shù)角度看， 可看成是以r為自變量的函數(shù) ,其定義域是： 當(dāng) 時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)對(duì)稱性 與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等 這一性質(zhì)可直接由公式 得到圖象的對(duì)稱軸：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)增減性與最大值 由于：所以 相對(duì)于 的增減情況由 決定二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)由： 即二項(xiàng)式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。 可知，當(dāng) 時(shí)， 因此,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 取得最大值； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 相等，且同時(shí)取得最大值。增減性與最大值 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)各二項(xiàng)式系數(shù)的和 在二項(xiàng)式定理中，令 ，則： 這就是說， 的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于 ，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)例 證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。在二項(xiàng)式定理中，令 ，則： 賦值法證明：(1)二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)性質(zhì) (2) 數(shù)學(xué)思想：函