分塊矩陣(四分塊矩陣)初等變換的應(yīng)用(共17頁)

1、陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文 第1頁 共17頁分塊矩陣（四分(s fn)塊矩陣）初等變換的應(yīng)用潘 望(陜西理工學(xué)院數(shù)計(sh j)學(xué)院數(shù)學(xué)(shxu)專業(yè)11級2班,陜西 漢中 723000)指導(dǎo)老師:周亞蘭摘要 求矩陣的逆,矩陣的行列式,矩陣的秩是高等代數(shù)中常見的問題.而對于高階矩陣而言,這些問題的求解往往過于繁瑣,甚至無法求解.但如果利用矩陣分塊的方法,把矩陣的初等變換的思想和方法運用于分塊矩陣,則可起到事半功倍的效果.本文總結(jié)了分塊矩陣的初等變換的性質(zhì)以及分塊初等變換在求矩陣的逆,矩陣的行列式,矩陣的秩等方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 分塊矩陣;初等變換;應(yīng)用1 引言矩陣的分塊是處理較高階矩陣時常用的方法,

2、用一些貫穿于矩陣的縱線和橫線將矩陣分成若干子塊,使得階數(shù)較高的矩陣化為階數(shù)較低的分塊矩陣.在運算中,我們有時把這些子塊當(dāng)作元素一樣來處理,從而簡化了表示,便于計算.分塊矩陣初等變換是高等代數(shù)中重要而基本的運算,它在研究矩陣行列式,矩陣求逆,秩等各種性質(zhì)及求矩陣的逆,解線性代數(shù)方程中有著廣泛的應(yīng)用.因此,如何直接對分塊矩陣實行初等變換顯得非常重要,本文的目的就是討論四分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用.第 2頁 共17頁2 預(yù)備知識2.1分塊矩陣的定義把矩陣分別按照橫豎分割成一些小的子矩陣,然后把每個小矩陣看成一個元素,這樣得到的矩陣稱為分塊矩陣.特殊的,如果分塊矩陣的非零子矩陣都在對角線上,就稱為分塊

3、對角矩陣（準對角矩陣）. 如: 是一分塊矩陣,其中,均表示的是一個矩陣.2.2 四塊分法分塊形式(xngsh)為,的分塊矩陣(j zhn)為四分塊矩陣.這是一種比較(bjio)一般的形式.在矩陣的乘法運算中應(yīng)用較多,應(yīng)用時盡量地讓分出的小矩陣出現(xiàn)單位矩陣或零矩陣,這樣可以位運算帶來方便.2.3 四分塊矩陣的運算四分塊矩陣的運算在形式上和數(shù)字矩陣的運算完全一樣,只要進行運算的矩陣的分塊適當(dāng),四分塊矩陣有類似于普通矩陣的運算法則:加法：已知,且與的分法相同,即,其中與級數(shù)相同,則.乘法：已知,且的列的分法與的行的分法相一致, ,則.其中,.數(shù)乘：已知,則.轉(zhuǎn)置：若,則.2.4 四分塊矩陣初等變換四

4、分塊矩陣的初等變換與普通矩陣的初等變換類似,也具有三種類型: 換法變換:交換分塊矩陣的,兩行（列）,記作 .如 . 倍法變換：用一個可逆矩陣左（右）乘分塊矩陣的第行（列）,記作 .如 . 消法變換：用一個矩陣左（右）乘分塊矩陣的第行（列）后加到第行（列）,記作 .如 .可以看出,與初等矩陣和初等變換的關(guān)系一樣,用初等矩陣去乘四分塊矩陣只要四分塊乘法能夠進行,左乘就相當(dāng)與對它做相應(yīng)的廣義(gungy)初等行變換,右乘相當(dāng)于做相應(yīng)的廣義初等列變換.四分塊乘法和矩陣的初等變換有效的結(jié)合是矩陣的運算中一種極為重要的手段,靈活并巧妙的用這種手段,會使某些矩陣問題較為(jio wi)容易的得到解決.2.5

5、四分塊初等矩陣的性質(zhì)(xngzh)性質(zhì)2.1 1分塊初等矩陣均為可逆的,且逆矩陣仍為分塊初等矩陣.如第3頁 共17頁;.第4頁 共17頁 性質(zhì)2.21 分塊初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣.如 ;.性質(zhì)2.31 設(shè)為分塊矩陣,則對施行一次初等行（列）變換,相當(dāng)于在的左（右）邊乘以一個對應(yīng)的分塊初等矩陣.如,而,;而,而. 性質(zhì)2.41 分塊矩陣左（右）乘一個分塊初等矩陣,分塊矩陣的秩不變.3 四分塊矩陣初等變換的應(yīng)用求矩陣的逆,矩陣的行列式,矩陣的秩是高等代數(shù)中常見的問題.而對于高階矩陣而言,這些問題的求解(qi ji)往往過于繁瑣,甚至無法求解.但如果利用矩陣四分塊的方法(fngf),把矩陣(j

6、zhn)的初等變換的思想和方法運用于四分塊矩陣,則可起到事半功倍的效果.3.1 四分塊矩陣在行列式計算中的應(yīng)用在計算高階矩陣行列式時,通常將矩陣四分塊,利用四分塊矩陣的初等變換將其化為三角矩陣（或準對角矩陣）的形式,再利用三角形矩陣,準對角形矩陣行列式的性質(zhì)計算.例12設(shè)是一個四分塊階矩陣,中的四個矩陣,分別是,階矩陣.（1）若可逆,則;（2）若可逆,則.證明（1）因為,兩邊同時取行列式,有.第5頁 共17頁（2）又因為則.例22設(shè)是一個四分塊階矩陣,其中中的四個矩陣,分別是,階矩陣.（1）若可逆，則;（2）若可逆，則.證明 （1）因為,兩邊取行列式,得.（2）若可逆,得.例33 設(shè),都是階矩

7、陣(j zhn),其中(qzhng),且,證明(zhngmng)： 證明 因為 ,所以是可逆的 所以即有又因為,所以上式取行列式得 .第6頁 共17頁例44 設(shè),都是階方陣,則有 . 證明 因為 同樣兩邊取行列式得 所以(suy)結(jié)論即證.例61 設(shè),均為陣,證明(zhngmng)行列式的乘積公式. 證明(zhngmng) 作 ,設(shè),均為陣,作,這里為陣,除了第行第列元素為外,其他元素皆為零,則由初等矩陣與初等變換的關(guān)系,易得右端為第7頁 共17頁.又由所對應(yīng)的初等變換是某行加上另一行的倍數(shù),它不改變行列式的值,故.但 ,故,這就證明了.例7 ,均為階矩陣，其中可逆,則 .證明 因為所以,.例

8、8求行列式的值.解 將進行(jnxng)分塊,得,其中(qzhng), , , .則得到第12頁 共22頁.例95 證明(zhngmng) .第10頁 共18頁證明 令, , 則由上面(shng min)的定理得第8頁 共17頁所要證得結(jié)論(jiln)即證畢.例10 計算(j sun)矩陣的行列式.解 首先利用加邊法,在原來的行列式中增加一行一列,但保持行列式的值不變,再利用四分塊矩陣的性質(zhì)進行簡化.即 ,令,則 .3.2 四分塊矩陣在求逆矩陣中的應(yīng)用在計算高階矩陣的逆矩陣時,通常將矩陣四分塊,利用四分塊矩陣的初等變換將其化為三角矩陣（或準對角矩陣）的形式,再利用三角形矩陣,準對角形矩陣逆的性

9、質(zhì)計算.在分塊矩陣求逆矩陣時,初等變換法甚是優(yōu)越.例116設(shè)是一個(y )四分塊方陣,其中(qzhng)為階方陣(fn zhn),為階方陣,當(dāng)與都是可逆矩陣時,則是可逆矩陣且第9頁 共17頁,特別的,(1)當(dāng),與都可逆時,有;(2)當(dāng),與都可逆時,有;(3)當(dāng),與都可逆時,.證明 設(shè)可逆,且,其中為階方陣,為階方陣,則應(yīng)有,即,于是得到右面的等式: 因為可逆,用右乘（2）式可得,代入（1）式可得則,用右乘（4）式可得,第10頁 共17頁代入（3）式得,則可得所以(suy).例12 6設(shè)是一個(y )四分塊方陣,其中(qzhng)為階方陣,為階方陣,當(dāng)?shù)?1頁 共17頁與都是可逆矩陣時,則是可逆

10、矩陣,且,特別的,當(dāng),與都可逆時,有;當(dāng),與都可逆時,有;當(dāng),與都可逆時,有.例13 若, 且,可逆求.解 因為,.所以(suy) .例14 已知,均為階矩陣(j zhn),其中(qzhng)可逆,可逆,求.證明 因為 ,.所以 .第12頁 共17頁例15 求矩陣（）的逆矩陣. 解 令,則,由知可逆所以, ,故.例16 設(shè),求.解 將分塊 ,其中(qzhng),.于是(ysh)可得 第13頁 共17頁.3.3四分塊矩陣(j zhn)在證明矩陣秩中的應(yīng)用 矩陣的秩在矩陣理論中起著非常重要的作用.而矩陣秩的問題,比較復(fù)雜,處理起來也沒有一般的方法,而初等變換不改變矩陣的秩.利用分塊矩陣的初等變換來

11、處理矩陣秩的問題,要充分利用對一個分塊矩陣作一次分塊矩陣初等行（列）變換,相當(dāng)于用一個相應(yīng)的分塊初等矩陣左（右）乘該矩陣,利用分塊矩陣左乘,右乘的靈活性,構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆謮K矩陣,利用分塊矩陣的初等變換將其化為三角矩陣（或準對角矩陣）的形式,再利用三角形矩陣,準對角形矩陣秩的性質(zhì)計算,使問題得以簡化.引理3.14矩陣乘積的秩不大于每一個因子的秩;兩個矩陣中有一個是可逆矩陣時,它積的秩等于另一個因子的秩.引理3.24秩+秩秩.引理3.34秩秩,事實上我們(w men)有,再利用(lyng)引理3.1可證.引理3.44在一個(y )分塊矩陣中,若把每個塊看成一個元素,則進行通常的初等變換仍不改變矩陣的秩

12、.例174 設(shè),都是矩陣,則秩秩+秩.證明 構(gòu)造分塊矩陣,對其進行廣義的初等變換,則,故根據(jù)初等變換的性質(zhì)有秩()秩()秩秩 秩,從而秩秩+秩.用數(shù)學(xué)歸納法可以推廣到秩(+)秩()+r()+r().推論14 設(shè),都是矩陣,則秩秩秩.證明 秩=秩秩+秩即證.例184設(shè)是矩陣,是矩陣,且,則秩+秩.證明 由于,故有,由引理得秩秩秩秩秩第14頁 共17頁從而有秩+秩.推論(tuln)24 設(shè)是階方陣(fn zhn),且,則秩秩.證明(zhngmng) 由于,秩秩.另一方面, 秩秩秩秩從而有秩+秩.例19 2設(shè),為矩陣,證明:如果,那么秩（）秩（).證明 因為, , 所以秩 秩,又秩秩秩,所以 .例2

13、0 設(shè)為階矩陣,則.證明 對矩陣的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時,結(jié)論成立.若,結(jié)論成立.當(dāng)時,若.不妨設(shè),第15頁 共17頁.例21 設(shè),都是階矩陣(j zhn),求證:秩秩秩.證明(zhngmng) 因為(yn wi) 所以.又因為,都可逆,所以秩秩.而秩秩 秩秩秩,所以秩秩秩.例22 設(shè)是矩陣的可逆順序主子陣,則.證明 因為而是可逆矩陣(j zhn),由以上(yshng)性質(zhì)知.例23 （Sylvester公式(gngsh)）設(shè),分別為和矩陣,則第16頁 共17頁,.證明 構(gòu)造四分塊矩陣對其進行廣義的初等變換,則 ,故.而,綜上所述,得以證明 .第17頁 共18頁例24（Frobeniius不等

14、式）設(shè)矩陣,及依次是,及矩陣,則.證明 構(gòu)造四分塊矩陣,對其進行廣義的初等變換,則,故根據(jù)初等變換的性質(zhì)有第17頁 共17頁,從而有.總之(zngzh),四分塊矩陣是研究矩陣問題是的一種重要(zhngyo)的方法,目的(md)在于簡化運算和數(shù)學(xué)證明,通過局部性質(zhì)的描述,更直接的解決問題,減少不必要的步驟,使問題簡單明了便于記憶和理解,以上主要介紹了利用矩陣四分塊的方法,求矩陣的逆,矩陣的行列式,矩陣的秩的不等式等問題.然而矩陣分塊的思想方法在矩陣的正定性,特征值等方面應(yīng)用也很廣泛,本文不再贅述.除了在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,它還適用于一些電腦應(yīng)用如VLSI芯片設(shè)計等.參考文獻1 王萼芳,石生明.高等代數(shù)(第

15、3版)M.北京:高等教育出版社,2003:181-203.2 嚴坤妹.分塊矩陣的應(yīng)用J.福建廣播電視大學(xué)學(xué)報,2006,第5期:71-73.3 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)小組教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社.4 楊子胥.用分塊矩陣證明矩陣秩的一些性質(zhì)J.聊城師范學(xué)院學(xué)報,1982:40-45.5 王蓮花,李念偉,梁志新,分塊矩陣在行列式計算中的應(yīng)用J,河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2005,14(1):12-15.6 徐天保.分塊矩陣的應(yīng)用J.安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,16(2):106-108.7 孔慶蘭.分塊矩陣的應(yīng)用J.棗莊學(xué)院學(xué)報,2006,23(5):

16、24-26.8 Shujun Bi,Le Han,Shaohua Pan et al.Approximation of rank function and its application to the nearest low-rank correlation matrixJ.Journal of global optimization,2013,57(4):1113-1137.9 吳旭.用矩陣分塊方法證明矩陣秩的一些性質(zhì)J.甘肅廣播電視大學(xué)學(xué)報,2003,13(3):45-47.10 陳文華.分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用J.大理學(xué)院學(xué)報,2009:7-11.Applicationoffourbl

17、ockmatrixelementarytransformationWangPan(Grade11, Class2, Major in Information and Computational Science, Department of Mathematics, Shanxi University of Technology, Hanzhong 723001,Shanxi)Tutor: Yalan ZhouAbstract:Matrixinverseanddeterminantofamatrix,matrixrankiscommonprobleminadvancedalgebra.Forhighordermatrix,solvetheseproblemsareoftentoocumbersome,evencantsolve.Butifusingthemethodofmatrixblocking,applytheideasandmethodsofelementarytransformationofmatrixinthepartitionedmatrix,thencanhav