二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓和相似三角形常常綜合在一起運(yùn)用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，互相滲透存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)的問題解決這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合例12013重慶如圖411，對稱軸為直線x1的拋物線yax2bxc(a0)與x軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)已

2、知a1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)若點(diǎn)P在拋物線上，且eqoac(,S)POC4SBOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動點(diǎn)，作QDx軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值(1)拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，能求出B點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？(2)要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？由a1，A(3，0)，B(1，0)三個(gè)條件試一試；(3)根據(jù)eqoac(,S)POC4eqoac(,S)BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值；(4)如何用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式？(5)D點(diǎn)的坐標(biāo)怎么用x來表示？(6)QD怎樣用含x的代數(shù)式來表示？(7)QD與x的函數(shù)關(guān)系如

3、何？是二次函數(shù)嗎？如何求出最大值？以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點(diǎn)存在性問題是以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，判斷三角形滿足某些關(guān)于點(diǎn)的條件時(shí)，是否存在的問題，這類問題有關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)、線段、三角形等類型之分這類試題集代數(shù)、幾何知識于一體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變解：(1)由題意知：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x1對稱，A(3，0)，B(1，0)(2)當(dāng)a1時(shí)，則b2，把A(3，0)(3)代入yx22xc中得c3，又SPOC2OC|xp|6，|xp|4，xp4.學(xué)習(xí)必備歡迎下載該拋物線解析式為yx22x3.1133SBOC2OBOC2132，SPOC4SBOC426.1當(dāng)xp4時(shí)，yp4224321；當(dāng)xp4

4、時(shí)，yp(4)22(4)35.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，21)或(4，5)A(3，0)，C(0，3)，則直線AC的解析式為yx3.設(shè)點(diǎn)Q為(a，a3)，點(diǎn)D為(a，a22a3)，QDyQyDa3(a22a3)a23a.332（1）當(dāng)a2時(shí)，QD有最大值，其最大值為：32392324.探究二二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合例22013棗莊如圖412，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于C(0，3)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動點(diǎn)(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)連接PO、eqoac(,PC)，并將POC沿y軸對折，得到四邊形POPC，那么是否存

5、在點(diǎn)P，使得四邊形POPC為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積PCPO，PECO，OEEC，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即x，x2)，使得四邊形POPC為菱形22x3，解得x1(不合題意，舍去)存在點(diǎn)P(，學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1)圖中已知拋物線上幾個(gè)點(diǎn)？將B、C的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；(2)畫出四邊形POPC，若四邊形POPC為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，由此能求出P點(diǎn)坐標(biāo)嗎？(3)由于ABC的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面積，即求BPC的最大面積求四邊形面積的函數(shù)關(guān)

6、系式，一般是利用割補(bǔ)法把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差解：(1)將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入yx2bxc，93bc0，b2，得解得c3，c3.這個(gè)二次函數(shù)的解析式為yx22x3.(2)假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P(x，x22x3)，使得四邊形POPC為菱形連接PP交CO于點(diǎn)E.四邊形POPC為菱形，32332221021021022232x(3)過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)Q，交OB于點(diǎn)F，設(shè)P(x，22x3)由x22x30得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，直線BC的解析式為：yx3，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，x3)，AB4，CO3，BO3，PQx2+3x.SABCSBP

7、QSCPQABCOPQ22S四邊形ABPC學(xué)習(xí)必備歡迎下載11BFPQFOABCOPQ(BFFO)ABCOPQBO43(x23x)3x2x63x22.當(dāng)x時(shí)，四邊形ABPC315四邊形ABPC的最大面積為.1111222211139222223753282，的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為24，758探究三二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合例32013涼山如圖413，拋物線yax22axc(a0)交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G.(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點(diǎn))上平行移動，分別交x軸于點(diǎn)

8、E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長；(3)在(2)的條件下，連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷PCM的形狀；若不存在，請說明理由學(xué)習(xí)必備歡迎下載c4，a4，解得c4.所求拋物線的解析式為yx2x4.k，3kb0，A(3，0)，C(0，4)在直線AC上，解得b4.直線AC的解析式為yx4，Mm，m4，Pm，m2m4.2m4m4484PMmm2m4m4m24m.(1)將_代入yax22axc，求出拋物線的解析式；(2)根據(jù)_的坐標(biāo)，用待定系

9、數(shù)法求出直線AC的解析式；(3)根據(jù)拋物線和直線AC的解析式如何表示出點(diǎn)P、點(diǎn)M的坐標(biāo)和PM的長？(4)由于PFC和AEM都是直角，F(xiàn)和E對應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：PFC_，PFC_此類問題常涉及運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確時(shí)，要分類討論，以免漏解解：(1)C(0，4)，A(3，0)在拋物線yax22axc(a0)上，39a6ac0，4833(2)設(shè)直線AC的解析式為ykxb(k0)，43b4，43448333點(diǎn)P在M的上方，

10、33348433343PF(3)若PFCAEM，此時(shí)PCM是直角三角形且PCM90.則AECFPFAEME，即CFME.PFPEEFm2m44m2m，CFOEm，同理，PFm2m，CFOEm，AB5，半徑是PCPBPA，OP1，33323.m0，m.則，即.334.此時(shí)m的值為或eqoac(,1)，PCM為直角三角形或等腰三角形學(xué)習(xí)必備歡迎下載AEMEAEAO又AEMAOC，AOCO，即MECO，PFAO3CFCO4.4848333348m2mm416若PFCMEA，此時(shí)PCM是等腰三角形且PCCM.PFFCPFMEMEEAFCEAAOAE3OC4PFOC4由得COME4，OA3，F(xiàn)COA3.

11、483348m2mm3m0，m1.綜上可得，存在這樣的點(diǎn)P使以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AEM相似，2316探究四二次函數(shù)與圓的結(jié)合例42013巴中如圖414，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作P與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)設(shè)M為(1)中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)解析式；(3)試說明直線MC與P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論(1)已知拋物線上的哪兩個(gè)點(diǎn)？設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式是ya(x4)(x1)，如何求出C點(diǎn)坐標(biāo)？(2)怎么求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)？(

12、3)若直線MC與P相切，如何去求證？用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)的最值，切線的判定等知識點(diǎn)的連接和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵解：(1)A(4，0)，B(1，0)，525322在CPO中，由勾股定理得：OCCP2OP22，a，y(x4)(x1)x2x2，故經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式是yx2x2.258把C(0，2)，M2，8代入，得kb，b2，解得k，b2，yx2.當(dāng)y0時(shí)，0 x2，x，OD，D3，0.在COD中，由勾股定理得CD232212313225325325.52252252625582又PC，PD1，2學(xué)習(xí)必備歡迎下載C(0，2)設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋