251平面向量應(yīng)用舉例

1、2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5.1平面幾何的向量方法平面幾何中的向量方法 向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計(jì)算，這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)極大的方便。 由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問(wèn)題。問(wèn)題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？ABCD猜想：1.長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系

2、？2.類比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設(shè) ，則 分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè) 其它線段對(duì)應(yīng)向量用它們表示。你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路嗎？（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：簡(jiǎn)述：形到向量 向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形例2 如圖， ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD 、 DC邊的中點(diǎn)

3、，BE 、 BF分別與AC交于R 、 T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR 、 RT 、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC解：設(shè) 則由于 與 共線，故設(shè)又因?yàn)?共線，所以設(shè)因?yàn)?所以ABCDEFRT線，故AT=RT=TCABCDEFRT練習(xí)、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知O，AB為直徑，C為O上任意一點(diǎn)。求證ACB=90分析：要證ACB=90，只須證向量 ，即 。解：設(shè) 則 ，由此可得：即 ，ACB=90思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？解析18.（2005全國(guó)）O是ABC所在平面上一點(diǎn)，若 ，則O是ABC的（ ）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn)則O在CA邊的高線上同理可得O在CB邊的高線上D（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（