2019-2021年高考數(shù)學(xué)（理）真題匯編——專題10 解三角形（教師版）

1、專題10 解三角形1.【2021全國(guó)高考真題(理)】魏晉時(shí)劉徽撰寫的海島算經(jīng)是關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高.如圖，點(diǎn)，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高( )A.表高B.表高C.表距D.表距【答案】A【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出.【詳解】如圖所示：由平面相似可知，而，所以，而，即.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出.2.【2021全國(guó)高考真題(理)】2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為

2、8848.86(單位：m)，三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為()( )A.346B.373C.446D.473【答案】B【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案.【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以.所以.因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所?故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長(zhǎng)度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為.3.【20

3、20年高考全國(guó)III卷理數(shù)】在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=A.B.C.D.【答案】A【解析】在中，根據(jù)余弦定理：，可得 ，即，由，故.故選：A.4.【2021全國(guó)高考真題(理)】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，則_.【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，解得(負(fù)值舍去).故答案為：.5.【2021浙江高考真題】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的

4、面積為，則_.【答案】25【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方形的邊長(zhǎng)為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.6.【2021浙江高考真題】在中，M是的中點(diǎn)，則_，_.【答案】 【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得(負(fù)值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.7.【2020年高考全國(guó)卷理數(shù)】如圖，在三棱錐PABC的平面展開圖中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，則cosFCB=_.【答案】【解析

5、】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8.【2019年高考全國(guó)卷理數(shù)】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的面積為_.【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得(舍去)，所以，【名師點(diǎn)睛】本題易錯(cuò)點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯(cuò)誤.解答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計(jì)算.本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計(jì)算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查.9.【2019年高考浙江卷】在中，點(diǎn)在

6、線段上，若，則_，_.【答案】，【解析】如圖，在中，由正弦定理有：，而，所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形問題，即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.在中應(yīng)用正弦定理，建立方程，進(jìn)而得解.解答解三角形問題，要注意充分利用圖形特征.10.【2021全國(guó)高考真題】記是內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，.已知，點(diǎn)在邊上，.(1)證明：；(2)若，求.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.(2)由題設(shè)，應(yīng)用余弦定理求、，又，可得，結(jié)合已知及余弦定理即可求.【詳解】(1)由題設(shè)，由正弦定理知：，即，又，得證.(2)由題意知：，同理，整理得，又

7、，整理得，解得或，由余弦定理知：，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，；綜上，.【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，根據(jù)余弦定理及得到的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求.11.【2021全國(guó)高考真題】在中，角、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、，.(1)若，求的面積；(2)是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，且.【分析】(1)由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；(2)分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】(1)因?yàn)?，則，則，故，所以，為銳角

8、，則，因此，；(2)顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，故.12.【2021北京高考真題】已知在中，.(1)求的大?。?2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度.；周長(zhǎng)為；面積為.【答案】(1)；(2)答案不唯一，具體見解析.【分析】(1)由正弦定理化邊為角即可求解；(2)若選擇：由正弦定理求解可得不存在；若選擇：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.【詳解】(1)，則由正弦定理可得，解得；(2)若選擇：由正弦定理結(jié)合(1)可得，

9、與矛盾，故這樣的不存在；若選擇：由(1)可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，則周長(zhǎng)，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：；若選擇：由(1)可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：.13.【2021浙江高考真題】設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在上的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；(2)由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】(1)由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期；(2)由題意，由可得，所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值.14.【2020年高考全國(guó)II卷

10、理數(shù)】中，sin2Asin2Bsin2C= sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知條件得，由余弦定理得，由，得.因?yàn)?，所?(2)由正弦定理及(1)得，從而，.故.又，所以當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值.15.【2020年高考江蘇】在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值；(2)在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值.【解析】(1)在中，因?yàn)?，由余弦定理，得，所?在中，由正弦定理，得，所以(2)在中，因?yàn)椋詾殁g角，而，所以為銳角.故則.因?yàn)?，所以?從而.【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，

11、屬于中檔題.16.【2020年高考天津】在中，角所對(duì)的邊分別為.已知.()求角的大小；()求的值；()求的值.【解析】()在中，由余弦定理及，有.又因?yàn)?，所?()在中，由正弦定理及，可得.()由及，可得，進(jìn)而.所以，.【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.17.【2020年高考北京】在中，再?gòu)臈l件、條件這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求：()a的值：()和的面積.條件：；條件：.注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】選擇條件()()由正弦定理得：選擇條件()由正弦定理得：()【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定

12、理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18.【2020年高考浙江】在銳角ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，C.已知.()求角B的大?。?)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.【解析】()由正弦定理得，故，由題意得.()由得，由是銳角三角形得.由得.故的取值范圍是.【點(diǎn)評(píng)】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求最值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.19.【2020年新高考全國(guó)卷】在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題

13、中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，_?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】方案一：選條件.由和余弦定理得.由及正弦定理得.于是，由此可得.由，解得.因此，選條件時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí).方案二：選條件.由和余弦定理得.由及正弦定理得.于是，由此可得，.由，所以.因此，選條件時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí).方案三：選條件.由和余弦定理得.由及正弦定理得.于是，由此可得.由，與矛盾.因此，選條件時(shí)問題中的三角形不存在.【點(diǎn)評(píng)】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)

14、邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.20.【2019年高考全國(guó)卷理數(shù)】的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè).(1)求A；(2)若，求sinC.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由已知得，故由正弦定理得.由余弦定理得.因?yàn)?，所?(2)由(1)知，由題設(shè)及正弦定理得，即，可得.由于，所以，故.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.21.

15、【2019年高考全國(guó)卷理數(shù)】ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若ABC為銳角三角形，且c=1，求ABC面積的取值范圍.【答案】(1)B=60；(2).【解析】(1)由題設(shè)及正弦定理得.因?yàn)閟inA0，所以.由，可得，故.因?yàn)?，故，因此B=60.(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積.由正弦定理得.由于ABC為銳角三角形，故0A90，0C90，由(1)知A+C=120，所以30C90，故，從而.因此，ABC面積的取值范圍是.【名師點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及正弦定理的使用(此題也可以用余弦定理求解)，最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用，考查的很全面，

16、是一道很好的考題.22.【2019年高考北京卷理數(shù)】在ABC中，a=3，bc=2，cosB=.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)由余弦定理，得.因?yàn)?，所?解得.所以.(2)由得.由正弦定理得.在中，B是鈍角，所以C為銳角.所以.所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.23.【2019年高考天津卷理數(shù)】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因?yàn)椋玫剑?由余弦

17、定理可得.(2)由(1)可得，從而，故.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力.24.【2019年高考江蘇卷】在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)若a=3c，b=，cosB=，求c的值；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)?，由余弦定理，得，?所以.(2)因?yàn)?，由正弦定理，得，所?從而，即，故.因?yàn)?，所以，從?因此.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.25.【2019年高考江蘇卷】

18、如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA.規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足)，測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12(單位：百米).(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由；(3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位：百米).求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離.【答案】(1)15(百米)；(2)見解析；(3)17+(百

19、米).【解析】解法一：(1)過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因?yàn)镻BAB，所以.所以.因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米).(2)若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)(除B，E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.若Q在D處，連結(jié)AD，由(1)知，從而，所以BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.(3)先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)OBP90時(shí)，在中，.由上可知，d15.再討論點(diǎn)Q的位置.由(2)知，要使得QA15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PBAB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d