2011年華南理工線性代數(shù)經典試題+解析

1、線性代數(shù)期終考試卷(五份)試卷1)填空題(每小題4分，共20分)(1)設 A= 0 2 2 ,則 AtA=1 111 5 51 5 14 O B ,1(2)在分塊矩陣A=中，已知B 、CC O1 .存在，則A1 2(3)設 A= 2 43 630 , B為三階非零矩陣，滿足9AB=O ,貝U r(B)=13)因為 rank(AB)=rank(A)+rank(B)-n ,而本題中 rank(AB)=0,rank(A)-2,所以 rank (B) =1/、升2(4)若14X=三次代數(shù)方程2)選擇題(每小題a11(1)設 a= a21a313分，共a12a22a32a13a23223X=08=015

2、分),B=的根是a21a11a31 a11a22a23a12a13a32a12a33a13Pi= 1(A)AP iP2=B(C)PiP2A=B(2)設A是三階矩陣,(B)AP2Pi=B(D)P2PiA=BA*是其轉置伴隨矩陣，又k為常數(shù)k 0, 1 ,則(kA)*=( B )(A)kA*(B)k 2A*(C)k3A*(D) 1 A*3若r(A)=r0）通過正交變化成標準型q=y2+2y22+5y32。試求：（1）參數(shù)a的值。（4分）（2）所用的正交變化矩陣 Q。（4分）（3）問q是否為正定二次型？為什么？ （4分）2 0 07） （1） a 2。提示：A 1 2 3,即 0 3a 1?2?5

3、10；0 a 3010Q -左0%； 1 2 0 1 2q為正定二次型，因為特征值全大于零。8)(共7分)已知n階矩陣A對任意n維向量x= Xi,X2,.,Xn T , y= yi,y2 ,.,yn T均有 xTAy=0。試證 A=O。8)解析：取 x q,y ej ,由 xTAy 0 可求得 a。0(i 1,2, ,n, j 1,2, , n)。二、試卷二1)填空題(每小題4分，共20分)(1)設A, B,C皆為n階矩陣，已知 det(I A) 0。若B IB C E (1)解析：因為 B I AB ,則 B(I-A)=I ,所以(I-A)=B -1。又 C A CA,則 C(I-A)=A

4、,所以有 CB-1=A, C=AB, B-C=B-AB=B(I-A)=I;(2)設A為三階非零矩陣，B211312 ,且(AB)t O,則 a 011 arank(A)=rank(A|B)3;rank(A|B)n-r,所以A是線性相關的。不滿足基礎解系的條件。排除。222(4)已知一次型fx1x2 5x32tx自2 2xx3 4x2x3是正定的，則t的范圍是(C )5 / 19(A) t 0(B) t 0 (C)(5)若n階矩陣A、B、C滿足AB(A) A C(C) r(AB) r(C)4-t 0 (D)5CB ,則必有（D ）o(B) B O(D)11A、B、C皆可逆，則，A Cax y z

5、 43) (9分)設線性方程組x by z 3x 2by z 4問a、b取何值時, 表達式。卜列方程組無解、有唯一解，有無限多組解，試寫出無限多組解的通解13）解析：a 1且b 0時，方程組有唯一解；b 0時，方程組無解；a 1且b 3時，方121程組無解；a 1且b =時，方程組有無窮多解，解為x 0 t 2 , （t R）。124)(9分)給定兩組向量，1, 2, 3；1, 2, 3其中1(1,0,-1) T,2 (2,1,D T,3 (1,1,1) T1(-1,0,0) T,2(-3,-1,-2) T,3(-1,0,-1)T(1)試證1, 2, 3及1, 2, 3分別線性無關；(2)設

6、A 1, 2, 3 , B 1, 2, 3 ,若有 A BC問C是否可逆？若可逆，求出 C4) (1)提?。鹤C 1, 2, 30, 1, 20;011_ 11 _(2) C A B=1321225) (9分)給出四個n維向量組(A)1 , 2 , 3 ； ( B)1 , 2, 3 , 4 ； ( C)(D)設已知組（A）與（B）的秩均為3,而組（C）的秩為4,試問向量組 什么？D）的秩等于多少？為5)因為 rank ( 1, 2, 3) =rank1 , 2, 3 , 4）=3；所以4可由1 , 2 , 3唯一線性6 / 19表示。設 4 i i 2 233；則 rank (1, 2, 3,

7、54 ) =rank(1, 2, 3, 5-1122-33）,經過列初等變換，等于 rank1 , 2, 3 , 5) =4。6） （9分）設二次曲面的方程axy 2 xz 2byz 1(a 0)x經正交變換 y Qz，化成22 2 2 1。求a、b的值及正交矩陣Q 。31 31 361 62 621 2 oQ1b,2 a案番1767） （9分）設A是一已知的n階矩陣，滿足A2A,試證2I A可逆，并求出（2I A）7)8).一1 A I解：（2I A） 1 .提示:2（6+6= 12分）計算行列式(2IA)(IA)2IA28)D4解：D4經過行初等變換等到xA4;(2)Dn=xA4;n=x1

8、)n 19）（8分）已知A是任一 n階方陣，試證:若有n維向量使Anx0 Anx2n 1則向重組x , Ax , A x , , A x必線性無關。 n 1n 1n 19)提示：用定義設1x* 2AxnA x 0,兩邊左乘An1,可得1A x 0,則10 ,兩邊左乘An 2 ,可得 2An1x*0 ,則 20 ,以此類推可得n 1 * 一i 0,(i 1,2, ,n),故 x ,Ax , ,A x 線性無關。7 / 19三、試卷三若不正確，在括號內填上“ X”(每1)判定下列命題是否 正確，若正確在括號內填上 題3分，共12分)(1)設A為三階實對稱陣，其特征值為1,2,3,則A為正定。設12

9、, 1,2,32, 2, 0 T，則 1, 23,為R3的一個基。(3)設A為m n階矩陣，1, 2k為Ax0的k個線性無關的解向量，12k F,是 Ax0的一個基礎解系。(4)若1, 2, 3線性相關，2, 3, 4線性無關，則4 一定不能由1, 2, 3線性表出。(V)3)因為任意一個解都可由1, 2, , k線性表示，但是題目中沒有說1, 2,卜是人* 0的所有線性無關的解，即kn-rank(k)時，并不能使任意一個解由 1, 2, , k來線性表示。123234123412344)因為 r( ,) r(A)+r(B)-n。(3)若 A則 PAP=a31(4)已知1坐標是(4)解析：(a

10、11a21a31a11a21a11a12a131, 2, 3都正交的全部3)4 =o,即O ,則 r(B)a22a32a13a23a33(1,3,2)a23a33a13a12a22a13a23a32a12a33 a13是R3的一組基,則向量4在這組基下的所以坐標為(1,3,2)(5)已知A是三階方陣，det A3,的行列式值為4) (3分X 5=15分)選擇題(1)n階矩陣A有n個不同的特征值是A.充分必要條件A與對角陣相似的(B )。B.充分但不是必要的條件12 / 19C.必要但不是充分的條件D.既非充分也不必要的條件A )。B.(A B)(A B) A2 B2(2)n階矩陣A、B,下列各

11、式中必成立的是(A. (A B)2 A2 AB BA B2C. (A B)2 A2 2AB B2D. (A B)2 A2 2AB B2設已知i, 2是m n線性方程組Axb(b 0)的兩個解，則(A. i 2是Ax 0的解B.是Ax b的解i 2是Ax b的解i - 2是Ax 0的解(4)若n階矩陣A,B均可逆，AXB=C,則(B )1111A. X ABCB.X A CBC.X CB 1A 1D. X B 1CA 1設1, 2是n階矩陣A的兩個特征值，其對應的特征向量分別是1,2,且已知12是A的特征向量12是A的特征向量12是A2的特征向量12不是A2的特征向量(5)解析，有條件得:A 1

12、1 1A222a2( 12)1= -2,A( 12 )A( 1 - 2 )1A(1 - 2 )1 ( 12 )即 11( 1 - 2)1( 12)2是A2的特征向量5)(12分)試對下列方程組討論參數(shù)取何值時無解，取何值時有解并在有解的情況下求出其 TOC o 1-5 h z 2x1 (4 k)x27解。(2 k)x1 2x232x1 5x2k 65)解析:13 / 1924-k-7r(A | b)2-k2-325k-60-1-k-1-k-k -33-k，若k -1,則25k-6r(A |b) 2 r(A),此時有唯一解,XiX21111；15若k -1,則r (A |b)01100 (1-k

13、)(k -12)2(k-2) 0 (k-11)(k -2),.x1- 5x1當k=1,有唯一解：；當k=12 ,有唯一解：X21X2當kw-1,1,12,方程組無解。6)(10分)試求三階正交矩陣Q,使正交變換 x=Qy能將二次型f X1,X2X32X22X1X3化成標準型。6)解析：det(X- E)=-(1+)( -1)2,所以特征值為1,21,3-1。當 =-1時，求得X的特征向量為產,。/)當 =1時，求得X的特征向量為2=(1,0,1)T, 3=(0，1，0)T；則正交矩陣Q11八022001。x Qy, f -y2 y y32o11.,22 01 a7)(10分)已知矩陣A= 14

14、33的特征方程有重根，試求出 a的一切可能值，并分別說明a取各可能值時 A能否對角化的理由0 a -7)解析：A I| (2- )01107 -101(2)( 2 810 a)7-若2是重根時，得a=2,可算得r(A-2I)=1,于是A對應于二重特征值 2的線性無關的特征 向量的個數(shù)應該為3- r(A-2I)=2,故A可對角化。若2不是重根時，得 a=6,得二重特征值為 4,由r(A-4I)=2,知n- r(A-4I)=1 ,故A不可 對角化。8) (4分+8分=12分)證明題:14 / 19(1)已知A是n階哥零陣，既存在正整數(shù)k ,使Ak=O,試證I-A是可逆陣，其中I是n階單位陣。(2)

15、設A,B分別是n n及n m矩陣(n m),已知 AB=B以及r(B)=n ,試證 A=I。8)解析：(1)Ak=O,設入是A的其中一個特征值，則入k也是Ak=O的特征值，而Ak=O,所以 入一定為零。所以 A的特征值全為零，I-A的全部特征值為1,故|I-A|=1,所以I-A可逆。(2)因為r(B)=n,所以B可逆，對AB=B ,兩邊同時右乘B-1,得到A=I。五、試卷五1)選擇題設A=A11A21A12A22為分塊矩陣，則AT = ( B(3分)(A)AiiA21A12A22A11(B)11TA12A21A22(C)A12A22A11A21(D)A21A11A22A12(2)已知向量組1,

16、2, 3,4線性無關,則下列向量組中線性無關的是(3分)A)2,(B)2,3,4,(C)2,3,4,(D)2,3,4,(2)解析:(1線性相關( 10，線性相關( 10，線性相關設A是m n階矩陣,Ax=0是非齊次線性方程組列結論正確的是(A)B)(C)D)若 Ax=0若 Ax=0 若 Ax=b 若 Ax=b解析：D )僅有零解，則有非零解，則Ax=b有唯一解Ax=b有無窮多解有無窮多解，則 Ax=0有無窮多解，則 Ax=0僅有零解有非零解Ax=b所對應的齊次線性方程組，則下(3分)A.Ax=b可能有唯一解，也有可能無解。15 / 19B.Ax=b可能有無窮多解，也有可能無解。(4) 1, 2

17、都是n階矩陣A的特征值，12,且 x1，x2分別是對應于2的特征向量,當(D )時，xk1x1k2x2必是A的特征向量。(3分)(A) k10 且 k20 (B)k10 且 k20(C) kik20(D) k1,k2中有且只有一個為零(4)解析:A和C明顯不對,B,對于不相等的特征值,x k1x1k2x2未必是A的特征向量，二對于同一特征值的則他們的任意線性組合都是A的特征向量(k1,k2,.kt 不全為零)二次型 f (x1,x2, x3) = 2x12 3xf 4x1 x210 x1 x312x2x3的秩是(C )(3分)(A)1(B) 2(C)3(D) 42)填空題已知四階行列式 D4,

18、則D的值為_中第三列元素依次為-1, 2, 0,1,它們的余子式分別為-155, 3, 7,(3分)(2)12A=,則與A可交換的所有二階方陣是11a 2cc a 2c(3分)(3)設4 4矩陣A=量,且已知行列式Aai(3)解:A值取是正定的。a2a3a,b1 b2 b3 b43 ,4B=4,B1,則A112122132122222331232233412432432,4其中2,4均為四維列向2時，二次型 f(x1,x2,x3)(5)已知一個二次多項式f(x),使得f (1)f(x)-，、2_ 一f(x) x 5x 3(40 )(3分)3)計算題(1)計算行列式D=a1a2a3a4b1 b2

19、 b3 b41112132122238*5 403132334143432x34x1x22x1 x3 2x2x31, f( 1) 9, f(2)16 / 193,則:(3分)(6分)14011 aa?(2)求 A=011 a20000001 an i an11an(6分)(1)解析:10D=xy00 TOC o 1-5 h z 100-x -y 02 2=x2y2。01100 -y(2)A=(-1)n0001 1 a1a2011 a2-10-1000-101000000100000=01001 an 1an000011an00010002n=(-1)2n=110000-100 -1(3)已知三

20、階矩陣A可對角化且特征值為1 , 1, 2,設矩陣 B=A3-5A2, (10分)試求：矩陣B的特征值；行列式 B及A 5I (I為三階單位陣)-4,-6,-12,A-5I 的特征值為-4, -6, -3,所以 |A-5I|=(-4)(-6)(-3)=-72.det(A3-5A 2)=det(A2(A-5I)=det(A 2)*det(A-5I)=-288 。1(4)已知6, 3, 3是三階實對稱矩陣A的三個特征值，向量 01兩個特征向量。求 A的屬于特征值6的特征向量；求矩陣A。12是屬于特征值3的1(10 分)1(4)解析：因為向量 012是屬于特征值3的兩個特征向量，且 012正交,1由

21、A對稱知A的屬于3的特征向量3必與 1 , 2 正交，設 3=(x1,x2,x3) T17 / 19-x1 0 x2 x3 0 x1 - 2x2 x3 0解得：3=C(1,1,1)T；將1, 2, 3單位化，得到1 = f-1,0,1)T,T1TdQ) , 3d1,1,1)。3則 Q 1, 2, 3 ,且QtAQ3634 1 1A Q 3 Qt 14 1。(5)求出向量組1,11,4, 22,1,3,5, 31, 1,3, 2, 431,5,6 的極大線性無關(8分)組，并把其余向量用極大線性無關組表出。10-3-1(5)解析. ( T T T T(5)用牛4小I 1,2, 3 , 42,所以最大線性無關組可以取0 TOC o 1-5