某學(xué)院隨機(jī)過程講稿

1、17.1 馬爾可夫過程的一般概念7.2 馬爾可夫鏈7.3 狀態(tài)連續(xù)馬爾可夫過程特性7.4 獨(dú)立增量過程的基本概念第七章 馬爾可夫過程 7.5 泊松過程7.6 維納過程7.3狀態(tài)連續(xù)馬爾可夫過程特性定義7.14狀態(tài)連續(xù)，時(shí)間離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫序列。A延遲在實(shí)際中，一般的馬爾可夫序列是對(duì)連續(xù)的馬爾可夫過程進(jìn)行抽樣得到的，例如，在對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)（導(dǎo)彈，飛機(jī)）的軌跡測(cè)量中，信號(hào)的模型常采用以下的一階差分方程，即： A為常數(shù) W(n)為均值為 ,方差為 的白噪聲高斯高斯高斯-馬爾可夫序列7.3.1 馬爾可夫序列如何求高斯特性的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度高斯-馬爾可夫序列X(n+1)的條件均值：？高斯-馬爾

2、可夫序列X(n+1)的條件方差： 為了確定高斯概率密度，只需要知道給定X(n)的X(n+1)的條件均值和條件方差就夠了。如何求高斯-馬爾可夫序列X(n+1)的自協(xié)方差？馬爾可夫序列的一般形式：A延遲 A(n), B(n)為確知的隨時(shí)間變化的矩陣定義7.15 狀態(tài)和時(shí)間都是連續(xù)的馬爾可夫過程稱為連續(xù)的馬爾可夫過程。7.3.2 連續(xù)的馬爾可夫過程股票預(yù)期收益率股票價(jià)格股票價(jià)格波動(dòng)率Ito過程股票模型為什么說X(t)是一個(gè)馬爾可夫過程？取任意兩個(gè)時(shí)刻tn和tn-1,對(duì)上式兩邊進(jìn)行tn-1到tn的積分，則X(tn)的概率密度只與tn-1時(shí)刻的值有關(guān)，而與tn-1以前的值無關(guān)，因此X(tn)為馬爾可夫過

3、程。X(t)的均值函數(shù)：上式為簡(jiǎn)單的常系數(shù)一階微分方程，只要初始條件mX(0)已知，就可以確定mX(t)。X(t)的方差函數(shù)：是否和馬爾可夫序列一樣也為零？對(duì)該式兩邊微分可得：X(t)的方差函數(shù)：初始條件VX(0)已知即可確定VX(t)。對(duì)所有tt0所,X(t0)與W(t)不相關(guān)，故該項(xiàng)為零7.4 獨(dú)立增量過程的基本概念定義7.16 如果在參數(shù)集T上任意選取t1t2t3tn的n個(gè)時(shí)間點(diǎn)，隨機(jī)過程X(t)的增量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), , X(tn)-X(tn-1)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱這類隨機(jī)過程X(t)為獨(dú)立增量過程。獨(dú)立增量過程是一種特殊的馬爾可夫過程。定

4、義7.17 設(shè)隨機(jī)過程X(t)的二階矩存在，當(dāng) 時(shí)，有則稱這類隨機(jī)過程X(t)為正交增量過程。定義7.18 如果獨(dú)立增量過程的增量X(tk)-X(tk-1)的分布僅與時(shí)間差(tk-tk-1)有關(guān)，而與tk,tk-1本身無關(guān)，則稱它為齊次的獨(dú)立增量過程。定理7.13 對(duì)于獨(dú)立增量過程 ，如果它還滿足 ，則該過程也是正交增量過程。獨(dú)立增量過程泊松過程維納過程7.5 泊松過程定義7.19 在(0,t)內(nèi)出現(xiàn)事件A的總數(shù)所組成的過程 稱為計(jì)數(shù)過程。7.5.1 計(jì)數(shù)過程定義7.20 在計(jì)數(shù)過程中，如果在不相交疊的時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)事件A的次數(shù)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則該計(jì)數(shù)過程為獨(dú)立增量過程。定義7.21 在計(jì)數(shù)

5、過程中，如果在t1,t1+s)內(nèi)出現(xiàn)事件A的次數(shù)僅與時(shí)間差s=t1+s-t1有關(guān)，而與起始時(shí)間t1無關(guān)，即N(t1+S)-N(t1)僅與s有關(guān)而與t1無關(guān)，則稱該計(jì)數(shù)過程為平穩(wěn)增量的計(jì)數(shù)過程。7.5.2 泊松過程概念泊松過程是計(jì)數(shù)過程，而且是最重要的一類計(jì)數(shù)過程。設(shè)有一隨機(jī)過程X(t)，t 0 ，如果X(t)滿足：（1） 從t=0起開始觀察事件，即X(0)=0;（2） X(t)是獨(dú)立增量過程;（3）該計(jì)數(shù)過程為平穩(wěn)增量過程；（4）在(t,t+t)內(nèi)，當(dāng) 時(shí)出現(xiàn)一個(gè)事件概率為 ；（5）在(t,t+t)內(nèi)，當(dāng) 時(shí)出現(xiàn)事件二次及二次以上的概率為 ；則稱該計(jì)數(shù)過程為泊松過程。定理7.14 泊松過程 在

6、時(shí)間間隔t0,t0+t內(nèi)n次出現(xiàn)事件A的概率為：證明：略。7.5.3 泊松過程的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望均方值與方差自相關(guān)函數(shù)獨(dú)立增量自協(xié)方差函數(shù)7.5.4 泊松過程的分布特性1. 各次事件間的時(shí)間間隔分布設(shè)X(t), t0是參數(shù)為的泊松過程, X(t)表示到t時(shí)刻為止事件A發(fā)生的次數(shù)。Wn表示第n次事件A發(fā)生的時(shí)間(n 1)，也稱為第n次事件A的等待時(shí)間, 或到達(dá)時(shí)間。Tn表示第n-1次事件A發(fā)生到第n次事件A發(fā)生的時(shí)間間隔。TnT3T2T1tW3W2W10Wn-1Wn時(shí)間間隔Tn的分布為：概率密度為：Tn的平均值：2. 等待時(shí)間分布21用Sn表示從時(shí)間t=0開始到達(dá)第n次事件出現(xiàn)所需要的時(shí)間稱為第

7、n次事件的等待時(shí)間。 分布函數(shù)：22 概率密度函數(shù)：3. 達(dá)到時(shí)間分布設(shè)泊松過程 ，如果已知在(0,t)內(nèi)有一個(gè)A事件出現(xiàn)，求這個(gè)以事件達(dá)到時(shí)間的條件分布，即：概率密度函數(shù)為：244. 有兩個(gè)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的泊松過程設(shè)泊松過程 ，這兩個(gè)過程的參數(shù)為1和2.設(shè) 代表第一個(gè)過程中出現(xiàn)第一次事件所需的時(shí)間。 代表第二過程中出現(xiàn)第一次事件所需的時(shí)間?，F(xiàn)在研究第一過程出現(xiàn)第一次事件先于第二過程出現(xiàn)第一次事件的概率，即 。5. 泊松過程設(shè)泊松過程 ，這兩個(gè)過程的參數(shù)為1和2.設(shè) 代表第一個(gè)過程中出現(xiàn)第k次事件所需的時(shí)間。 代表第二過程中出現(xiàn)第一次事件所需的時(shí)間?，F(xiàn)在研究第一過程出現(xiàn)第k次事件先于第二過程出現(xiàn)第一次事件的概率，即 。7.6 維納過程-布朗運(yùn)動(dòng)過程1.布朗運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)介英國植物學(xué)家布朗(Brown)在顯微鏡下,觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子,發(fā)現(xiàn)它們不斷地進(jìn)行著雜亂無章的運(yùn)動(dòng),這種現(xiàn)象稱為布朗運(yùn)動(dòng).愛因斯坦(Enisten)1905年提出一種理論,認(rèn)為微粒的這種運(yùn)動(dòng)是由于受到大量隨機(jī)的、相互獨(dú)立的分子碰撞的結(jié)果.布朗運(yùn)動(dòng)計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果n=100n=500n=1000n=5000n=10000n=500002.維納過程的數(shù)學(xué)模型則稱此過程為 維納過程。3.維納過程的特征維納過程增量的分布只與時(shí)間差有關(guān), 所以維納過程是齊次的獨(dú)立