中考數(shù)學(xué)試題分類全集(04-10)7二次函數(shù)與三角形2s_第1頁
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文檔簡介

1、30:如圖14,拋物線與軸交于點(diǎn),點(diǎn),與直線相交于點(diǎn),點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn)1寫出直線的解析式2求的面積3假設(shè)點(diǎn)在線段上以每秒1個(gè)單位長度的速度從向運(yùn)動(dòng)不與重合,同時(shí),點(diǎn)在射線上以每秒2個(gè)單位長度的速度從向運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,請(qǐng)寫出的面積與的函數(shù)關(guān)系式,并求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí),的面積最大,最大面積是多少?30解:1在中,令xyABCEMDPNO,1分又點(diǎn)在上的解析式為2分2由,得 4分,5分6分3過點(diǎn)作于點(diǎn)7分8分由直線可得:在中,那么,9分10分11分此拋物線開口向下,當(dāng)時(shí),當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí),的面積到達(dá)最大,最大為12分1(1)如圖2,y2的圖象是拋物線的一局部,其頂點(diǎn)坐標(biāo)是4,12,求點(diǎn)P的速度

2、及AC的長;(2)在圖2中,點(diǎn)G是x軸正半軸上一點(diǎn)0OG6,過G作EF垂直于x軸,分別交y1、y2于點(diǎn)E、F說出線段EF的長在圖1中所表示的實(shí)際意義;當(dāng)0 x時(shí),求線段EF長的最大值解:EG2 4 6 8 10 12108642yOxF圖2G2 4 6 8 10 12108642yOx26.解:(1)方法一:,CP8kxk,CQx,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是4,12,解得那么點(diǎn)P的速度每秒厘米,AC12厘米方法二:觀察圖象知,當(dāng)x=4時(shí),PCQ面積為12此時(shí)PCACAP8k4k4k,CQ4由,得 解得那么點(diǎn)P的速度每秒厘米,AC12厘米方法三:設(shè)y2的圖象所在拋物線的解析式是圖象過0,0,4,12,8,

3、0, 解得 ,CP8kxk,CQx, 比擬得.那么點(diǎn)P的速度每秒厘米,AC12厘米(2)觀察圖象,知線段的長EFy2y1,表示PCQ與DCQ的面積差或PDQ面積由得 .方法二,EFy2y1,EF,二次項(xiàng)系數(shù)小于,在范圍,當(dāng)時(shí),最大附加題此題20分拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上,C點(diǎn)在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長是方程的兩個(gè)根.1求A、B 、C三點(diǎn)的坐標(biāo);2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出拋物線的大致圖象并標(biāo)明頂點(diǎn)坐標(biāo);3連AC、BC,假設(shè)點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與A、B不重合,過E作EFAC交BC于F,連CE,設(shè),的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變

4、量m的取值范圍.4在3的根底上說明S是否存在最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo),判斷此時(shí)的形狀;假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.附加題答案1方程 OB=2,OC=8 B2,0C0,8 函數(shù) A,0 即A,0B2,0C0,83分2B點(diǎn)在上 5分 函數(shù)解析式為 頂點(diǎn)坐標(biāo)為,大致圖象及頂點(diǎn)坐標(biāo)如右7分3AE=m,AB=8, OC=8,OA=6,據(jù)勾股定理得 ACEF, 即,10分 過F作FGAB于G 而,12分 S=SCEBSFEB= S與m的函數(shù)關(guān)系式為,m的取值為14分4中,S有最大值16分 , 當(dāng)m=4時(shí),S有最大值為818分 E點(diǎn)坐標(biāo)為:E,0 B2,0, E-,0 CE=CB BCE為等腰三角形20分2

5、6本小題8分如圖,OAB是邊長為的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在軸正方向上,將OAB 折疊,使點(diǎn)A落在邊OB上,記為A,折痕為EF.1當(dāng)AE/軸時(shí),求點(diǎn)A和E的坐標(biāo);2當(dāng)AE/軸,且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和E時(shí),求拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)A在OB上運(yùn)動(dòng),但不與點(diǎn)O、B重合時(shí),能否使AEF成為直角三角形?假設(shè)能,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);假設(shè)不能,請(qǐng)你說明理由.26(此題8分)1由可得A,OE=60o , A,E=AE由AE/軸,得OA,E是直角三角形,設(shè)A,的坐標(biāo)為0,bAE=A,E=,OE=2b所以b=1,A,、E的坐標(biāo)分別是0,1與,1 -3分因?yàn)锳,、E在拋物線上,所以所以,函數(shù)關(guān)系式為

6、由得與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是,0與,0-6分不可能使AEF成為直角三角形。FA,E=FAE=60o,假設(shè)AEF成為直角三角形,只能是A,EF=90o或A,F(xiàn)E=90o假設(shè)A,EF=90o,利用對(duì)稱性,那么AEF=90o, A,、E、A三點(diǎn)共線,O與A重合,與矛盾;同理假設(shè)A,F(xiàn)E=90o也不可能所以不能使AEF成為直角三角形。-8分.25本小題總分值10分如圖,在中,將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至,點(diǎn)的坐標(biāo)為0,41求點(diǎn)的坐標(biāo);2求過,三點(diǎn)的拋物線的解析式;3在2中的拋物線上是否存在點(diǎn),使以為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形?假設(shè)存在,求出所有點(diǎn)的坐標(biāo);假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由第25題24. (1)作B

7、Cx軸于C點(diǎn),ADx軸于D點(diǎn), A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為m,6、n,1,BC=1,OC=-n,OD=m,AD=6,又OAOB,易證CBODOA, ,=,mn=-6.(2)由1得,OA=mBO,又SAOB=10, OBOA=10,即OBOA=20,mBO2=20,又OB2=BC2+OC2=n2+1, m(n2+1)=20, mn=-6, m=2,n=-3, A坐標(biāo)為(2,6),B坐標(biāo)為(-3,1),易得拋物線解析式為y=-x2+10.(3)直線AB為y=x+4,且與y軸交于F0,4點(diǎn) ,OF=4,假設(shè)存在直線l交拋物線于P、Q兩點(diǎn),且使SPOF:SQOF=1:3,如下圖,那么有PF:FQ=1:3,作P

8、My軸于M點(diǎn),QNy軸于N點(diǎn),P在拋物線y=-x2+10上,設(shè)P坐標(biāo)為t,-t2+10,那么FM=-x2+10-4=-x2+6,易證PMFQNF, =,QN=3PM=-3t,NF=3MF=-3t2+18, ON=-3t2+14,Q點(diǎn)坐標(biāo)為-3t,3t2-14,Q點(diǎn)在拋物線y=-x2+10上,3t2-14=-9t2+10,解得t=-,P坐標(biāo)為(-,8),BACDFPQMNOQ坐標(biāo)為(3,-8), 易得直線PQ為y=-2x+4.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得直線PQ另解為y=2x+4。24此題總分值12分如圖8,在直角坐標(biāo)系中,為原點(diǎn)點(diǎn)在軸的正半軸上,點(diǎn)在軸的正半軸上,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),頂點(diǎn)為1求這個(gè)

9、二次函數(shù)的解析式;2將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)落到點(diǎn)的位置將上述二次函數(shù)圖象沿軸向上或向下平移后經(jīng)過點(diǎn)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式;3設(shè)2中平移后所得二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為,頂點(diǎn)為點(diǎn)在平移后的二次函數(shù)圖象上,且滿足的面積是面積的倍,求點(diǎn)的坐標(biāo)圖824解:1由題意,點(diǎn)的坐標(biāo)為,1分,即點(diǎn)的坐標(biāo)為2分又二次函數(shù)的圖象過點(diǎn),解得,1分所求二次函數(shù)的解析式為1分2由題意,可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,2分所求二次函數(shù)解析式為1分3由2,經(jīng)過平移后所得圖象是原二次函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位后所得的圖象,那么對(duì)稱軸直線不變,且1分點(diǎn)在平移后所得二次函數(shù)圖象上,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為在和中,邊上的高是邊上的高的倍當(dāng)點(diǎn)在

10、對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),得,點(diǎn)的坐標(biāo)為;當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè),同時(shí)在軸的右側(cè)時(shí),得,點(diǎn)的坐標(biāo)為;當(dāng)點(diǎn)在軸的左側(cè)時(shí),又,得舍去,所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或3分Pyx161將拋物線y12x2向右平移2個(gè)單位,得到拋物線y2的圖象,那么y2= ; 2如圖,P是拋物線y2對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線xt平行于y軸,分別與直線yx、拋物線y2交于點(diǎn)A、B假設(shè)ABP是以點(diǎn)A或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求滿足條件的t的值,那么t 28在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊,與軸交于點(diǎn),其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且過點(diǎn)和1求此二次函數(shù)的表達(dá)式;2假設(shè)直線與線段交于點(diǎn)不與點(diǎn)重合,那么是否存在這樣的直線,使得以為頂點(diǎn)

11、的三角形與相似?假設(shè)存在,求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo);假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由;yx11O3假設(shè)點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn),試比擬銳角與的大小不必證明,并寫出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍28解:1二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且過點(diǎn)和,由解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為2假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)不與點(diǎn)重合,使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似在中,令,那么由,解得yxBEAOCD令,得設(shè)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為要使或,已有,那么只需,或成立假設(shè)是,那么有而在中,由勾股定理,得解得負(fù)值舍去點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)

12、式為或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為,那么與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為此時(shí)易知,再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為假設(shè)是,那么有而在中,由勾股定理,得解得負(fù)值舍去點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為存在直線或與線段交于點(diǎn)不與點(diǎn)重合,使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似,且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或3設(shè)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,求得此直線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,并代入,得解得不合題意,舍去xBEAOCP點(diǎn)的坐標(biāo)為此時(shí),銳角又二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí),銳角;當(dāng)時(shí),銳角;當(dāng)時(shí),銳角25(12分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0

13、),連接OA,將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120,得到線段OB(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使BOC的周長最小?假設(shè)存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由;(4)如果點(diǎn)P是(2)中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且在x軸的下方,那么PAB是否有最大面積?假設(shè)有,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積;假設(shè)沒有,請(qǐng)說明理由AB(第25題圖)1O-1xy1(注意:此題中的結(jié)果均保存根號(hào))28.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,2),B(4,0),設(shè)P、Q分別是線段AB、OB上的動(dòng)點(diǎn),它們同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)

14、A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).(1)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)當(dāng)t為何值時(shí),OPQ為直角三角形?(3)在什么條件下,以RtOPQ的三個(gè)頂點(diǎn)能確定一條對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線?選擇一種情況,求出所確定的拋物線的解析式.28.解:(1)作PMy軸,PNx軸.OA=3,OB=4,AB=5.PMx軸,.PM=t.2分PNy軸,.PN=3-t.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,3-t). 4分(2)當(dāng)POQ=90時(shí),t=0,OPQ就是OAB,為直角三角形.5分當(dāng)OPQ=90時(shí),OPNPQN,PN2=ONNQ.(3-t)2=t(4-t-t).化簡,得19t2-34

15、t+15=0.解得t=1或t=.6分當(dāng)OQP=90時(shí),N、Q重合.4-t=t,t=.7分綜上所述,當(dāng)t=0,t=1,t=,t=時(shí),OPQ為直角三角形.8分(3)當(dāng)t=1或t=時(shí),即OPQ=90時(shí),以RtOPQ的三個(gè)頂點(diǎn)可以確定一條對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線.當(dāng)t=1時(shí),點(diǎn)P、Q、O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(,),Q(3,0),O(0,0).設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)(x-0),即y=a(x2-3x).將P(,)代入上式,得a=-.y=-(x2-3x).即y=-x2+x.12分說明:假設(shè)選擇t=時(shí),點(diǎn)P、Q、O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P(,),Q(,0),O(0,0).求得拋物線的解析式為y=-x2+x

16、,相應(yīng)給分.26本小題8分如圖,OAB是邊長為的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在軸正方向上,將OAB 折疊,使點(diǎn)A落在邊OB上,記為A,折痕為EF.1當(dāng)AE/軸時(shí),求點(diǎn)A和E的坐標(biāo);2當(dāng)AE/軸,且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和E時(shí),求拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)A在OB上運(yùn)動(dòng),但不與點(diǎn)O、B重合時(shí),能否使AEF成為直角三角形?假設(shè)能,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);假設(shè)不能,請(qǐng)你說明理由.26(此題8分)1由可得A,OE=60o , A,E=AE由AE/軸,得OA,E是直角三角形,設(shè)A,的坐標(biāo)為0,bAE=A,E=,OE=2b所以b=1,A,、E的坐標(biāo)分別是0,1與,1 -3分因?yàn)锳,、E在拋物線上,所以所以

17、,函數(shù)關(guān)系式為由得與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是,0與,0-6分不可能使AEF成為直角三角形。FA,E=FAE=60o,假設(shè)AEF成為直角三角形,只能是A,EF=90o或A,F(xiàn)E=90o假設(shè)A,EF=90o,利用對(duì)稱性,那么AEF=90o, A,、E、A三點(diǎn)共線,O與A重合,與矛盾;同理假設(shè)A,F(xiàn)E=90o也不可能所以不能使AEF成為直角三角形。-8分26本小題總分值12分如圖,直線與軸,軸分別相交于點(diǎn),點(diǎn),經(jīng)過兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一交點(diǎn)為,頂點(diǎn)為,且對(duì)稱軸是直線1求點(diǎn)的坐標(biāo);2求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;3連結(jié)請(qǐng)問在軸上是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似,假設(shè)存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);假設(shè)不存在,

18、請(qǐng)說明理由26 解:1直線與軸相交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為1分又拋物線過軸上的兩點(diǎn),且對(duì)稱軸為,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,點(diǎn)的坐標(biāo)為2分2過點(diǎn),易知,3分又拋物線過點(diǎn),4分解,得5分6分3連結(jié),由,得,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn),在中,由點(diǎn)易得,在等腰直角三角形中,由勾股定理,得7分假設(shè)在軸上存在點(diǎn),使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似當(dāng),時(shí),即,又,點(diǎn)與點(diǎn)重合,的坐標(biāo)是9分當(dāng),時(shí),即,的坐標(biāo)是11分點(diǎn)不可能在點(diǎn)右側(cè)的軸上無此判斷,亦不扣分綜上所述,在軸上存在兩點(diǎn),能使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似12分26(本小題總分值13分)如圖1,拋物線的頂點(diǎn)為A(O,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,D、E在軸上,

19、CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8(1)求此拋物線的解析式;(2)如圖2,假設(shè)P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn),連結(jié)PB并延長交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P、Q分別作軸的垂線,垂足分別為S、R求證:PBPS;判斷SBR的形狀;試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似,假設(shè)存在,請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置;假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由26.解:方法一:B點(diǎn)坐標(biāo)為(02),OB2,矩形CDEF面積為8,CF=4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,2)F點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)。設(shè)拋物線的解析式為其過三點(diǎn)A(0,1),C(-22),F(xiàn)(2,2)。得解這個(gè)方程組,得此拋物線的解析式為 (

20、3分)方法二: B點(diǎn)坐標(biāo)為(02),OB2,矩形CDEF面積為8,CF=4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,2)。 (1分) 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為。 其過點(diǎn)A(0,1)和C(-22) 解這個(gè)方程組,得 此拋物線解析式為(2)解:過點(diǎn)B作BN,垂足為N P點(diǎn)在拋物線y=十l上可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為 PS,OBNS2,BN。PN=PSNS= (5分) 在RtPNB中 PBPBPS (6分)根據(jù)同理可知BQQR。,又 ,同理SBP (7分). SBR為直角三角形 (8分) = 3 * GB3 方法一:設(shè),由知PSPBb,。 (9分)假設(shè)存在點(diǎn)M且MS,別MR 。假設(shè)使PSMMRQ,那么有。即。SR2M為SR的中點(diǎn).

21、 (11分)假設(shè)使PSMQRM,那么有。M點(diǎn)即為原點(diǎn)O。 綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)PSMMRQ;當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí),PSMMRQ (13分)方法二: 假設(shè)以P、S、M為頂點(diǎn)的三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)的三角形相似,有PSMMRQ和PSMQRM兩種情況。 當(dāng)PSMMRQ時(shí)SPMRMQ,SMPRQM 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)知PMS+QMR。 (9分) 取PQ中點(diǎn)為N連結(jié)MN那么MNPQ= (10分)MN為直角梯形SRQP的中位線,點(diǎn)M為SR的中點(diǎn) (11分)當(dāng)PSMQRM時(shí),又,即M點(diǎn)與O點(diǎn)重合。點(diǎn)M為原點(diǎn)O。綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí),PSMMRQ;當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí),PSMQRM (13分)如圖12,二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A和B,與y軸交于點(diǎn)C。求點(diǎn)C的坐標(biāo);假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),求二次函數(shù)的解析式;在(2)的條件下,在y軸上是否存在點(diǎn)P,使以P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似?假設(shè)存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由。25、本小題總分值10分 如圖,二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B點(diǎn)B在X軸的正半軸上,與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為D,直線DC的函數(shù)關(guān)系式為,又ta

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