矢量分析基礎(chǔ)2

1、1數(shù)學(xué)物理方法二2010 . 312課程要求網(wǎng)站： 助教： 1015，周瑋李政道著 物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法 第一章,矢量與張量分析第二章,n維空間中的線性代數(shù)第三章 按正交函數(shù)系展開 魯濱著 物理學(xué)中的數(shù)學(xué) 第三章 外微分形式 23經(jīng)典物理學(xué)中的矢量34內(nèi)容矢量分析坐標變換笛卡爾張量微分運算45矢量分析矢量（廣義）：既有大小又有方向的量速度，加速度，動量。幾何表述：有向線段代數(shù)表示：有序數(shù)組標量（廣義）：只有大小沒有方向的量能量，質(zhì)量。56矢量空間定義域 K：常見為實數(shù)域或復(fù)數(shù)域矢量空間 V：矢量集合矢量的分量取值于定義域 K加法運算數(shù)的乘法運算67矢量空間滿足運算規(guī)則：交換律結(jié)合律分配律存在零元

2、 0存在恒元存在逆元78矢量空間的維數(shù)和基若矢量空間中的任一矢量均可用某組線性無關(guān)的矢量組合表達，則這組矢量稱為該矢量空間的基，其中矢量的個數(shù)稱為該矢量空間的維數(shù)89線性無關(guān)對任意矢量，其用基的組合表達是唯一的若設(shè)與線性無關(guān)矛盾910存在無窮多個基線性無關(guān)保持，基的個數(shù)保持1011內(nèi)積（標量積、點乘）兩個矢量的內(nèi)積為標量交換律分配率Schwarz不等式1112正交歸一基基若且則稱為正交歸一基1213單位正交矢量Kronecker 符號1314Einstein 求和規(guī)則只能兩個指標重復(fù)，不能三個或以上指標重復(fù)求和指標只要不和其他指標重復(fù)，可任意替換重復(fù)指標求和1415重復(fù)指標只能是成對的指標可隨

3、意調(diào)換1516外積（矢量積、叉乘x）兩個矢量（三維）的外積為矢量雅可比恒等式分配率反對稱性1617外積的幾何外積的大小對應(yīng)于由倆矢量構(gòu)成的平行四邊形面積外積的方向由右手法則決定，垂直于倆矢量組成的平面1718角動量、力矩。軸矢量，鏡面反射改變手性1819三維矢量叉乘的行列式表示1920三維 Levi-Civita 符號202121222223正交歸一基上的投影新基和舊基的關(guān)系正交變換關(guān)系（基的變換）2324變換矩陣正交變換：從正交歸一基變換到正交歸一基正交變換關(guān)系（基的變換）2425變換矩陣正交變換關(guān)系（矢量變換）逆變換2526二維正交變換2627二維正交變換2728二維正交變換的基的變換關(guān)系

4、2829二維正交變換的矢量變換關(guān)系2930主動變換與被動變換被動變換：矢量沒有動，坐標系變換主動變換：坐標系不動，矢量變換被動轉(zhuǎn)動q角等價于主動轉(zhuǎn)動-q角3031三維轉(zhuǎn)動變換z0y0 x0zyxz0y0 x0zyxy0z0yx0 xzyqyzy0 x0zyxqxEuler angle3132三維轉(zhuǎn)動變換（進動）z0y0 x0zyxz0y0 x0zyx3233三維轉(zhuǎn)動變換（章動）z0y0 x0zyxy0z0yx0 xzyq3334三維轉(zhuǎn)動變換（自轉(zhuǎn)）y0z0yx0 xzyqyzy0 x0zyxqxEuler angle3435三維轉(zhuǎn)動變換3536一般線性變換基的變換基的逆變換矢量變換矢量逆變換3

5、637有大小方向的量（有序數(shù)組），同時滿足某種變換關(guān)系，則稱為該變換關(guān)系下的矢量例：牛頓力學(xué)認為時空矢量是伽利略變換矢量狹義相對論認為時空是Lorentz變換矢量嚴格的矢量定義3738矢量內(nèi)積列矩陣，行矩陣為矢量，方陣是什么？笛卡爾張量3839并積若某量有兩個方向，稱二階張量進一步要求其滿足變換笛卡爾張量3940兩個矢量的并積為矢量但多數(shù)矢量不能表示為兩個矢量的并積兩個矢量共2n個變量，一個二階張量有n2個變量若方程數(shù)不夠（n2）笛卡爾張量4041對稱張量反對稱張量任意二階方程都可分解成對稱張量和反對稱張量的和笛卡爾張量4142為作用在三個面上的力應(yīng)力4243各向同性：系統(tǒng)對外場的反應(yīng)和外場方

6、向相同且反應(yīng)強度相同各向異性：系統(tǒng)初在外場方向有反應(yīng)外還在其他方向有反應(yīng)極化4344剛體的角動量：轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動慣量44三維二階反對稱張量三個獨立變量可與一矢量對應(yīng)454546高階張量：具有n個方向（指標）的量，稱n階張量有多個方向的量（有序數(shù)組），同時滿足某種變換關(guān)系，則稱為該變換關(guān)系下的矢量笛卡爾張量是正交變換下的張量嚴格的張量定義46笛卡爾張量運算(I)線性組合：兩個同階張量的和仍為該階張量直積：一個m階張量直積一個n階張量為一個m+n階張量4747笛卡爾張量運算(II)縮并：張量的兩個指標求和之后得到低二階的張量內(nèi)積：一個m階張量直積一個n階張量后對屬于原不同張量的兩指標縮并后得到m+

7、n-2階張量4848笛卡爾張量運算(III)微商：張量的導(dǎo)數(shù)為高一階張量整體變換49笛卡爾張量運算(IV)定義（n小于空間維數(shù)）：外積：一個m階張量直積一個n階張量后反對稱化（m+n小于空間維數(shù)）例如矢量叉乘5050笛卡爾張量運算(V)外導(dǎo)數(shù)運算：D 稱外微分算子標量的外導(dǎo)數(shù)為梯度（矢量）矢量的外導(dǎo)數(shù)為旋度（二階張量）任何張量的兩次外導(dǎo)數(shù)運算為零5151三維歐幾里德空間中的微分運算直角坐標系下的微分算子：標量的導(dǎo)數(shù)為梯度（矢量）微分算子以內(nèi)積方式作用于矢量稱散度（標量）微分算子以外積方式作用于矢量稱旋度（矢量）5252散度旋度的意義散度不為零意味著有源：閉合曲面上某矢量的通量等于該曲面包含空間

8、內(nèi)該矢量散度的積分旋度不為零意味著矢量場閉合某矢量沿在閉合曲線上的積分等于該矢量的旋度在該曲線包圍曲面上的積分5353流守恒方程流出某區(qū)域的量等于該區(qū)域內(nèi)量的減少積分形式微分形式54單位時間內(nèi)流出S的總量單位時間內(nèi)V中量的增加54三維歐幾里德空間中的微分運算直角坐標系下的微分算子作用在其后的所有變量上不能與所作用的變量隨意對換位置梯度的旋度為零旋度的梯度為零5555勢標量勢（無旋場必有標量勢）矢量勢（無源場必有矢量勢）規(guī)范變換（勢不是唯一的）5656例：電動力學(xué)Maxwell方程矢量勢靜電場標量勢一般情況5757兩點間的距離三維直角坐標系球坐標系58注意：該變換非線性變換58兩點間的距離直角坐標系做坐標變換正交變換球坐標系非笛卡爾坐標系59度規(guī)張量59笛卡爾