2019-2021年高考數(shù)學(xué)（理）真題匯編——專題12 數(shù)列（教師版）

1、專題12 數(shù)列1.【2021北京高考真題】和是兩個等差數(shù)列，其中為常值，則( )A.B.C.D.【答案】B【分析】由已知條件求出的值，利用等差中項的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由已知條件可得，則，因此，.故選：B.2.【2021北京高考真題】數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，則的最大值為( )A.9B.10C.11D.12【答案】C【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式即可得解.【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，則，所以n的最大值為11.故選：C.3.【2021浙江高考真題】已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為

2、，則( )A.B.C.D.【答案】A【分析】顯然可知，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解.【詳解】因為，所以，.由，即根據(jù)累加法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由裂項求和法得：所以，即.故選：A.【點評】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得.4.【2021全國高考真題(理)】等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則( )A.甲是乙的充分條件但不是

3、必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】當(dāng)時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案.【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件.若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件.故選：B.【點評】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程.5.【2020年高考全國II卷理數(shù)】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層

4、，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關(guān)的計算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.6.【202

5、0年高考北京】在等差數(shù)列中，.記，則數(shù)列A.有最大項，有最小項 B.有最大項，無最小項C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題.7.【2020年高考浙江】已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差，且.記，下列等式不可能成立的是A.B.C.D.【答案】D【解析】對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性

6、質(zhì)，由可得，A正確；對于B，由題意可知，.，.根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對于C，當(dāng)時，C正確；對于D，.當(dāng)時，即；當(dāng)時，即，所以，D不正確.故選：D.【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.【2019年高考全國I卷理數(shù)】記為等差數(shù)列的前n項和.已知，則A.B.C.D.【答案】A【解析】由題知，解得，故選A.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素養(yǎng).利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，再適當(dāng)計算即可做了判斷.9.【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項

7、和為15，且，則A.16B.8C.4D.2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為，則，解得，故選C.【名師點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.10.【2019年高考浙江卷】設(shè)a，bR，數(shù)列an滿足a1=a，an+1=an2+b，則A. 當(dāng)B. 當(dāng)C. 當(dāng)D. 當(dāng)【答案】A【解析】當(dāng)b=0時，取a=0，則.當(dāng)時，令，即.則該方程，即必存在，使得，則一定存在，使得對任意成立，解方程，得，當(dāng)時，即時，總存在，使得，故C、D兩項均不正確.當(dāng)時，則，.()當(dāng)時，則， ，則， ，故A項正確.()當(dāng)時，令，則，所以，以此類推，所以，故B項不正確.故本題正確答案為A.【名

8、師點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.11.【2021全國高考真題】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_；如果對折次，那么_.【答案】5 【分析】(1)按對折列舉即可；(2)根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】(1)由對折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格(

9、單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，共5種不同規(guī)格；(2)由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120，第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)(1)的過程和結(jié)論，猜想為種(證明從略)，故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點評】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：(1)對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；(2)對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；(3)對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；(4)對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.12.【2020年

10、高考浙江】我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列.數(shù)列的前3項和是_.【答案】【解析】因為，所以.即.故答案為：.【點評】本題主要考查利用數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列中的項并求和，屬于容易題.13.【2020年高考江蘇】設(shè)an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列an+bn的前n項和，則d+q的值是 .【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項和公式為，等比數(shù)列的前項和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.故答案為：.【點評】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.14.【2020年

11、高考山東】將數(shù)列2n1與3n2的公共項從小到大排列得到數(shù)列an，則an的前n項和為_.【答案】【解析】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：.【點評】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.15.【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.若，則S5=_.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以.【名師點睛】準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求.

12、本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式的計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤.16.【2019年高考全國III卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，則_.【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因，所以，即，所以.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計算.滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.17.【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2=3，S5=10，則a5=_，Sn的最小值為_.【答案】 0，.【解析】等差數(shù)列中，得又，所以公差，由等差數(shù)列的性質(zhì)得時，時，大于0，所以的最小值為或，即為.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式求和公式等差數(shù)列的性質(zhì)，難度不

13、大，注重重要知識基礎(chǔ)知識基本運算能力的考查.18.【2019年高考江蘇卷】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是_.【答案】16【解析】由題意可得：，解得：，則.【名師點睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項公式、求和公式等，構(gòu)建方程(組)，如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.19.【2021浙江高考真題】已知數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求的范圍.【答案】(1)；(2).【分析】(1)由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；(2)由結(jié)合的結(jié)論，

14、利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時，當(dāng)時，由，得，得，又是首項為，公比為的等比數(shù)列，；(2)由，得，所以，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，得；時，得；所以.【點評】易錯點點睛：(1)已知求不要忽略情況；(2)恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負(fù)零討論，如(2)中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.20.【2021全國高考真題】記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求使成立的n的最小值.【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然

15、后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項公式為：.(2)由數(shù)列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點評】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.21.【2021北京高考真題】定義數(shù)列：對實數(shù)p，滿足：，；，.(1)對于前4項2，2，0，1的數(shù)列，可以是數(shù)列嗎？說明理由；(2)若是數(shù)列，

16、求的值；(3)是否存在p，使得存在數(shù)列，對？若存在，求出所有這樣的p；若不存在，說明理由.【答案】(1)不可以是數(shù)列；理由見解析；(2)；(3)存在；.【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)的值.【詳解】(1)由性質(zhì)結(jié)合題意可知，矛盾，故前4項的數(shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)，由性質(zhì)，因此或，或，若，由性質(zhì)可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因為或，所以或.若，則，不滿足，舍去.當(dāng)，則前四項為：0，0，0，1，下面用納法證明：當(dāng)時，

17、經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，當(dāng)時：若，則，利用性質(zhì)：，此時可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因為，有即當(dāng)時命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質(zhì)可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)列.由(2)可知：若；，因此，此時，滿足題意.【點評】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

18、22.【2021全國高考真題】已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，并求數(shù)列的通項公式；(2)求的前20項和.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可求的通項.(2)根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得的前項和為可化為，利用(1)的結(jié)果可求.【詳解】(1)由題設(shè)可得又， 故，即，即所以為等差數(shù)列，故.(2)設(shè)的前項和為，則，因為，所以.【點評】方法點睛：對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項的遞推關(guān)系或偶數(shù)項的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項公式、求和公式等來求解問題.23.【2021全國高考真題(理)】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面中選取兩個作為條件

19、，證明另外一個成立.數(shù)列是等差數(shù)列：數(shù)列是等差數(shù)列；.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【答案】答案見解析【分析】選作條件證明時，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；選作條件證明時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選作條件證明時，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列.【詳解】選作條件證明：設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，所以.選作條件證明：因為，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數(shù)列.選作條件證明：設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為，所以，解得或；當(dāng)時，當(dāng)時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當(dāng)時，

20、不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.【點評】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項法.24.【2021全國高考真題(理)】記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求的通項公式.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由已知得，且，取，得，由題意得，消積得到項的遞推關(guān)系，進而證明數(shù)列是等差數(shù)列；(2)由(1)可得的表達(dá)式，由此得到的表達(dá)式，然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】(1)由已知得，且，取，由得，由于為數(shù)列的前n項積，所以，所以，所以，由于所以，即，其中所以數(shù)列

21、是以為首項，以為公差等差數(shù)列；(2)由(1)可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n=1時，當(dāng)n2時，顯然對于n=1不成立，.【點評】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系，數(shù)列的前n項積與項的關(guān)系，其中由，得到，進而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前n項和，積與數(shù)列的項的關(guān)系，消和(積)得到項(或項的遞推關(guān)系)，或者消項得到和(積)的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法.25.【2020年高考全國卷理數(shù)】設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項.(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)設(shè)的公比為，由題設(shè)得 即.所以 解得(舍去)，.故的公比為.(2)設(shè)為的前n項和.由

22、(1)及題設(shè)可得，.所以，.可得 所以.26.【2020年高考全國III卷理數(shù)】設(shè)數(shù)列an滿足a1=3，.(1)計算a2，a3，猜想an的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列2nan的前n項和Sn.【解析】(1) 猜想 由已知可得，.因為，所以(2)由(1)得，所以. 從而. 得，所以 27.【2020年高考江蘇】已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn.設(shè)與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“k”數(shù)列.(1)若等差數(shù)列是“1”數(shù)列，求的值；(2)若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；(3)對于給定的，是否存在三個不同的數(shù)列為“3”數(shù)列，且？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由

23、.【解析】(1)因為等差數(shù)列是“1”數(shù)列，則，即，也即，此式對一切正整數(shù)n均成立.若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列矛盾.所以.(此時，任意首項為1的等差數(shù)列都是“11”數(shù)列)(2)因為數(shù)列是“”數(shù)列，所以，即.因為，所以，則.令，則，即.解得，即，也即，所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列.因為，所以.則(3)設(shè)各項非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，則，即.因為，而，所以，則.令，則，即.(*)若或，則(*)只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個.(此數(shù)列為1，0，0，0，)若，則(*)化為，因為，所以，則(*)只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個.(此數(shù)列為1，0，0，0，)若，則的兩根分別在(0，1)與(1

24、，+)內(nèi)，則方程(*)有兩個大于或等于1的解：其中一個為1，另一個大于1(記此解為t).所以或.由于數(shù)列從任何一項求其后一項均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列有無數(shù)多個，則對應(yīng)的有無數(shù)多個.綜上所述，能存在三個各項非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，的取值范圍是.28.【2020年高考山東】已知公比大于的等比數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)設(shè)的公比為.由題設(shè)得，.解得(舍去)，.由題設(shè)得.所以的通項公式為.(2)由題設(shè)及(1)知，且當(dāng)時，.所以.29.【2020年高考天津】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，.()求和的通項公式；()記的前項和為，求證：；()

25、對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和.【解析】()設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由，可得，從而的通項公式為.由，又，可得，解得，從而的通項公式為.()證明：由()可得，故，從而，所以.()解：當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.對任意的正整數(shù)，有，和. 由得. 由得，從而得.因此，.所以，數(shù)列的前項和為.30.【2020年高考浙江】已知數(shù)列an，bn，cn滿足.()若bn為等比數(shù)列，公比，且，求q的值及數(shù)列an的通項公式；()若bn為等差數(shù)列，公差，證明：.【解析】()由得，解得.由得.由得.()由得，所以， 由，得，因此.31.【2020年高考北京】已知是無窮數(shù)列.給出兩個性質(zhì)：對于中任意兩項，

26、在中都存在一項，使；對于中任意項，在中都存在兩項.使得.()若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)，說明理由；()若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)和性質(zhì)，說明理由；()若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)和性質(zhì)，證明：為等比數(shù)列.【解析】()不具有性質(zhì)；()具有性質(zhì)；具有性質(zhì)；()【解法一】首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項，設(shè)，第一種情況：若，即，由可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.第二種情況：若，由知存在實數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，由數(shù)列單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項

27、數(shù)同號.其次，證明：利用性質(zhì)：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列的前項成等比數(shù)列，不妨設(shè)，其中，(情況類似)由可得：存在整數(shù)，滿足，且 (*)由得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，由可得： (*)由(*)和(*)式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入(*)式，從而.總上可得，數(shù)列的通項公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.【解法二】假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，然后利用性質(zhì)：取，則，即數(shù)列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，否則，由數(shù)

28、列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當(dāng)數(shù)列中的項數(shù)均為負(fù)數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負(fù)，不會同時出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.【點評】本題主要考查數(shù)列的綜合運用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.32.【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列an和bn滿足a1=1，b1=0，.(1)證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式.【答案】(1)見解析；(2)，.【解析】(1)由題設(shè)得，即.又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列.由題設(shè)得，即.又因為a1b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)知，.所以，.【名師點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是