中考知識(shí)點(diǎn)全等三角形

1、全等三角形一.選擇題1（2015四川資陽,第10題3分）如圖6，在ABC中，ACB=90，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且ECF=45，過點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G現(xiàn)有以下結(jié)論：AB=；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=；AF+BE=EF；MGMH=，其中正確結(jié)論為ABCD考點(diǎn)：相似形綜合題分析：由題意知，ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，可得MGBC，四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得到FG是ACB的中位線，從而作出判斷；如圖2所示，SAS可證ECFECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出

2、判斷；根據(jù)AA可證ACEBFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AFBF=ACBC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到MGMH=AEBF=AEBF=ACBC=，依此即可作出判斷解答：解：由題意知，ABC是等腰直角三角形，AB=，故正確；如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，MBBC，MBC=90，MGAC，MGC=90=C=MBC，MGBC，四邊形MGCB是矩形，MH=MB=CG，F(xiàn)CE=45=ABC，A=ACF=45，CE=AF=BF，F(xiàn)G是ACB的中位線，GC=AC=MH，故正確；如圖2所示，AC=BC，ACB=90，A=5=45將ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至BCD

3、，則CF=CD，1=4，A=6=45；BD=AF；2=45，1+3=3+4=45，DCE=2在ECF和ECD中，ECFECD（SAS），EF=DE5=45，BDE=90，DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故錯(cuò)誤；7=1+A=1+45=1+2=ACE，A=5=45，ACEBFC，=，AFBF=ACBC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，MGBC，MH=CG，MGBC，MHAC，=；=，即=；=，MG=AE；MH=BF，MGMH=AEBF=AEBF=ACBC=，故正確故選：C點(diǎn)評(píng)：考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三

4、角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度2. （2015浙江金華，第9題3分）以下四種沿AB折疊的方法中，不一定能判定紙帶兩條邊線，互相平行的是【 】A. 如圖1，展開后，測得1=2B. 如圖2，展開后，測得1=2，且3=4C. 如圖3，測得1=2D. 如圖4，展開后，再沿CD折疊，兩條折痕的交點(diǎn)為O，測得OA=OB，OC=OD【答案】C.【考點(diǎn)】折疊問題；平行的判定；對頂角的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì).【分析】根據(jù)平行的判定逐一分析作出判斷：A. 如圖1，由1=2，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的判定可判定紙帶兩條邊線，互相平行；

5、B. 如圖2，由1=2和3=4，根據(jù)平角定義可得1=2=3=4=90，從而根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的判定可判定紙帶兩條邊線，互相平行；C. 如圖3，由1=2不一定得到內(nèi)錯(cuò)角相等或同位角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故不一定能判定紙帶兩條邊線，互相平行；D. 如圖4，由OA=OB，OC=OD，得到，從而得到，進(jìn)而根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的判定可判定紙帶兩條邊線，互相平行.故選C.3. （2015四川省宜賓市，第8題，3分）在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)A (x1,y1)，B (x2,y2)規(guī)定運(yùn)算：A eq oac(,+)B=( x1+ x2, y1+ y2)；A

6、eq oac(,)B= x1 x2+y1 y2當(dāng)x1= x2且y1= y2時(shí)A=B有下列四個(gè)命題：（1）若A(1，2)，B(2，1)，則A eq oac(,+)B=(3,1)，A eq oac(,)B=0；（2）若A eq oac(,+)B=B eq oac(,+)C，則A=C；（3）若A eq oac(,)B=B eq oac(,)C，則A=C；（4）對任意點(diǎn)A、B、C，均有（A eq oac(,+)B ) eq oac(,+)C=A eq oac(,+)( B eq oac(,+)C )成立.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ C ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D.4個(gè)4. （2015浙江省

7、紹興市，第7題，4分） 如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC，將儀器上的點(diǎn)A與PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A，C畫一條射線AE，AE就是PRQ的平分線。此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得ABCADC，這樣就有QAE=PAE。則說明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS考點(diǎn)：全等三角形的應(yīng)用.分析：在ADC和ABC中，由于AC為公共邊，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定ADCABC，進(jìn)而得到DAC=BAC，即QAE=PAE解答：解：在ADC和ABC中，ADCABC（SSS），

8、DAC=BAC，即QAE=PAE故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的應(yīng)用；這種設(shè)計(jì)，用SSS判斷全等，再運(yùn)用性質(zhì)，是全等三角形判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，做題時(shí)要認(rèn)真讀題，充分理解題意5(2015貴州六盤水，第9題3分)如圖4，已知ABCDCB，下列所給條件不能證明ABCDCB的是（）AAD BABDC CACBDBC DACBD考點(diǎn)：全等三角形的判定.分析：本題要判定ABCDCB，已知ABC=DCB，BC是公共邊，具備了一組邊對應(yīng)相等，一組角對應(yīng)相等，故添加AB=CD、ACB=DBC、A=D后可分別根據(jù)SAS、ASA、AAS能判定ABCDCB，而添加AC=BD后則不能解答：解：A、可利用AAS定理

9、判定ABCDCB，故此選項(xiàng)不合題意；B、可利用SAS定理判定ABCDCB，故此選項(xiàng)不合題意；C、利用ASA判定ABCDCB，故此選項(xiàng)不符合題意；D、SSA不能判定ABCDCB，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角6.（2015江蘇泰州,第6題3分）如圖，中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交 AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，則圖中全等的三角形的對數(shù)是A.1對 B.

10、2對 C.3對 D.4對 【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)已知條件“AB=AC，D為BC中點(diǎn)”，得出ABDACD，然后再由AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，推出AOEEOC，從而根據(jù)“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到難，不重不漏試題解析：AB=AC，D為BC中點(diǎn)， CD=BD，BDO=CDO=90， 在ABD和ACD中， ，ABDACD； 7.（2015山東東營,第9題3分）如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，連接DE，DF，EF則添加下列哪一個(gè)條件后，仍無法判定FCE與EDF全等（ ）AA=DFE BBF=CF

11、CDFAC DC=EDF 【答案】A考點(diǎn)：三角形全等的判定.8.（2015山東東營,第10題3分）如圖，在RtABC中，ABC=90，AB=BC點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CD，過點(diǎn)B作BGCD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連結(jié)DF給出以下四個(gè)結(jié)論：；若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則AF=AB；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，DF=DB；若，則其中正確的結(jié)論序號(hào)是（ ）A B C D 【答案】C考點(diǎn)：.相似三角形的判定和性質(zhì)；.圓周角定理；.三角形全等的判定與性質(zhì).二.填空題1 (2015黑龍江綏化，第18題 分)如圖正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O ，CEF是

12、正三角形，則CEF=_考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：根據(jù)正方形、等邊三角形的性質(zhì)，可得AO=BO，OE=OF，根據(jù)SSS可得AOEBOF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等，根據(jù)角的和差，可得答案解答：解：四邊形ABCD是正方形，OA=OB，AOB=90OEF是正三角形，OE=OF，EOF=60在AOE和BOF中，AOEBOF（SSS），AOE=BOF，AOE=（AOBEOF）2=（9060）2=15，故答案為15點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形、等邊三角形的性質(zhì)，利用SSS證明三角形全等得出AOE=BOF是解題的關(guān)鍵2. （2015四川瀘州

13、,第16題3分）如圖，在矩形ABCD中，ADC的平分線交邊BC于點(diǎn)E，AHDE于點(diǎn)H，連接CH并延長交邊AB于點(diǎn)F，連接AE交CF于點(diǎn)O，給出下列命題：AEB=AEH DH= 其中正確命題的序號(hào)是 （填上所有正確命題的序號(hào)）.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì).分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=AB=，由DE平分ADC，得到ADH是等腰直角三角形，DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出AED=67.5，AEB=1804567.5=67.5，得到正確；設(shè)DH=1，則AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=，得到2

14、HE=1，故錯(cuò)誤；通過角的度數(shù)求出AOH和OEH是等腰三角形，從而得到正確；由AFHCHE，到AF=EH，由ABEAHE，得到BE=EH，于是得到BCBF=（BE+CE）（AB=AF）=（CD+EH）（CDEH）=2EH，從而得到錯(cuò)誤解答：解：在矩形ABCD中，AD=BC=AB=，DE平分ADC，ADE=CDE=45，ADDE，ADH是等腰直角三角形，AD=AB，AH=AB=CD，DEC是等腰直角三角形，DE=CD，AD=DE，AED=67.5，AEB=1804567.5=67.5，AED=AEB，故正確；設(shè)DH=1，則AH=DH=1，AD=DE=，HE=，2HE=1，故錯(cuò)誤；AEH=67.5

15、，EAH=22.5，DH=CH，EDC=45，DHC=67.5，OHA=22.5，OAH=OHA，OA=OH，AEH=OHE=67.5，OH=OE，OH=AE，故正確；AH=DH，CD=CE，在AFH與CHE中，AFHCHE，AF=EH，在ABE與AHE中，ABEAHE，BE=EH，BCBF=（BE+CE）（AB=AF）=（CD+EH）（CDEH）=2EH，故錯(cuò)誤，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)3

16、. （2015四川眉山，第18題3分）如圖，以ABC的三邊為邊分別作等邊ACD、ABE、BCF，則下列結(jié)論：EBFDFC；四邊形AEFD為平行四邊形；當(dāng)AB=AC，BAC=120時(shí)，四邊形AEFD是正方形其中正確的結(jié)論是（請寫出正確結(jié)論的番號(hào)）考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；正方形的判定.專題：計(jì)算題分析：由三角形ABE與三角形BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，ABE=CBF=60，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EBF與三角形DFC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，

17、等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形，若AB=AC，BAC=120，只能得到AEFD為菱形，不能為正方形，即可得到正確的選項(xiàng)解答：解：ABE、BCF為等邊三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60，ABEABF=FBCABF，即CBA=FBE，在ABC和EBF中，ABCEBF（SAS），選項(xiàng)正確；EF=AC，又ADC為等邊三角形，CD=AD=AC，EF=AD，同理可得AE=DF，四邊形AEFD是平行四邊形，選項(xiàng)正確；若AB=AC，BAC=120，則有AE=AD，EAD=120，此時(shí)AEFD為菱形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故答案為：

18、點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵4(2015江蘇南昌,第9題3分)如圖，OP平分MON , PEOM于E, PFON于F,OA=OB, 則圖中有 對全等三角形.答案：解析：POE=POF, PEO=PFO=90OP=OP,POEPOF(AAS), 又OA=OB,POA=POB,OP=OP,POAPOB(AAS), PA=PB,PE=PF,RtPAERtPBF(HL). 圖中共有3對全的三角形.5(2015江蘇無錫,第15題2分)命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是_命題（填入“真”或“假

19、”）考點(diǎn)：命題與定理分析：把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推結(jié)論，如果能就是真命題解答：解：“全等三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形是全等三角形”，根據(jù)全等三角形的定義，不符合要求，因此是假命題點(diǎn)評(píng)：本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題其一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題6.（2015山東聊城,第15題3分）如圖，在ABC中，C=90，A=30，BD是ABC的平分線若AB=6，則點(diǎn)D到AB的距離是考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì).分析：求出A

20、BC，求出DBC，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC，CD，問題即可求出解答：解：C=90，A=30，ABC=1803090=60，BD是ABC的平分線，DBC=ABC=30，BC=AB=3，CD=BCtan30=3=，BD是ABC的平分線，又角平線上點(diǎn)到角兩邊距離相等，點(diǎn)D到AB的距離=CD=，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵7.（2015湖南邵陽第12題3分）如圖，在ABCD中，E、F為對角線AC上兩點(diǎn)，且BEDF，請從圖中找出一對全等三角形：ADFBEC考點(diǎn)：全等三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì).專題：開放型分析：由平行四邊形的性

21、質(zhì)，可得到等邊或等角，從而判定全等的三角形解答：解：四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC，DAC=BCA，BEDF，DFC=BEA，AFD=BEC，在ADF與CEB中，ADFBEC（AAS），故答案為：ADFBEC點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對邊平行和角相等從而得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵三.解答題1.（2015江蘇泰州,第25題12分）如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA 上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）判斷直線EG是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并說明理

22、由；（3）求四邊形EFGH面積的最小值。【答案】(1)證明見解析；（2）直線EG經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)為正方形的中心（AC、BD的交點(diǎn)）；理由見解析；（3）32cm2.【解析】（2）解：直線EG經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)為正方形的中心（AC、BD的交點(diǎn)）；理由如下：連接AC、EG，交點(diǎn)為O；如圖所示： 四邊形ABCD是正方形， ABCD， OAE=OCG， 在AOE和COG中， AOECOG（AAS）， OA=OC，即O為AC的中點(diǎn)， 正方形的對角線互相平分， O為對角線AC、BD的交點(diǎn)，即O為正方形的中心；（3）解：設(shè)四邊形EFGH面積為S，設(shè)BE=xcm，則BF=（8x）cm， 根據(jù)勾股定理得

23、：EF2=BE2+BF2=x2+（8x）2， S=x2+（8x）2=2（x4）2+32， 20， S有最小值， 當(dāng)x=4時(shí)，S的最小值=32， 四邊形EFGH面積的最小值為32cm2考點(diǎn)：四邊形綜合題2.（2015山東臨沂,第25題11分）如圖1，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE.（1）請判斷：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；（2）如圖2，若將條件“兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF”變?yōu)椤皟蓚€(gè)等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立?請作出判斷并給予證明；（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF

24、，ED=FC，第（1）問中的結(jié)論都能成立嗎？請直接寫出你的判斷. 【答案】（1）AF=BE，AFBE（2）結(jié)論成立（3）結(jié)論都能成立在EAD和FDC中，EADFDC.EAD=FDC.EAD+DAB=FDC+CDA，即BAE=ADF.在BAE和ADF中，BAEADF.BE = AF，ABE=DAF.DAF +BAF=90，ABE +BAF=90，AFBE.（3）結(jié)論都能成立.考點(diǎn)：正方形，等邊三角形，三角形全等3. （2015山東菏澤，20，8分）如圖，已知ABC=90，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC（1）如圖1，過點(diǎn)A作AFAB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷CDF的形狀并證明；

25、（2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由【答案】（1）CDF是等腰三角形；（2）APD=45考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)4. （2015四川省宜賓市，第18題，6分）(注意：在試題卷上作答無效)如圖，AC=DC，BC=EC，ACD = BCE求證：A=D5. （2015浙江省紹興市，第23題，12分）正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角DAG=，其中0180，連結(jié)DF，BF，如圖。（1）若=0，則DF=BF，請加以證明；（2）試畫一個(gè)圖

26、形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題；（3）對于（1）中命題的逆命題，如果能補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說明理由?？键c(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；命題與定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).分析：（1）利用正方形的性質(zhì)證明DGFBEF即可；（2）當(dāng)=180時(shí)，DF=BF（3）利用正方形的性質(zhì)和DGFBEF的性質(zhì)即可證得是真命題解答：（1）證明：如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，AG=AE，AD=AB，GF=EF，DGF=BEF=90，DG=BE，在DGF和BEF中，DGFBEF（SAS），DF=BF；（2）解：圖形（即反例）如圖2

27、，（3）解：補(bǔ)充一個(gè)條件為：點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)；即：若點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，DF=BF，則旋轉(zhuǎn)角=0點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，命題和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵，注意利用正方形的性質(zhì)找三角形全等的條件6. （2015浙江省臺(tái)州市，第24題）定義：如圖1，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)（1）已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM=2，MN=3求BN的長；（2）如圖2，在ABC中，F(xiàn)G是中位線，點(diǎn)D，E是線段BC的勾股分割點(diǎn)，且ECDE

28、BD，連接AD，AE分別交FG于點(diǎn)M，N，求證：點(diǎn)M，N是線段FG的勾股分割點(diǎn)（3）已知點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn)，其位置如圖3所示，請?jiān)贐C上畫一點(diǎn)D，使C，D是線段AB的勾股分割點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）（4）如圖4，已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，MNAMBN，AMC，MND和NBM均是等邊三角形，AE分別交CM，DM，DN于點(diǎn)F，G，H，若H是DN的中點(diǎn)，試探究，和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由7，（2015福建泉州第20題9分）如圖，在矩形ABCD中點(diǎn)O在邊AB上，AOC=BOD求證：AO=OB解：四邊形ABCD是矩形，A=B=90，AD=BC，AOC=BOD，AO

29、CDOC=BODDOC，AOD=BOC，在AOD和BOC中，AODBOC，AO=OB8（2015廣東梅州,第20題，9分）如圖，已知ABC按如下步驟作圖：以A為圓心，AB長為半徑畫??；以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；連結(jié)BD，與AC交于點(diǎn)E，連結(jié)AD，CD（1）求證：ABCADC；（2）若BAC=30，BCA=45，AC=4，求BE的長考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖復(fù)雜作圖.分析：（1）利用SSS定理證得結(jié)論；（2）設(shè)BE=x，利用特殊角的三角函數(shù)易得AE的長，由BCA=45易得CE=BE=x，解得x，得CE的長解答：（1）證明：在ABC與ADC中，ABCADC（SSS）；（

30、2）解：設(shè)BE=x，BAC=30，ABE=60，AE=tan60 x=x，ABCADC，CB=CD，BCA=DCA，BCA=45，BCA=DCA=90，CBD=CDB=45，CE=BE=x，x+x=4，x=22，BE=22點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，利用方程思想，綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定定理是解答此題的關(guān)鍵9（2015甘肅蘭州,第25題，9分）如圖，四邊形ABCD中ABCD，ABCD，BD=AC。（1）求證：AD=BC；【考點(diǎn)解剖】本題考查特殊四邊形的性質(zhì)，和等腰三角形性質(zhì)中的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)?！局R(shí)準(zhǔn)備】在同一個(gè)三角形中，相等的邊所對的角相等；【思路點(diǎn)拔】（

31、1）要說明AD=BC，只要能說明ACDBDC，現(xiàn)已有AC=BD，CD=DC，那么關(guān)鍵是如何說明1=2；這里需要注意的是：由AC=BD，并不能直接得出結(jié)論1=2，因?yàn)锳C和BD并非同一個(gè)三角形中的元素。能否以某一角為媒介，使得1和2都與之相等？結(jié)合已知條件中的AC=BD，如果能夠構(gòu)造出以AC和BD為其中兩邊的三角形，那么它們所對的角自然相等。為此，可將AC平移，使點(diǎn)A到點(diǎn)B位置（如圖），那么有2=K，而K=1，則有2=1，問題得以解決；【解答過程】（1）延長DC至K，使CK=AB，ABCK，四邊形ABKC是平行四邊形，則在ABKC中，有ACBK，1=K，BD=AC，AC=BK，BD=BK，則有2

32、=K，2=K，1=K，1=2 。ACD和BDC中， ACDBDC（SAS），AD=BC ；【題目星級(jí)】【解題策略】很多時(shí)候，在直接說明某兩個(gè)量相等（如本題中需證明1=2）有困難時(shí)，我們往往可以尋找第三方媒介，分別說明目標(biāo)的兩個(gè)量與第三方的這個(gè)量相等，從而達(dá)到說明兩個(gè)目標(biāo)量相等的目的。10. （2015四川瀘州,第18題6分）如圖，AC=AE，1=2，AB=AD. 求證：BC=DE.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題分析：先證出CAB=DAE，再由SAS證明BACDAE，得出對應(yīng)邊相等即可解答：證明：1=2，CAB=DAE，在BAC和DAE中，BACDAE（SAS），BC=DE點(diǎn)評(píng)：本題

33、考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵11. （2015四川涼山州,第21題8分）如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，連接AG，DEAG于E，BFDE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【答案】AF=BF+EF，理由見試題解析考點(diǎn)：1全等三角形的判定與性質(zhì)；2正方形的性質(zhì)12. （2015四川眉山，第25題9分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長AP交CD于F點(diǎn)，（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；（2）若AEP是等邊三角形

34、，連結(jié)BP，求證：APBEPC；（3）若矩形ABCD的邊AB=6，BC=4，求CPF的面積考點(diǎn)：四邊形綜合題.專題：綜合題分析：（1）由折疊的性質(zhì)得到BE=PE，EC與PB垂直，根據(jù)E為AB中點(diǎn)，得到AE=PE，利用等角對等邊得到兩對角相等，由AEP為三角形EBP的外角，利用外角性質(zhì)得到AEP=2EPB，設(shè)EPB=x，則AEP=2x，表示出APE，由APE+EPB得到APB為90，進(jìn)而得到AF與EC平行，再由AE與FC平行，利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；（2）根據(jù)三角形AEP為等邊三角形，得到三條邊相等，三內(nèi)角相等，再由折疊的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角定義得到一對角相等，根據(jù)同角的余角相等得到

35、一對角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得證；（3）過P作PMCD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的長，利用面積法求出BQ的長，根據(jù)BP=2BQ求出BP的長，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的長，根據(jù)AFAP求出PF的長，由PM與AD平行，得到三角形PMF與三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的長，再由FC=AE=3，求出三角形CPF面積即可解答：（1）證明：由折疊得到BE=PE，ECPB，E為AB的中點(diǎn)，AE=EB，即AE=PE，EBP=EPB，EAP=EPA，AEP為EBP的外角，AEP=2EPB，設(shè)EPB=x，則AEP=2x，APE=90 x，APB=APE+E

36、PB=x+90 x=90，即BPAF，AFEC，AEFC，四邊形AECF為平行四邊形；（2）AEP為等邊三角形，BAP=AEP=60，AP=AE=EP=EB，PEC=BEC，PEC=BEC=60，BAP+ABP=90，ABP+BEQ=90，BAP=BEQ，在ABP和EBC中，ABPEBC（AAS），EBCEPC，ABPEPC；（3）過P作PMDC，交DC于點(diǎn)M，在RtEBC中，EB=3，BC=4，根據(jù)勾股定理得：EC=5，SEBC=EBBC=ECBQ，BQ=，由折疊得：BP=2BQ=，在RtABP中，AB=6，BP=，根據(jù)勾股定理得：AP=，四邊形AECF為平行四邊形，AF=EC=5，F(xiàn)C=A

37、E=3，PF=5=，PMAD，=，即=，解得：PM=，則SPFC=FCPM=3=點(diǎn)評(píng)：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積求法，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵13. （2015四川樂山,第20題10分）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)A落在平面上的F點(diǎn)處，DF交BC于點(diǎn)E（1）求證：DCEBFE；（2）若CD=2，ADB=30，求BE的長【答案】（1）證明見試題解析；（2）考點(diǎn)：1翻折變換（折疊問題）；2全等三角形的判定與性質(zhì)14. （2015山東濰坊第23 題12分

38、）如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，分別延長OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE（1）求證：DEAG；（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0360）得到正方形OEFG，如圖2在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OAG是直角時(shí)，求的度數(shù)；若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF長的最大值和此時(shí)的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由考點(diǎn)：幾何變換綜合題.分析：（1）延長ED交交AG于點(diǎn)H，易證AOGDOE，得到AGO=DEO，然后運(yùn)用等量代換證明AHE=90即可；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，OAG成為直角有兩種情況：

39、由0增大到90過程中，當(dāng)OAG=90時(shí)，=30，由90增大到180過程中，當(dāng)OAG=90時(shí)，=150；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F在一條直線上時(shí)，AF的長最大，AF=AO+OF=+2，此時(shí)=315解答：解：（1）如圖1，延長ED交AG于點(diǎn)H，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，OA=OD，OAOD，OG=OE，在AOG和DOE中，AOGDOE，AGO=DEO，AGO+GAO=90，AGO+DEO=90，AHE=90，即DEAG；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，OAG成為直角有兩種情況：（）由0增大到90過程中，當(dāng)OAG=90時(shí)，OA=OD=OG=OG，在RtOAG中，sinAGO=，AGO=30，OAOD，OAAG

40、，ODAG，DOG=AGO=30，即=30；（）由90增大到180過程中，當(dāng)OAG=90時(shí)，同理可求BOG=30，=18030=150綜上所述，當(dāng)OAG=90時(shí)，=30或150如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F在一條直線上時(shí)，AF的長最大，正方形ABCD的邊長為1，OA=OD=OC=OB=，OG=2OD，OG=OG=，OF=2，AF=AO+OF=+2，COE=45，此時(shí)=315點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，有一定的綜合性，分類討論當(dāng)OAG是直角時(shí)，求的度數(shù)是本題的難點(diǎn)15（2015山東威海，第23題10分）（1）如圖1，已知ACB=D

41、CE=90，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，CAE=45，求AD的長（2）如圖2，已知ACB=DCE=90，ABC=CED=CAE=30，AC=3，AE=8，求AD的長考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.分析：（1）連接BE，證明ACDBCE，得到AD=BE，在RtBAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；（2）連接BE，證明ACDBCE，得到=，求出BE的長，得到AD的長解答：解：（1）如圖1，連接BE，ACB=DCE=90，ACB+ACE=DCE+ACE，即BCE=ACD，又AC=BC，DC=EC，在ACD和BCE中，ACDBCE，AD=BE，AC

42、BC=6，AB=6，BAC=CAE=45，BAE=90，在RtBAE中，AB=6，AE=3，BE=9，AD=9；（2）如圖2，連接BE，在RtACB中，ABC=CED=30，tan30=，ACB=DCE=90，BCE=ACD，ACDBCE，=，BAC=60，CAE=30，BAE=90，又AB=6，AE=8，BE=10，AD=點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵，正確作出輔助線是重點(diǎn)16（2015山東日照 ，第20題10分）如圖，已知，在ABC中，CA=CB，ACB=90，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，將ECF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

43、角（090），得到MCN，連接AM，BN（1）求證：AM=BN；（2）當(dāng)MACN時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角的余弦值考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).分析：（1）由CA=CB，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，得CE=CF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CM=CE=CN=CF，ACM=BCN=，證明AMCBNC即可；（2）當(dāng)MACN時(shí)，ACN=CAM，由ACN+ACM=90，得到CAM+ACM=90，所以cot=解答：解：（1）CA=CB，ACB=90，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，CE=CF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CM=CE=CN=CF，ACM=BCN=，在AMC和BNC中，AMCBNC，AM=BN；（2）M

44、ACN，ACN=CAM，ACN+ACM=90，CAM+ACM=90，AMC=90，cos=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，難度適中，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵17. （2015四川南充,第19題8分）（8分）如圖，ABC中，ABAC，ADBC，CEAB，AECE求證：（1）AEFCEB；（2）AF2CD 【答案】略.【解析】試題分析：根據(jù)ADBC，CEAB，得出AEF=CEB=90，即AFE+EAF=CFD+ECB=90，結(jié)合AEF=CFD得出EAF=ECB，從而得到AEFCEB；根據(jù)全等得到AF=BC，根據(jù)ABC為等腰三角形則可得BC

45、=2CD，從而得出AF=2CD.試題解析：(1)、ADBC，CEAB AEF=CEB=90 即AFE+EAF=CFD+ECB=90又AEF=CFD EAF=ECB 在AEF和CEB中，AEF=CEB，AE=CE，EAF=ECB AEFCEB(2)、由AEFCEB得：AF=BC 在ABC中，AB=AC，ADBC CD=BD，BC=2CD AF=2CD.考點(diǎn)：三角形全等、等腰三角形的性質(zhì).18（2015四川資陽,第23題11分）如圖12，E、F分別是正方形ABCD的邊DC、CB上的點(diǎn)，且DE=CF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點(diǎn)Q，連接DF.（1）求證：ADEDCF；（2）若E是CD

46、的中點(diǎn)，求證：Q為CF的中點(diǎn)；（3）連接AQ，設(shè)SCEQ=S1，SAED=S2，SEAQ=S3，在（2）的條件下，判斷S1+S2=S3是否成立？并說明理由考點(diǎn)：四邊形綜合題.分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出AD=DC，ADE=DCF=90，再由SAS即可證出ADEDCF；（2）先證出DAE=CEQ，再證明ADEECQ，得出比例式，證出CQ=DE，即可得出結(jié)論；（3）先證明AEQECQ，得出AEQECQADE，得出面積比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出結(jié)論解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，AD=DC，ADE=DCF=90，在ADE和DCF中，ADEDCF（SAS）；（2）證明：E是C

47、D的中點(diǎn)，CE=DE=DC=AD，四邊形AEHG是正方形，AEH=90，AED+CEQ=90，AED+DAE=90，DAE=CEQ，ADE=DCF，ADEECQ，=，CQ=DE，DE=CF，CQ=CF，即Q為CF的中點(diǎn)； （3）解：S1+S2=S3成立；理由如下：如圖所示：ADEECQ，DE=CE，C=AEQ=90，AEQECQ，AEQECQADE，=（）2+（）2=，EQ2+AE2=AQ2，=1，S1+S2=S3點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要多次證明三角形相似才能得出結(jié)論19. （2

48、015浙江濱州,第23題10分）如圖，已知B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，ABC與DCE都是等邊三角形.其中線段BD交AC于點(diǎn)G，線段AE交CD于點(diǎn)F.求證：（1）ACEBCD；（2）.【答案】 考點(diǎn)：三角形全等，三角形相似的判定與性質(zhì)20.（2015浙江杭州,第18題8分）如圖，在ABC中，已知AB=AC，AD平分BAC，點(diǎn)M、N分別在AB、AC邊上，AM=2MB，AN=2NC，求證：DM=DN【答案】證明：AM=2MB，AN=2NC，.又AB=AC，.AD平分BAC，.又AD=AD，.DM=DN.【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì). 【分析】要證DM=DN只要即可，兩三角形已有一條公共邊，由AD

49、平分BAC，可得，只要再有一角對應(yīng)相等或即可，而易由AB=AC，AM=2MB，AN=2NC證得.21（2015廣東梅州,第21題9分）如圖，已知ABC，按如下步驟作圖：以A為圓心，AB長為半徑畫?。灰訡為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；連接BD，與AC交于點(diǎn)E，連接AD，CD（1）求證：ABCADC；（2）若BAC=30，BCA=45，AC=4，求BE的長 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖復(fù)雜作圖分析：（1）利用SSS定理證得結(jié)論；（2）設(shè)BE=x，利用特殊角的三角函數(shù)易得AE的長，由BCA=45易得CE=BE=x，解得x，得CE的長解答：（1）證明：在ABC與ADC中，ABCADC

50、（SSS）；（2）解：設(shè)BE=x，BAC=30，ABE=60，AE=tan60 x=x，ABCADC，CB=CD，BCA=DCA，BCA=45，BCA=DCA=90，CBD=CDB=45，CE=BE=x，x+x=4，x=22，BE=22點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，利用方程思想，綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定定理是解答此題的關(guān)鍵22（2015廣東佛山,第18題6分）如圖，ABC是等腰三角形，AB=AC，請你用尺規(guī)作圖將ABC分成兩個(gè)全等的三角形，并說明這兩個(gè)三角形全等的理由（保留作圖痕跡，不寫作法）考點(diǎn)：作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)專題

51、：作圖題分析：作出底邊BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，利用三線合一得到D為BC的中點(diǎn)，可得出三角形ADB與三角形ADC全等解答：解：作出BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，AB=AC，AD平分BAC，即BAD=CAD，在ABD和ACD中，ABDACD（SAS）點(diǎn)評(píng)：此題考查了作圖應(yīng)用于設(shè)計(jì)作圖，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵 23（2015廣東廣州,第18題9分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF，連接BE，AF求證：BE=AF考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)專題：證明題分析：根據(jù)正方形的四條邊都相等可得A

52、B=AD，每一個(gè)角都是直角可得BAE=D=90，然后利用“邊角邊”證明ABE和ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可解答：證明：在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90，在ABE和ADF中，ABEADF（SAS），BE=AF點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直的定義，求出兩三角形全等，從而得到BE=AF是解題的關(guān)鍵 24(2015湖南株洲,第22題8分)如圖，在ABC中，C90，BD是ABC的一條角一平分線，點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形，(1)求證：點(diǎn)O在BAC的平分線上；(2)若AC5，BC12，求OE的長【試題分析】(1)考察角平分線定理的性質(zhì)，及直角三角形全等的判斷方法，“HL”(2)利用全等得到線段AMBE，AMAF，利用正方形OECF，得到四邊都相等，從而利用OE與BE、AF及AB的關(guān)系求出