第五章習題解答 受理想約束在滿足題意的

1、第五章習題解答5.1解 如題5.1.1圖桿受理想約束，在滿足題意的約束條件下桿的位置可由桿與水平方向夾角所唯一確定。桿的自由度為1，由平衡條件：即mgy =0變換方程y=2rcossin-= rsin2故代回式即因在約束下是任意的，要使上式成立必須有：rcos2-=0又由于 cos=故cos2= 代回式得5.2解 如題5.2.1圖三球受理想約束，球的位置可以由確定，自由度數為1，故。得由虛功原理 故因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須故又由 得： 由可得5.3解 如題5.3.1圖，在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。去掉繩代之以力T，且視為主動力后采用虛功原理，一確定便可

2、確定ABCD的位置。因此自由度數為1。選為廣義坐。由虛功原理：w又取變分得代入式得：化簡得設因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：由此得5.4解 自由度，質點位置為。由由已知得故約束方程聯立可求得或 又由于故或5.5解 如題5.5.1圖 按題意僅重力作用，為保守系。因為已知，故可認為自由度為1.選廣義坐標，在球面坐標系中，質點的動能：由于所以又由于故取Ox為零勢，體系勢能為：故力學體系的拉氏函數為：5.6解 如題5.6.1圖.平面運動，一個自由度.選廣義坐標為，廣義速度因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程在廣義力代入得：在極坐標系下：故 將以上各式代入式得5.7解 如題5.7.1圖又

3、由于所以取坐標原點為零勢面 拉氏函數代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得5.8解：如圖5.8.1圖.(1)由于細管以勻角速轉動，因此=可以認為質點的自由度為1.(2)取廣義坐標.(3)根據極坐標系中的動能取初始水平面為零勢能面，勢能:拉氏函數(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齊次方程的解.特解為故式的通解為在時： 聯立得將代回式可得方程的解為：5.9解 如題5.9.1圖.（1）按題意為保守力系，質點被約束在圓錐面內運動，故自有度數為2.（2）選廣義坐標，.（3）在柱坐標系中：以面為零勢能面，則：拉氏函數-（4）因為不顯含，所以為循環(huán)坐標，即常數對另一廣義坐標代入保守系拉氏方程有得所

4、以此質點的運動微分方程為（為常數）所以5.10解如題5.10.1圖.（1）體系自由度數為2.（2）選廣義坐標（3）質點的速度劈的速度故體系動能以面為零勢面，體系勢能：其中為劈勢能.拉氏函數（4）代入拉格郎日方程得：代入拉格郎日方程得聯立，得5.11 解 如題5.11.1圖（1）本系統(tǒng)內雖有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運動，自由度（2）選取廣義坐標（3）根據剛體力學其中繞質心轉動慣量選為零勢面，體系勢能：其中C為常數.拉氏函數(4)代入保守系拉氏方程得：對于物體，有5.12解 如題5.12.1圖. （1）棒作平面運動，一個約束，故自由度.（2）選廣義坐標（3）力學體系的動能根

5、據運動合成又故設為繞質心的回轉半徑，代入得動能（4）由（其中）則因為、在約束條件下任意且獨立，要使上式成立，必須：（5）代入一般形式的拉氏方程得：又代入一般形式的拉氏方程得：、兩式為運動微分方程（6）若擺動角很小，則，代入式得：，代入式得：又故代入式得：（因為角很小，故可略去項）5.13解 如題5.13.1圖(1)由于曲柄長度固定，自由度.(2)選廣義坐標，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：(3)系統(tǒng)動能（4）由定義式（5）代入得：得5.14.解 如題5.14.1圖. （1）因體系作平面平行運動，一個約束方程：(2)體系自由度，選廣義坐標.雖有摩擦，但不做功，為保守體系（3）體

6、系動能：輪平動動能輪質心轉動動能輪質心動能輪繞質心轉動動能.以地面為零勢面，體系勢能則保守系的拉氏函數(1)因為不顯含，得知為循環(huán)坐標.故=常數開始時：則代入得又時，所以5.15解 如題5.15.1圖（1）本系統(tǒng)作平面平行運動，干限制在球殼內運動，自由度；選廣義坐標，體系摩擦力不做功，為保守力系，故可用保守系拉氏方程證明（2）體系動能=球殼質心動能+球殼轉動動能+桿質心動能+桿繞中心轉動動能其中代入得以地面為零勢面，則勢能：（其中為常數）(3)因為是循環(huán)坐標，故常熟而代入式得聯立、可得（先由式兩邊求導，再與式聯立）試乘并積分得：又由于當5.16解 如題圖5.16.1.（1）由已知條件可得系統(tǒng)自

7、由度.（2）取廣義坐標.（3）根據剛體力學，體系動能：又將以上各式代入式得：設原點為零勢能點，所以體系勢能體系的拉氏函數(1)因為體系只有重力勢能做工，因而為保守系，故可采用代入式得即（5）解方程得5.17解 如題5.17.1圖（1）由題設知系統(tǒng)動能取軸為勢能零點，系統(tǒng)勢能拉氏函數（2）體系只有重力做功，為保守系，故可采用保守系拉氏方程.代入拉氏方程得：又代入上式得即同理又代入上式得令代入式得：欲使有非零解，則須有解得周期5.18解 如題5.18.1圖（1）系統(tǒng)自由度（2）取廣義坐標廣義速度（3）因為是微震動，體系動能：以為勢能零點，體系勢能拉氏函數（4）即同理同理設代入式得欲使有非零解，必須

8、解之又故可得周期5.19解 如題5.19.1圖（1）體系自由度（2）取廣義坐標廣義速度（3）體系動能體系勢能體系的拉氏函數（4）體系中只有彈力做功，體系為保守系，可用將以上各式代入式得：先求齊次方程設代入式得要使有非零，必須即又故通解為：其中又存在特解有式可得式中及為積分常數。5.20解：以速度我廣義速度，根據定義根據公式（5.5.10）又有得5.21解 取在轉動坐標系的速度為廣義速度，則在固定坐標系中的速度：，自由質點的動能，設質點勢能為，則質點的拉氏函數根據定義：在轉動坐標系中：上式中為質點的位矢，為質點相對于固定坐標系的速度。5.22解：取在廣義坐標根據教材（3.9.21）和（3.9.1

9、9）式得動能：勢能：根據定義式故因為所以為第一積分.又故得為第二個第一積分.同理即得為第三個第一積分.5.23解如題5.23.1圖, 由5.6題解得小球的動能根據定義得根據哈密頓函數的定義代入式后可求得:由正則方程得:代入得整理得5.24 如題5.24.1圖, 小球的位置可由確定,故自由度選廣義坐標,廣義速度.小球動能又由式得設小球勢能為V,取固定圓球中心O為零勢點,則小球拉氏函數=根據定義有根據正則方程對式兩邊求時間導得：故小球球心切向加速度5.25解根據第二章2.3的公式有：根據泊松括號的定義：所以同理可知：, 由得：同理可得：, 5.26解 由題5.25可知的表達式因為故同理可求得：即5

10、.27證取廣義坐標因為又因為所以5.28解 如題5.28.1圖(1)小環(huán)的位置可以由角唯一確定，因此體系的自由度，取廣義坐標，廣義速度。小球的動能：以為勢能零點，則小環(huán)勢能 所以拉氏函數 （2）由哈密頓原理故所以又由于所以因為是任意的，所以有被積式為0，即化簡得5.29解 參考5.23題，設，體系的拉氏函數根據哈密頓原理故因為所以又因為因為是任意的，所以有5.30解 如題5.30.1圖，復擺位置可由角度唯一確定，自由度，取廣義坐標，設為復擺重心與懸點之間的距離。復擺的動能：取為勢能零點，則勢能：復擺的拉氏量：由哈密頓原： 故又因為因為的任意性所以有： 根據已知很小，可求得：其中為初相位。周期5.31解如題5.31.1圖，參考題5.9，體系拉