三角形中的解題誤區(qū)

1、PAGE PAGE 4湖北黃石十中：王宇剛郵箱： HYPERLINK mailto: 郵編：435000QQ：307789855地址：湖北省黃石市第十中學(xué)三 角 形 中 的 解 題 誤 區(qū)黃石十中：王宇剛同學(xué)們一定會(huì)有“會(huì)做的題做不對(duì)，能做的題做不全”的經(jīng)歷吧，這主要是因?yàn)闆]有深入地理解分類討論的思想。不會(huì)用分類討論的方法對(duì)一些問題進(jìn)行分析從而使一些問題不能完整地回答出來。下面我們先看一看幾位同學(xué)在作業(yè)中出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤，思考產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。探討不犯或少犯錯(cuò)誤的方法。例1：一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，最多有幾個(gè)角是銳角？【解題誤區(qū)】對(duì)三角形的內(nèi)角與外角的概念未能真正理解并加以區(qū)分，從而錯(cuò)誤地認(rèn)為三角

2、形的外角也與其內(nèi)角一樣，最多可有三個(gè)銳角.【正解】：三角形的每一個(gè)外角都與相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，當(dāng)相鄰的內(nèi)角是鈍角時(shí)，這個(gè)外角才是銳角.又三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是鈍角，三角形的三個(gè)外角中最多只有一個(gè)銳角.例2等腰三角形兩邊為4和5 ，則它的周長= 。.【解題誤區(qū)】本題是因?yàn)闂l件不明而應(yīng)該考慮用分類討論的思想進(jìn)行解題的，而大部分同學(xué)有先入為主的想法，一看到題就想到了4是表示腰長的，而5是表示底邊長的，所以只求出了一個(gè)解4+4+5=13。從而出現(xiàn)了漏解的情況。產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因是沒有弄清題意。在不知道“4”或“5”那一個(gè)表示的長度是腰的長度時(shí)應(yīng)該考慮兩種情況?！菊狻浚悍譃閮煞N情況：（1）當(dāng)4為等腰三

3、角形的一個(gè)腰長時(shí)，三角形的周長為4+4+5=13（2）當(dāng)5為等腰三角形的一個(gè)腰長時(shí)，三角形的周長為5+5+4=14。填空的答案為：13或14注意：值得注意的事對(duì)于有些題目，雖然我們考慮問題時(shí)要從兩個(gè)方面著手，但是由于三邊長還要滿足，兩邊之和大于第三邊，所以最終的結(jié)果還是一個(gè)解。例如：已經(jīng)等腰三角形的兩邊長分別是4、9則三角形的周長為： 。因?yàn)楫?dāng)4為腰長時(shí)，4+49，不能構(gòu)成三角形，所以腰長只能是9，周長為4+9+9=22例3、直角三角形三邊分別是3、4、X。則X的值為： 。【解題誤區(qū)】有些同學(xué)一看到直角三角形有兩邊分別是3、4，馬上就想到X的值為5。所以產(chǎn)生了一個(gè)錯(cuò)誤的答案。產(chǎn)生的原因是因?yàn)橥?/p>

4、學(xué)們有一種先入為主的想法。3、4、5組成一個(gè)直角三角形平時(shí)見得很多，但這僅是本題其中的一個(gè)答案。造成本題X有多個(gè)值的原因是：在題目的條件中并沒有規(guī)定那一邊是斜邊。這就造成了兩種可能性。一、可能是所求的X，是斜邊的長；二、可能是4是斜邊的長?！菊狻浚悍謨煞N情況：（1）當(dāng)X為斜邊時(shí)，X的值為5。（2）當(dāng)4為斜邊時(shí)，X的值為 eq r(7) 注意：有些同學(xué)可能想，按照老師的說法，也應(yīng)該有第三種可能性，即：3是斜邊的長。但是這種可能性顯然是不存在的，因?yàn)?比4小，不可能存在斜邊小于直角邊的長的情況。例4：等腰三角形一腰上的高與腰的比為 eq r(sdo1(),2)：2，則等腰三角形的頂角為 ?！窘忸}

5、誤區(qū)】題目并沒有畫出圖形來，同學(xué)們?cè)诮獯鸢笗r(shí)一定想到的就是第一種情況，僅僅只考慮到銳角的等腰三角形而沒有想到鈍角的等腰三角形。從而導(dǎo)致了答案漏解?！菊狻浚罕绢}分為兩種情況：（1）當(dāng)?shù)妊切螢閳D一中的形狀時(shí)，因?yàn)锽D：AB= eq r(sdo1(),2)：2，所以頂角為45。（2）當(dāng)?shù)妊切螢閳D二中的形狀時(shí)，因?yàn)锽D：AB= eq r(sdo1(),2)：2，所以頂角的度數(shù)為135。注意： 由于三角形的高有可能在圖形內(nèi)也有可能在圖形外面。對(duì)于等腰三角形來說也是這樣，從而導(dǎo)致了問題的條件不明而產(chǎn)生的多種情況，這樣就需要分別進(jìn)行討論。圖一圖二例5、叔叔家有一塊等腰三角形菜地，腰長為40m ，一

6、條筆直的水渠從菜地穿過這條水渠恰好垂直平分三角形的一腰，水渠過菜地部分的長為15m（水渠的寬不計(jì)）請(qǐng)你計(jì)算這塊等腰三角形菜地的面積?！窘忸}誤區(qū)】本題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，由于條件不明，不知道等腰三角形到底是銳角等腰三角形還是鈍角等腰三角形因此也要進(jìn)行分類討論，不能直接按銳角等腰三角形進(jìn)行計(jì)算。【正解】：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，過B 作BDAC (如圖一)RtAMN 中AN=20 MN=15 圖一圖二AM=25 而MNBD eq f(MN,BD) = eq f(AM,AB) eq f(15,BD) = eq f(25,40) BD=24SABC=4024 eq f(1,2)=480m2當(dāng)ABC

7、 為鈍角三角形時(shí)，（如圖二）RtMNC 中 MC= eq r(sdo1(),202+152)=25 而ADCMNC eq f(SADC,SCMN) = eq f(AC2,MC2)S7ADC=384SABC=768m2注意： 在實(shí)際應(yīng)用問題中的分類討論也是在條件不明的條件下展開的，他的現(xiàn)實(shí)意義是在條件不明時(shí)，算出會(huì)出現(xiàn)的幾種不同的可能性，做到心中有數(shù)。這也是學(xué)了數(shù)學(xué)與沒有學(xué)數(shù)學(xué)的人在實(shí)際問題的處理過程中的差別所在。例6、ABC 的邊BC上的高AD= eq r(sdo1(),3) AB=2 eq r(sdo1(),3) 則AC=2 = 1 * GB3 . 求BC 之長。 = 2 * GB3 若有一

8、正方形的一邊在AB上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在AC BC 上，求這個(gè)正方形的面積?！窘忸}誤區(qū)】本題并沒有畫出圖形，有些同學(xué)在思考本題的過程中，易想當(dāng)然地將圖形畫成一種特殊情況。這就難免會(huì)出現(xiàn)漏解的情況了?！菊狻浚?如圖一：當(dāng)D 在BC上時(shí) BC=4。此時(shí)ABC為Rt ,S正方形AEGF=12-6 eq r(sdo1(),3) 。當(dāng)D 在BC 的延長線時(shí)如圖二。BC=2 。S 正方形MNPQ= eq f(156-48 eq r(sdo1(),3),121)圖一圖二注意： 本題的實(shí)質(zhì)性問題：“就是已知三角形的兩邊長及第三邊上的高，不能確定唯一的三角形的問題。”在兩邊的長度和第三邊上的高長度一定時(shí)（如本題）會(huì)出現(xiàn)兩種不同的三角形，因?yàn)槿切尾煌?，從而?dǎo)致了它的內(nèi)截正方形的不同。綜上所述：出現(xiàn)在三角形類題目中的解題誤