19-2011任意角

1、第五章三角函數5.1任意角和弧度制5.1.1 任意角學習目標核心素養(yǎng)1.理解任意角的概念.1.通過終邊相同角的計算，培養(yǎng)數學運2 .掌握終邊相同角的含義及其表示.（重 點、難點）算素養(yǎng).2.借助任意角的終邊位置的確定，提3.掌握軸線角、象限角及區(qū)間角的表 示方法.（難點、易混點）升邏輯推理素養(yǎng).自主預習餐新加h新知初探一I.角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.角的表示如圖，（1）始邊：射線的起始位置 OA,（2）終邊：射線的終止位置 OB,（3）頂點：射線的端點O.這時，圖中的角a可記為“角/或”/ /或簡記為“.任意角的分類按旋轉方向分一條射級沒才

2、 泗任何旋磁 成的用、J*用定義.圖示按角的終邊位置分前提：角的頂點與原點重合,角的始邊與 x軸的非負半軸重合.分類：任意向箱的纜邊占第幾象限，則此色稱為 第幾壑限魚角的終邊在叁甌也上，則此痢不屬 于任何一個象限.終邊相同的角所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合S=gAa+k360, kCZ,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和.思考：終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎?提示：終邊相同的角不一定相等，它們相差360的整數倍；相等的角，終 邊相同.匚初試身X1.下列說法正確的是（）A.三角形的內角是第一象限角或第二象限角B.第四象限的角一定是負角C. 6

3、0角與600角是終邊相同的角D.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角為600D A錯誤，90。角既不是第一象限角也不是第二象限角;B錯誤，280。角是第四象限角，但它不是負角；C錯誤,600 60 = 540 不是360 的倍數;D正確，分針轉一周為60分鐘，轉過的角度為360,將分針撥慢是逆時1。針旋轉，撥慢10分鐘轉過的角為360 X6=60 .2. 50角的始邊與x軸的非負半軸重合，把終邊按順時針方向旋轉2周，所得角是. 670 由題意知，所得角是502M60= 670.3.已知0 a360,且a與600角終邊相同，則a=,它是第 象限角.2400三 因為600 = 360 +240,

4、所以240角與600角終邊相同，且0240 360,故 后240,它是第三象限角.合作探究。1是素養(yǎng)HEZutrr AN角的有關概念的判斷【例11給出下列說法：銳角都是第一象限角；第一象限角一定不是負角；小于180。的角是鈍角、直角或銳角；始邊和終邊重合的角是零角.其中正確說法的序號為。巴正確說法的序號都寫上).(2)已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與 x軸的非負半軸重合，作出下列 各角，并指出它們是第幾象限角.420 855.510.(1)銳角是大于0。且小于90。的角，終邊落在第一象限,是第一象限角，所以正確；一350。角是第一象限角，但它是負角，所以錯誤；0角是小于180。的角，但它既不

5、是鈍角，也不是直角或銳角，所以錯誤;360。角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以錯誤.(2)解作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：420。是第一象限角.8550是第二象限角.一5100是第三象限角.一故存方淞.理解角的概念的關鍵與技巧：(1)關鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可.象限角的判定方法：(1)在坐標系中畫出相應的角，觀察終邊的位置，確定象限.(2)第一步，將a寫成a= k360 + RkCZ,0y 氏360)的形式；第二步，判斷B的終邊所在的象限；第三步，根據B的終邊所在的象限，即可確定a的終邊所

6、在的象限.提醒：理解任意角這一概念時，要注意“旋轉方向”決定角的“正負”，“旋轉幅度”決定角的“絕對值大小”.。跟腺訓練.已知集合A=第一象限角, B=銳角, C = 小于90的角,則下面 關系正確的是()A. A=B = CB. A? CC. AAC=BD. BUC? CD 由已知得B丁C,所以BUC = C,故D正確.2.給出下列四個命題：一75是第四象限角；2250是第三象限角；475 是第二象限角；一315。是第一象限角.其中正確的命題有()A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個D -90-7500, 180 225 2700,360 + 90 475 360 +180, -3

7、60 - 315 - 270.所以這四個命題都是正確的.終邊相同的角的表示及應用1類型2/ 【例2】將885化為k 360 +40 V a360, kCZ)的形式是(2)寫出與 1 910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式一720 360的元素B寫出來.思路點撥(1)根據885與k 360 ； k Z的關系確定k.(2)先寫出與a終邊相同的角k 360+a, kZ,再由已知不等式確定k的可 能取值.(1)(-3)X360 + 195 885= 1 080 + 195= ( 3)M60+ 195.(2)解與 后 1 910終邊相同的角的集合為 k 360 -1 910 ； k Z.11.

8、720 0B 360 ,即一 720Vk 360 - 1 910 360 (k Z), 3無& k6(k Z),故取 k=4,5,6. 36k=4 時，片4X360 -1 910 = 470;k= 5 時，片5X360 -1 910 = 110;k= 6 時，片6X360 -1 910 =250.規(guī)律方法.在0到360范圍內找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角a化成k360 + B的形式(其中0 K 360, k Z),其中的B就是所求的角.(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是 負角時，采用連續(xù)加360的方式；當所給角是正角時，采用連續(xù)減36

9、0的方式， 直到所得結果達到要求為止.運用終邊相同的角的注意點所有與角a終邊相同的角，連同角a在內可以用式子k 360 + a, kCZ表小, 在運用時需注意以下四點：(1)k是整數，這個條件不能漏掉.2) a是任意角.(3)k360與 a之間用 “ + ” 連接，如 k 360 30應看成 k 360 +(-30 ), k Z.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍.提醒：表示終邊相同的角，k Z這一條件不能少.。跟蹤訓練.下面與一85012終邊相同的角是()A. 230 12B. 229 48C. 129 48D. 13012B 與

10、85012終邊相同的角可表示為 舊二85012 +k360kZ)，當 k=3 時，a= 850 12 + 1 080 =229 48.在一 360360之間找出所有與下列各角終邊相同的角，并判斷各角所 在的象限.790;20.解 . 790 =2X360 4 70 =3X360 -290 ；丁在一360360之間與它終邊相同的角是 70和一290,它們都是第一象 限的角.; 20 = 360 +340,在一360360之間與它終邊相同的角是一20和340,它們都是第四象 限的角.任意角終邊位置的確定和表示1類咽3， 探究問題.若射線OA的位置是k 3600+10, kCZ,射線OA繞點O逆時針

11、旋轉90 經過的區(qū)域為D,則終邊落在區(qū)域D(包括邊界)的角的集合應如何表示？提示：終邊落在區(qū)域D包括邊界的角的集合可表示為水360 +10 a k 360 +100, k Z.若角a與B的終邊關于x軸、y軸、原點、直線y=x對稱，則角a與B 分別具有怎樣的關系？提示：(1)關于X軸對稱：若角a與B的終邊關于X軸對稱，則角a與B的關 系是 B= a+ k 360, kCZ.(2)關于y軸對稱：若角a與B的終邊關于y軸對稱，則角a與B的關系是B = 180 a+ k 360, kCZ.(3)關于原點對稱：若角a與B的終邊關于原點對稱，則角a與B的關系是B = 180+ a+ k 360, kCZ.

12、(4)關于直線y=x對稱：若角a與B的終邊關于直線v= X對稱，則角a與B 的關系是片a+ 90 +k360, kCZ.【例3】(1)若a是第一象限角，則一 如()A.第一象限角C.第二象限角已知，如圖所示.B.第一、四象限角D.第二、四象限角分別寫出終邊落在OA, OB位置上的角的集合;寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.思路點撥(1)由曲范圍寫出2的范圍- CL-根據角終邊的又t稱性確定-2是第幾象限角|觀察圖形 一|確定終邊落在OA, OB位置上的角由小到大分別標出起始 和終止邊界對應的角加上360 的整數倍，得所求集合D 因為a是第一象限角，所以k 3600 a k 360 +

13、90, kZ,. a。所以 k 180 2k 180 +45 , k Z,所以視第一、三象限角，又因為一，2的終邊關于x軸對稱，a 一一 “所以一2是第二、四象限角.(2)解終邊落在OA位置上的角的集合為a|a= 90 + 45+k 360, kC Z = &a= 135 +k 360, k Z;終邊落在OB位置上的角的集合為&a= -30+k360, kCZ.由題干圖可知，陰影部分（包括邊界）的角的集合是由所有介于 30, 135 之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為 W 30 +k 360 a 135 +k 360, k Z.母題探究.若將本例（2）改為如圖所示的圖形，那么終

14、邊落在陰影部烝y分（包括邊界）的角的集合如何表示？R75日滉附解在0360范圍內，終邊落在陰影部分（包括邊界）的 一例了#角為60y 豚105與240 285,所以所有滿足題意的角B 余0，為米360 + 60& k 360 +105, k Z U 3k 360十240 Y k 360 +285, k Z= H2k 180 +60Y2k 180 + 105, k Z U 3（2k+1） 180 +60y 豚（2k+1） 180 + 105, kCZ=加 180 +60V K n 180+105, nCZ.故角B的取值集合為加180 +60yMn 180 +105, nCZ.若將本例（2）改為如

15、圖所示的圖形，那么陰影部分（包括邊界）表示的終邊相同的角的集合如何表示？飛盜界解在0。360范圍內，陰影部分（包括邊界）表示的范萬 ；圍可表示為：150 產225 ,則所有滿足條件的角B為 gk 360+150 v 產 k 360 +225, k Z.一塊和石溫 二Ar. !,.表示區(qū)間角的三個步驟：第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的一360 360。范圍內的角a和3寫出最簡區(qū)間x|Kx 6 ,其中0長360;第三步：起始、終止邊界對應角 內B再加上360。的整數倍，即得區(qū)間角集 合.次 . n a或n所在象限的判斷方法： 一 、一一 a(1)用不等式表小出角n a或n的氾圍; .一a ., 一 .(2)用旋轉的觀點確止角n a或居所在象限.例如：k120 ak 120 +30 , k Z.3jt . jfig fa cl由035+219,所以與2 019終邊相同的角是 219.已知角a的終邊在如圖陰影表示的范圍內(不包含邊界)，那么角a的集 合是.4TOR木360 + 45 a k 360 +150, kCZ觀察圖形可知，角a的集合是o|k 360 +45 oK k 360 +150, kCZ.在0。到360。范圍內，找出與下