福建省莆田市2021-2022學(xué)年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合A，則集合（ ）ABCD2已知集合，且、都是全集（為實(shí)數(shù)集）的子集，則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（ ）AB或CD3在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線

2、的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）ABCD4已知數(shù)列滿足：，則( )A16B25C28D335高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域?yàn)椋?）ABCD6在中，則 （ ）ABCD7已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）ABCiDi8已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，的大小關(guān)系為( )ABCD9 若數(shù)列滿足且，則使的的值為( )ABCD10若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（ ）A21B63C13D8411已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，側(cè)棱平面，過作平面與平行，設(shè)平面與平面的

3、交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個(gè)角的大小關(guān)系為( )ABCD12已知，若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)（ ）A有最大值，無(wú)最小值B有最大值，有最小值C無(wú)最大值，有最小值D無(wú)最大值，無(wú)最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量，滿足，則向量在的夾角為_.14有以下四個(gè)命題：在中，的充要條件是；函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)的充要條件是；對(duì)于函數(shù)，若，則必不是奇函數(shù)；函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.其中正確命題的序號(hào)為_.15已知，則_.16設(shè)函數(shù)，其中若存在唯一的整數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，已

4、知四邊形的直角梯形，BC，為線段的中點(diǎn)，平面，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）（1）若，（）求證：PC平面；（）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）否存在實(shí)數(shù)滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請(qǐng)說明理由18（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.19（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍20（12分）山東省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績(jī)將由3門統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組

5、成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語(yǔ)、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績(jī)采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個(gè)等級(jí)。參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比

6、例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).舉例說明.某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科C+等級(jí)的原始分分布區(qū)間為5869，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬C+等級(jí).而C+等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為6170，那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為x，69-6565-58=70-xx-61，求得x66.73.四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?7.（1）某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布N(60,1

7、22).（i）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，等級(jí)為B+，其所在原始分分布區(qū)間為8293，求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)；（ii）求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù)；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取4人，記X表示這4人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間61,80的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附：若隨機(jī)變量N(,2)，則P-+=0.682，P-2+2=0.954，P-3+3=0.997）21（12分）為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：甲公司

8、員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費(fèi)記為 (單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).2

9、2（10分）聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份20102012201420162018需求量（萬(wàn)噸）236246257276286（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份2014”為橫坐標(biāo)，“需求量”為縱坐標(biāo)，請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格：年份20140需求量2570（2）根據(jù)回歸直線方程分析，2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸，問是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： ，.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

10、只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】化簡(jiǎn)集合,，按交集定義，即可求解.【詳解】集合，則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為，根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合，根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知：陰影部分表示，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.3B【解析】根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k再把點(diǎn)代入，求得 k的值，可得要求的雙曲線的方程【詳解】雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k又

11、在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4C【解析】依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí)，n=2時(shí)，n=3時(shí)，n=4時(shí)，n=5時(shí)，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5B【解析】利用換元法化簡(jiǎn)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，令（），則（），函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，所以，所以，所以的值域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，

12、考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).6A【解析】先根據(jù)得到為的重心，從而，故可得，利用可得，故可計(jì)算的值【詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦?，所?所以,所以，因?yàn)?，所以，故選A【點(diǎn)睛】對(duì)于，一般地，如果為的重心，那么，反之，如果為平面上一點(diǎn)，且滿足，那么為的重心7B【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8C【解析】根據(jù)題意，得，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過第

13、一、二、四象限，所以，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，又，則|，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.9C【解析】因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C10B【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解【詳解】解：因?yàn)椋?，解可得，則故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11B【解析】利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由圖可知過且與平行的平面為

14、平面，所以直線即為直線，由題易知，的補(bǔ)角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，在中，；在中，；在中，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計(jì)算，考查了學(xué)生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).12B【解析】判斷直線與縱軸交點(diǎn)的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.【詳解】由，所以可得.，所以由，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖所示：由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】把平

15、方利用數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，考查向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14【解析】由三角形的正弦定理和邊角關(guān)系可判斷；由零點(diǎn)存在定理和二次函數(shù)的圖象可判斷；由，結(jié)合奇函數(shù)的定義，可判斷；由函數(shù)圖象對(duì)稱的特點(diǎn)可判斷【詳解】解：在中，故正確；函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，比如在存在零點(diǎn)，但是，故錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，若，滿足，但可能為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤； 函數(shù)與的圖象，可令，即，即有和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即對(duì)稱，故錯(cuò)誤故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和對(duì)稱性、奇偶性的判斷，考查判斷能力和推理能

16、力，屬于中檔題15【解析】由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得，的值，由兩角差的正弦公式即可計(jì)算得的值.【詳解】，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求解即可.【詳解】解：函數(shù),且畫出的圖象如下：因?yàn)?且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時(shí)無(wú)交點(diǎn),得；又,過定點(diǎn)又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時(shí),所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當(dāng)時(shí), 恒成立.綜上所述, 存在唯一的整數(shù)使得,此時(shí)故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參

17、數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點(diǎn)右邊的整數(shù)點(diǎn)中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時(shí)的不等式求的范圍.屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（）證明見解析（）（2）存在，【解析】（1）（i）連接交于點(diǎn)，連接，依題意易證四邊形為平行四邊形，從而有，由此能證明PC平面（ii）推導(dǎo)出，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（2）設(shè)，求出平面的法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）（）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以,因?yàn)椋砸驗(yàn)樗运倪呅螢槠叫兴倪呅嗡杂忠驗(yàn)?，所以又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面（）解：如圖，在平行四邊形中因?yàn)?，所?/p>

18、以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則，所以， 平面的法向量為設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則所以銳二面角的余弦值為（2）設(shè)所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，所以解得所以存在滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題二查線面平行的證明，考查銳二面角的余弦值的求法，考查滿足線面角的正弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系等知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.18（1）（2）【解析】（1）根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于，采用參變分離的方法分離出，并將的部分構(gòu)造成新函數(shù)，分析與最值之間的關(guān)系；

19、（2）通過對(duì)的導(dǎo)函數(shù)分析，確定有唯一零點(diǎn)，則就是的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，計(jì)算的值并利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而確定.【詳解】（1）由題意知， 在上恒成立，所以在上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）當(dāng)時(shí)，.則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.由于，所以存在滿足，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，因?yàn)椋?，所以，所?【點(diǎn)睛】（1）求函數(shù)中字母的范圍時(shí)，常用的方法有兩種：參變分離法、分類討論法；（2）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點(diǎn)時(shí)，需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨(dú)分析，以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間，再分析整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出函數(shù)的最值.19（1）答

20、案見解析（2）【解析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，對(duì)分成和兩種情況討論，從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，從而有，三個(gè)方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，從而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）由，則，當(dāng)時(shí)，則，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2），,由得，解得.設(shè)，則,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，.，即所求的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，求解雙元問題的常用思路是：通過換元或消元，將雙元問題轉(zhuǎn)化為單

21、元問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).20 (1)（i）83.;（ii）272.(2)見解析.【解析】（1）根據(jù)原始分?jǐn)?shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間，結(jié)合所給示例，即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)；根據(jù)正態(tài)分布滿足N60,122，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求得72,84內(nèi)的概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)即可求得在該區(qū)間的人數(shù)。（2）根據(jù)各等級(jí)人數(shù)所占比例可知在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25，由二項(xiàng)分布即可求得X的分布列及各情況下的概率，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式即可求解。【詳解】（1）（i）設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級(jí)分為x，93-8484-82=90-xx-81，求得x82.64.小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?3分；（ii）因?yàn)槲锢砜荚?/p>

22、原始分基本服從正態(tài)分布N60,122，所以P(7284)=P(6084)-P(6072)=12P(3684)-12P(4872)=120.954-0.682=0.136.所以物理原始分在區(qū)間72,84的人數(shù)為20000.136=272（人）；（2）由題意得，隨機(jī)抽取1人，其等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間61,80內(nèi)的概率為25，隨機(jī)抽取4人，則XB4,25.PX=0=354=81625，PX=1=C4125353=216625，PX=2=C42252352=216625，PX=3=C43253351=96625，PX=4=254=16625.X的分布列為X01234P816252166252166259662516625數(shù)學(xué)期望EX=425=85.【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法，分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，文字多，數(shù)據(jù)多，需要細(xì)心的分析和