近世代數(shù)教學(xué)課件

1、 近世代數(shù)課程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),既是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)發(fā)展，也是高等代數(shù)課程的繼續(xù)和發(fā)展,同時(shí)它又同拓?fù)鋵W(xué)、實(shí)變函數(shù)與泛函分析構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大基石，是進(jìn)入數(shù)學(xué)王國(guó)的必由之路，是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的重要基礎(chǔ)課。 同學(xué)應(yīng)當(dāng)具備有初等代數(shù)，高等代數(shù)的背景，此外還有初等數(shù)論等方面的知識(shí)背景。近 世 代 數(shù) 高度的抽象是近世代數(shù)的顯著特點(diǎn)，它的基本概念：群、環(huán)、域，對(duì)初學(xué)者也是很抽象的概念，因此，在本課程的學(xué)習(xí)中，大家要多注意實(shí)例,以加深對(duì)概念的正確理解。 近世代數(shù)的習(xí)題，因抽象也都有一定的難度，但習(xí)題也是鞏固和加深理解不可缺少的環(huán)節(jié)，因此，應(yīng)適當(dāng)做一些習(xí)題，為克服做習(xí)題的困難，應(yīng)注意教材內(nèi)容和方

2、法以及習(xí)題課內(nèi)容。主要參考書1BL瓦德瓦爾登著：代數(shù)學(xué)、卷，科學(xué)出版社，1964年版2N賈柯勃遜著：抽象代數(shù)1、2、3卷，科學(xué)出版社，1987年出版3. ，張禾瑞 ，高等教育出版，1978年修訂本。4劉紹學(xué)著：近世代數(shù)基礎(chǔ)，高等教育出版社，1999年出版 5石生明著：近世代數(shù)初步、高等教育出版社，2002年出版6.近世代數(shù)，吳品山，人民教育出版社，1979。7.抽象代數(shù)學(xué)，謝邦杰，上海科學(xué)技術(shù)出版社， 1982。8.抽象代數(shù)基礎(chǔ)，劉云英，北京師范大學(xué)出版 社，1990年。 近世代數(shù)理論的三個(gè)來(lái)源 代數(shù)方程的解(2) Hamilton四元數(shù)的發(fā)(3) Kummer理想數(shù)的發(fā)現(xiàn)（1） 代數(shù)方程的解

3、兩千多年之前古希臘時(shí)代數(shù)學(xué)家就能夠利用開(kāi) 方法解二次方程ax2+bx+c=0 。16世紀(jì)初歐洲文藝復(fù)興時(shí)期之后，求解高次方程成為歐洲代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)中心問(wèn)題。1545年意大利數(shù)學(xué)家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作大術(shù)（Ars Magna）中給出了三、四次多項(xiàng)式的求根公式，此后的將近三個(gè)世紀(jì)中人們力圖發(fā)現(xiàn)五次方程的一般求解方法，但是都失敗了。 直到1824年一位年青的挪威數(shù)學(xué)家 N.Abel (1802-1829) 才證明五次和五次以上的一般代數(shù)方程沒(méi)有求根公式。但是人們?nèi)匀徊恢朗裁礂l件之下一個(gè)已知的多項(xiàng)式能借助加、減、乘、除有理運(yùn)算以及開(kāi)方的方法求出它的所有根,什么條件之

4、下不能求根。 最終解決這一問(wèn)題的是一位法國(guó)年青數(shù)學(xué)家E.Galois(18111832)，Galois引入了擴(kuò)域以及群的概念，并采用了一種全新的理論方法發(fā)現(xiàn)了高次代數(shù)方程可解的法則。在Galois之后群與域的理論逐漸成為現(xiàn)代化數(shù)學(xué)研究的重要領(lǐng)域，這是近世代數(shù)產(chǎn)生的一個(gè)最重要的來(lái)源。加羅華阿貝爾 被譽(yù)為天才數(shù)學(xué)家的伽羅瓦（1811-1832）是近世代數(shù)的創(chuàng)始人之一。他深入研究了一個(gè)方程能用根式求解所必須滿足的本質(zhì)條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問(wèn)題提供了全面而透徹的解答，解決

5、了困擾數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)達(dá)數(shù)百年之久的問(wèn)題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問(wèn)題都是不可解的。最重要的是，群論開(kāi)辟了全新的研究領(lǐng)域，以結(jié)構(gòu)研究代替計(jì)算，把從偏重計(jì)算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式，并把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類，使群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學(xué)分支，對(duì)近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。同時(shí)這種理論對(duì)于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對(duì)于二十世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。(2)Hamilton四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期以來(lái)人們對(duì)于虛數(shù)的意義存在不同的看法，后來(lái)發(fā)現(xiàn)可以把復(fù)數(shù)看成二元數(shù)(a,b)=a+bi，其中i2= -1

6、。二元數(shù)按(a,b)(c,d)=(ac,bd)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法則進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，二元數(shù)具有直觀的幾何意義；與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。這是數(shù)學(xué)家高斯提出的復(fù)數(shù)幾何理論。二元數(shù)理論產(chǎn)生的一個(gè)直接問(wèn)題是：是否存在三元數(shù)？經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間探索，力圖尋求三元數(shù)的努力失敗了。但是愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。四元數(shù)系與實(shí)數(shù)系、復(fù)數(shù)系一樣可以作加減乘除四則運(yùn)算，但與以前的數(shù)系相比，四元數(shù)是一個(gè)乘法不交換的數(shù)系。從這點(diǎn)來(lái)說(shuō)四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)使人們對(duì)于數(shù)系的代數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)提高了一大步。四元數(shù)代數(shù)也成為抽象代數(shù)研究的一個(gè)新的起點(diǎn)，它是近世

7、代數(shù)的另一個(gè)重要理論來(lái)源。 （3）Kummer理想數(shù)的發(fā)現(xiàn)17世紀(jì)初法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(P.Fermat 1601-1665）研究整數(shù)方程時(shí)發(fā)現(xiàn)當(dāng)n3時(shí)，方程 xn+yn=zn 沒(méi)有正整數(shù)解，費(fèi)馬認(rèn)為他能夠證明這個(gè)定理，但是其后的三百多年中人們研究發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)非常困難的問(wèn)題，這一問(wèn)題被后來(lái)的研究者稱為費(fèi)馬問(wèn)題或費(fèi)馬大定理，此定理直到1995年才被英國(guó)數(shù)學(xué)家A.Wiles證明。對(duì)費(fèi)馬問(wèn)題的研究在三個(gè)半世紀(jì)內(nèi)從未間斷過(guò)，歐拉、高斯等著名數(shù)學(xué)家都對(duì)此作出過(guò)重要貢獻(xiàn)。但最重大的一個(gè)進(jìn)展是由E.Kummer作出的。 Kummer的想法是：如果上面的方程有正整數(shù)解，假定是一個(gè)n次本原單位根，那么 xn+yn=

8、zn 的等式兩邊可以作因子分解 zn=(x+y)(x+y)(x+n-1y),象整數(shù)中的因子分解一樣，如果等式右邊的n個(gè)因子兩兩互素，那么每個(gè)因子都應(yīng)是另外一個(gè)“復(fù)整數(shù)”的n次方冪,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q之后有可能得到更小的整數(shù)x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，從而導(dǎo)致矛盾。如果上面等式右邊的n個(gè)因子有公因式，那么同除這個(gè)公因式再進(jìn)行上面同樣的討論。 Kummer方法的前提是形如a+b的復(fù)整數(shù)也象整數(shù)一樣具有唯一的素因子分解，其中a與b是通常整數(shù)。并不是對(duì)于每個(gè)整數(shù)n,復(fù)整數(shù)a+b都具有唯一分解性，Kummer把這種復(fù)整數(shù)的因子分解稱為理想數(shù)的分解。 用這種方法 Kummer證明了n100時(shí)費(fèi)

9、馬大定理成立,理想數(shù)的方法不但能用于費(fèi)馬問(wèn)題研,實(shí)際上是代數(shù)數(shù)論的重要研究?jī)?nèi)容，其后德國(guó)數(shù)學(xué)家R.Dedekind(1831-1916)把理想數(shù)的概念推廣為一般的理想論，使它成為近世代數(shù)的一個(gè)重要的研究領(lǐng)域。 近世代數(shù)是在19世紀(jì)末至20世紀(jì)初發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分支。 1930年荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登（B.Lvan der Wearden 1930-1996） 根據(jù)該學(xué)科領(lǐng)域幾位創(chuàng)始人的演講報(bào)告,綜合了當(dāng)時(shí)近世代數(shù)的研究成果, 編著了近世代數(shù)學(xué)(Moderne Algebra）一書,這是該學(xué)科領(lǐng)域第一本學(xué)術(shù)專著，也是第一本近世代數(shù)的教科書。 諾特, 1882年3月23日生于德國(guó)埃爾朗根，1900年入

10、埃朗根大學(xué)，1907年在數(shù)學(xué)家哥爾丹指導(dǎo)下獲博士學(xué)位。1916年后，她開(kāi)始由古典代數(shù)學(xué)向抽象代數(shù)學(xué)過(guò)渡。1920年，她已引入左模、右模的概念。1921年寫出的是交換代數(shù)發(fā)展的里程碑。建立了交換諾特環(huán)理論，證明了準(zhǔn)素分解定理。1926年發(fā)表，給戴德金環(huán)一個(gè)公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“環(huán)”和“理想”的系統(tǒng)理論，一般認(rèn)為抽象代數(shù)形式的時(shí)間就是1926年，從此代數(shù)學(xué)研究對(duì)象從研究代數(shù)方程根的計(jì)算與分布，進(jìn)入到研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律和各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，完成了古典代數(shù)到抽象代數(shù)的本質(zhì)的轉(zhuǎn)變。諾特當(dāng)之無(wú)愧地被人們譽(yù)為抽象代數(shù)的奠基人之一

11、。第一章 基本概念1 集 合2 映射與變換3 代數(shù)運(yùn)算4 運(yùn)算率5 同態(tài)與同構(gòu)6 等價(jià)關(guān)系與集合的分類1集 合 表示一定事物的集體，我們把它們稱為集合或集，如“一隊(duì)”、“一班”、“一筐”. 組成集合的東西叫這個(gè)集合的元素. 我們常用大寫拉丁字母A，B，C，表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，表示元素. 如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作 ；如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作 ； 例如，設(shè)A是一切偶數(shù)所成的集合，那么4A， 而 . 一個(gè)集合可能只含有有限多個(gè)元素，這樣的集合叫做有限集合. 如，學(xué)校的全體學(xué)生的集合；一本書里面的所有漢字的集合等等這些都是有限集合. 如果一個(gè)集合是由

12、無(wú)限多個(gè)元素組成的，就叫做無(wú)限集合. 如，全體自然數(shù)的集合；全體實(shí)數(shù)的集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示為：枚舉法:例如,我們把一個(gè)含有n個(gè)元素 的集合的有限集合表示成： . 前五個(gè)正整數(shù)的集合就可以記作 .擬枚舉：自然數(shù)的集合可以記作 , 擬枚舉可以用來(lái)表示能夠排列出來(lái)的的集合, 像自然數(shù)、整數(shù)描述法:如果一個(gè)集A是由一切具有某一性質(zhì)的元素所組成的，那么就用記號(hào)來(lái)表示. 表示一切大于-1且小于1的實(shí)數(shù)的所組成的集合. 常用的數(shù)集：全體整數(shù)的集合，表示為Z全體有理數(shù)的集合，表示為Q全體實(shí)數(shù)的集合，表示為R全體復(fù)數(shù)的集合，表示為C 設(shè)A，B是兩個(gè)集合，如果A 的每一元素都是B 的元素，那么

13、就說(shuō)是的子集，記作 ，或記作 . 根據(jù)這個(gè)定義，是的的子集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)元素x，如果 ，就有 . A是B的子集，記作：如果集合A與B的由完全相同的元素組成部分的，就說(shuō)A與B 相等，記作：A=B. 即以集合A的所有子集為元素的集合，稱為A的冪集，記為P(A).并運(yùn)算 設(shè)A，B是兩個(gè)集合. 由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A與B的并集（簡(jiǎn)稱并），記作 . 如圖1所示. AB交運(yùn)算 由集合A與B的公共元素所組成的集合叫做A與B的交集(簡(jiǎn)稱交)，記作： ，如圖2所示.顯然，例如，A=1，2，3，4，B=2，3，4，5，則我們有運(yùn)算性質(zhì):交換律 :; 分配律 :結(jié)合律 :; 冪等率 :;

14、兩個(gè)集的并與交的概念可以推廣到任意n個(gè)集合上去，設(shè) 是給定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并； 由 的一切公共元素所成的集合叫做 的交. 的并和交分別記為： 和 . 我們有差運(yùn)算：設(shè)A，B是兩個(gè)集合，令也就是說(shuō)， 是由一切屬于A但不屬于B 的元素所組成的，稱為A與B 的差. 注意：并沒(méi)有要求B是A的子集. 例如，積運(yùn)算：設(shè)A，B是兩個(gè)集合，令稱 為A與B的笛卡兒積（簡(jiǎn)稱為積）. 是一切元素對(duì)（a, b ）所成的集合，其中第一個(gè)位置的元素a取自A，第二個(gè)位置的元素b取自B. 可以定義多個(gè)集合的笛卡兒積2 映射與變換定義1 設(shè)A，B 是兩個(gè)非空的集合，A到B 的一個(gè)映射指的是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則

15、，通過(guò)這個(gè)法則，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素 x，有集合B中一個(gè)惟一確定的元素 y 與它對(duì)應(yīng). 用字母f，g，表示映射. 用記號(hào) 表示f 是A到B的一個(gè)映射. 如果通過(guò)映射f，與A中元素x對(duì)應(yīng)的B中元素是y，那么就寫作 這時(shí)y 叫做 x 在f 之下的象，記作 . 例1 設(shè) 這是A到B的一個(gè)映射. 例2 設(shè)A是一切非負(fù)數(shù)的集合，B是一切實(shí)數(shù)的集合. 對(duì)于每一 ，令 與它對(duì)應(yīng). f 不是A到B的映射， 因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 不能由x唯一確定. 定義2 設(shè)f 是A到B的一個(gè)映射，如果Imf=B，那么說(shuō)稱f 是A到B上的一個(gè)映射，這里也稱f 是一個(gè)滿射 。設(shè) 是一個(gè)映射. 對(duì)于 ，x的像 . 一切這樣的象作成B的

16、一個(gè)子集，用 表示： ，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象. 定義3 設(shè) 是一個(gè)映射，如果對(duì)于A中任意兩個(gè)元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就稱f 是A到B的一個(gè)單射. 或A到B的一一映射 如果既是滿射，又是單射，即如果 f 滿足下面兩個(gè)條件， 就稱f是A到B的一個(gè)雙射. 或A到B上的一一映射 例3令 那么 . 設(shè) ， 都是A到B的映射，如果對(duì)于每一 ，都有 ，那么就說(shuō)映射f與g是相等的. 記作定義4： 設(shè) 是A到B 的一個(gè)映射， 是B 到C 的一個(gè)映射. 那么對(duì)于每一個(gè) ， 是C中的一個(gè)元素. 因此，對(duì)于每一 ，就有C 中唯一的確定的元素 與它對(duì)應(yīng)，這樣就得到A到C 的一個(gè)映射，這映射是由

17、 和 所決定的，稱為 f 與g 的合成（乘積），記作 . 于是有 對(duì)于一切 , f 與g 的合成可以用下面的圖示意：fgABC（交換圖）例4 設(shè)那么 例5 設(shè) A=1，2，3 那么 映射 ， ， ，有 . 但是，一般情況下 . 設(shè)A是非空集合 稱為設(shè)A上的 恒等映射。 設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，用 和 表示A和B的恒等映射. 設(shè) 是A到 B 的一個(gè)映射. 顯然有： ， .例6：f 是集合A到B的一個(gè)雙射的充要條件是存在B到A的一個(gè)映射g ，使得 ， 且映射g是由f 唯一確定的, 稱為f 的逆映射, 表示為證: (必要性) 因?yàn)閒 是滿射，所以對(duì)于B中每一個(gè)y，有 ，使得 又因?yàn)閒 是單射，所以這

18、個(gè)x 是由y唯一確定的：即如果還有 使得 ，那么 . 則g是B 到A 的一個(gè)映射. 我們規(guī)定任意 而 . 我們有任 ，而 . 那么 故 #所以（充分性) 任意 ,令 .由于 ， 所以即f是滿射.設(shè) 而 由于 ，所以這說(shuō)證明了f 是單射. 因此，f 是A到B 的雙射. 最后，令 和 都具有性質(zhì):， 有 所以 g 是由 f 唯一確定的. #， 設(shè)f 是A到B 的一個(gè)映射，我們把滿足例6條件的映射 叫做 f 的逆映射. 一個(gè)映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的話，逆映射是由 f 唯一確定的，以后把 f 的逆映射記作 . 有 因此， 也是一個(gè)雙射，并且f 就是 的逆映射，即 . 例7: 設(shè)A是

19、一切非負(fù)實(shí)數(shù)所成的集合；f 是A到B 的一個(gè)映射， 因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， ，并且是由x 唯一確定的. 證明，f 是一個(gè)雙射. 證：任意 . 取 因?yàn)?，所以 ，且 ，所以 . 且有 （f滿）設(shè) 而 . 那么 由此 ，所以f 是單射. 于是由例6，f 有逆映射. 易驗(yàn)證， 一般地，設(shè)A是一個(gè)非空的集合，把AA到A的一個(gè)映射叫做集合A的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算. 定義5：集合X到自身的映射，叫做集合X的一個(gè)變換。單射變換、滿射變換、雙射變換、恒等變換3.代數(shù)運(yùn)算注(1)為什么叫運(yùn)算？不妨設(shè)是映射，若，我們可以說(shuō)a和b在的法則下運(yùn)算得到d(2)一個(gè)代數(shù)運(yùn)算可以用表示，并將(a,b)在像記作下的一般映射的描述: 作為運(yùn)算

20、的記號(hào): , .簡(jiǎn)記: 例A所有正整數(shù)，下列運(yùn)算是不是A的代數(shù)運(yùn)算?A=Z?A=Q?A=R 例4：Aa, b,c規(guī)定A的兩個(gè)不同的代 數(shù)運(yùn)算 T(M)表示非空集合M的全體變換作成的集合。 S(M)表示非空集合M的全體雙射變換作成的集合。 顯然變換的合成（乘法）是T(M)和S(M)的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算。 對(duì)有限集合的代數(shù)運(yùn)算，常直觀地列成一個(gè)表（乘法表）？S(M)的乘法表一、結(jié)合率4運(yùn)算律假如用一個(gè)加括號(hào)的步驟，當(dāng)然也會(huì)得到一個(gè)結(jié)果加括號(hào)的步驟自然不止一種，但因?yàn)槭且粋€(gè)有限整數(shù)，這種步驟的個(gè)數(shù)總是一個(gè)有限整數(shù)假定它是，我們把由這個(gè)步驟所得的結(jié)果用 , , , , 來(lái)表示。這樣得來(lái)的N個(gè) ,當(dāng)然未必相等

21、,但是它們也可能都相等。我們規(guī)定: 假如對(duì)于 的 個(gè)固定的元 來(lái)說(shuō),所有的 都相等, 我們就唯一的結(jié)果,用 來(lái)表示. 問(wèn)題: 什么條件下, 所有的 都相等?定理: 假如一個(gè)集合 的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律, 那么對(duì)于 的任意 個(gè)元 來(lái)說(shuō), 所有的 都相等；因此符號(hào) 也就總有意義證明對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法(第二型) (I) n=2,3，定理是對(duì)的 (II)假定個(gè)數(shù) ，定理是對(duì)的在這個(gè)假定之下，如果我們能夠證明:對(duì)于一個(gè)任意的 來(lái)說(shuō) (一個(gè)固定的結(jié)果)定理也就證明了. 這一個(gè) 是經(jīng)過(guò)一種加括號(hào)的步驟所得來(lái)的結(jié)果,這個(gè)步驟的最后一步總是對(duì)兩個(gè)元進(jìn)行運(yùn)算: 這里, 是前面的若干個(gè),假定是 個(gè)元,，經(jīng)過(guò)一個(gè)加括號(hào)的

22、步驟所得的結(jié)果, 是其余的 個(gè)元 ，經(jīng)過(guò)一個(gè)加括號(hào)的步驟所得的結(jié)果。因?yàn)?和 都 ,由歸納法的假定,情況1 假定 ,那么上式就是要證明的情況2 假定 ，那么 即（）式仍然成立證完。 結(jié)合律成立，保證了可以應(yīng)用 個(gè)符號(hào)。結(jié)合律的重要也就在此二、交換率三、分配率5 同態(tài)與同構(gòu) 如何比較兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)?回憶兩個(gè)三角形全等的定義:經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng),頂點(diǎn)可以重合.這里涉及兩個(gè)步驟:第一,點(diǎn)間有一個(gè)對(duì)應(yīng)(映射);第二,對(duì)應(yīng)后可以重合. 我們比較兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng) 和 . 第一,我們需要一個(gè)映射 ; 第二, 這個(gè)映射還能夠使“運(yùn)算重合”或曰：保持運(yùn)算.具體的說(shuō),假如 和 是 的兩個(gè)元,那么 和 都有意義,都是的元.保持運(yùn)算

23、即下面等式成立: 上面的等式即:換一種表示，假定在 之下的像， 所有整數(shù), 的代數(shù)運(yùn)算是普通加法. , 的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法. 定義1 一個(gè) 到 的映射 稱為對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 和 的同態(tài)映射,假如, ,都有: 定義與例子例1 證明 ( 是 的任一元)是一個(gè)到的同態(tài)映射. 證明 例2 : , 若是偶數(shù) , 若是奇數(shù) 證明: 是一個(gè) 到 的滿射的同態(tài)映射.證明: 顯然, 是 到 的滿射.對(duì)于 的任意兩個(gè)整數(shù) 和 來(lái)說(shuō),分三種情況:(1)若 , 都是偶數(shù),那么 也是偶數(shù) , , 所以, (2)若 , 都是奇數(shù)(3)若 和 奇偶性相反,.例3 : ( 是 的任一元)固然是一個(gè) 到 的映射,但不是同態(tài)映射.

24、因?yàn)?對(duì)于任意 的 和 來(lái)說(shuō),性質(zhì)1 （1）反身性: （2）傳遞性: 注: 對(duì)稱性不成立定義 和 是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng),如果存在一個(gè) 到 的同態(tài)滿射 ,就稱 和 同態(tài).記號(hào): 定理1 假定,對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 和 來(lái)說(shuō), 到 同態(tài).那么,（1）若 適合結(jié)合律, 也適合結(jié)合律；（2）若 適合交換律, 也適合交換律.于是證明 我們用 來(lái)表示 到 的同態(tài)滿射. （1）假定 是 的任意三個(gè)元. 由于 是同態(tài)滿射,我們?cè)?里至少找得出三個(gè)元 , , 來(lái),使得在 之下,(2)證明類似. 注: 這種通過(guò)同態(tài)映射過(guò)渡的方法在證明具有一般性定理2 假定, 都是集合 的代數(shù)運(yùn)算, 都是集合 的代數(shù)運(yùn)算,并且存在一個(gè) 到 的滿

25、射 ,使得 與 對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 來(lái)說(shuō)同態(tài),對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 來(lái)說(shuō)也同態(tài).那么 (1) 若 適合第一分配律, 也適合第一分配律. (2) 若 適合第二分配律, 也適合第二分配律.證明 注: , 由 的性質(zhì)可以推出 具有同樣的性質(zhì); 反過(guò)來(lái)不成立.定義（同構(gòu)映射）定義 和 是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng),如果存在一個(gè) 到 的同構(gòu)映射 ,就稱 和 同構(gòu).記號(hào): 自同態(tài)、自同構(gòu)的概念可以自然的給出同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)意味什么例 , 0120 1 2 1 2 02 0 13 4 53453 4 54 5 35 3 40 1 2 與 的代數(shù)運(yùn)算 與 的表請(qǐng)比較兩個(gè)運(yùn)算表異同之處?在A的運(yùn)算表, 進(jìn)行變換: 變成了什么?它們可以統(tǒng)一成

26、為一個(gè)運(yùn)算表.（矛盾）小結(jié)現(xiàn)在我們看兩個(gè)任意的，對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 和 來(lái)說(shuō)是同構(gòu)的集合 和 我們可以假定，并且在 與 間的同構(gòu)映射 之下， ， ， ，由于同構(gòu)映射的性質(zhì)，我們知道，抽象地來(lái)看， 與 這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，沒(méi)有任何區(qū)別（只有命名上的不同而已）.6 等價(jià)關(guān)系與集合的分類 第二章 群1 群的定義和初步性質(zhì)2 群中元素的階3 子群4 循環(huán)群5 變換群6 置換群7 陪集、指數(shù)和Lagrange定理1群的定義和初步性質(zhì)定義（第一定義）：稱G關(guān)于該運(yùn)算作成一個(gè)群。定義（第二定義）：稱G關(guān)于該運(yùn)算作成一個(gè)群。定義（第三定義）：稱G關(guān)于該運(yùn)算作成一個(gè)群。定義：定義：一個(gè)群叫做有限群，假如這個(gè)群的元的個(gè)數(shù)是

27、一個(gè)有限數(shù)不然的話，這個(gè)群叫做無(wú)限群定義：一個(gè)群叫做交換群（Abel群），假如 對(duì)于 的任何兩個(gè)元 ， 都成立例1：例3：例5：例6：推論1群中消去律成立 若 ，那么 ； 若 ，那么 #1群中元素的階定義1： 群 的一個(gè)元素 ,使得的最小的正整數(shù) 叫做 的階若是這樣的一個(gè) 不存在，我們說(shuō)， 是無(wú)限階的的階用符號(hào) 表示注 (1) 當(dāng) 為加群時(shí),其運(yùn)算記為加法,單位元為0,則的最小正整數(shù)為元素a的階。(3) 群的階和元素的階不是一回事.(2) 例1：例2：（反例P43）3子 群 討論子對(duì)象是一個(gè)常用的代數(shù)方法.我們看一個(gè)群 假如由 里取出一個(gè)非空子集 來(lái)，那么利用 的乘法可以把 的兩個(gè)元相乘對(duì)于這

28、個(gè)乘法來(lái)說(shuō)， 很可能也作成一個(gè)群定義1一個(gè)群 的一個(gè)非空子集 叫做 的一個(gè)子群，假如 對(duì)于 的乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群, 用符號(hào) 表示 群 ，則 至少有兩個(gè)子群： ； 只包含單位元 的子集（平凡子群）定理2： 一個(gè)群 的一個(gè)非空子集 作成 的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：（）（）證明充分性：1）由于（）， 是閉的；2）結(jié)合律在 中成立， 在中自然成立；3）因?yàn)?至少有一個(gè)元 ，由（）， 也有 元 ，所以由（），4）由（），對(duì)于 的任意元 來(lái)說(shuō)， 有 元 ，使得必要性顯然成立定理3:一個(gè)群 的一個(gè)非空子集 作成 的一個(gè)子群的充要條件是：（） 證明 I. 我們先證明，（）和（）成立，（）就也成立 假定 ， 屬于 ，由（）， ，由（）， II.現(xiàn)在我們反過(guò)來(lái)證明，由（）可以得到（）和（） 假定 由（）， ，于是 （）成立假定 ， 由剛證明的， ；由（）， ,即 (i) 成立 #例1： 一個(gè)群 的一個(gè)非空有限子集 作成 的一個(gè)子群的充要條件是：容易證明: , ,定義3：設(shè)A，B是群G的兩個(gè)非空子集,規(guī)定證明: 設(shè)H是G的子