江蘇省2019高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練高考附加題加分練(六)曲線與方程、拋物線

1、(六)曲線與方程、拋物線1.如圖，過拋物線y24x的焦點F作拋物線的兩條弦AB，CD，設(shè)直線AC與BD的交點為P，直線AC，BD分別與y軸交于M，N兩點得xB2，即Ba2，a，(1)求證：點P恒在拋物線的準線上；(2)求證：四邊形PMFN是平行四邊形證明(1)由題意知F(1,0)，不妨設(shè)A(a2,2a)，D(b2,2b)，a0，b0)過點(2,1)，直線l過點P(0，1)與拋物線C交于A，B兩點，點A關(guān)于y軸的對稱點為A，連結(jié)AB.(1)求拋物線C的標準方程；(2)問直線AB是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由解(1)將點(2,1)代入拋物線C的方程，得p2，所以拋物線C的標準方

2、程為x24y.(2)設(shè)直線l的方程為ykx1，又設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A(x1，y1)，y，由x24ykx1，得x24kx40，2則16k2160，x1,22x22x12y2y14xx14所以kAB2x2x1x1x24x2xx1(xx2)，于是直線AB的方程為y224x2x2x1x2x1(xx2)2所以yx1，3.如圖，已知定點R(0，3)，動點P，Q分別在x軸和y軸上移動，延長PQ至點M，使PQQM，且0.14k16k216，x1x24，x1x24k，4444當x0時，y1，所以直線AB過定點(0,1)PRPM21則由PRPM0，PQQM及R(0，3)，得(1)求動點M的軌

3、跡C1；(2)圓C2：x2(y1)21，過點(0,1)的直線l依次交C1于A，D兩點(從左到右)，交C2于B，C兩點(從左到右)，求證：ABCD為定值(1)解方法一設(shè)M(x，y)，P(x1,0)，Q(0，y2)，2xxx3y0，y1y1y，22112x11x，22化簡得x24y.1xy由PQQM，得P，0，Q0，.x3x所以PR，3，PM，y.所以動點M的軌跡C1是頂點在原點，開口向上的拋物線方法二設(shè)M(x，y)223223x3x由PRPM0，得，3，y0，即x23y0，化簡得x24y.(2)證明由題意，得ABCDABCD，C2的圓心即為拋物線C1的焦點F.2234所以動點M的軌跡C1是頂點在

4、原點，開口向上的拋物線設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則ABFAFBy111y1.同理CDy2.直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為ykx1，ykx1，聯(lián)立x24y，得x24kx40，所以x1,22所以ABCDABCDy1y2所以ABCD為定值1.4k16k216，所以x1x24k，x1x24，(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211，4.如圖，已知拋物線C：y24x的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)兩點，T為拋物線的準線與x軸的交點(1)若TATB1，求直線l的斜率；此時TATB0，與TATB1矛盾，(2)求ATF的最大值解(1)因為拋物線y24x的焦點為F(1,0)，T(1,0)，當lx軸時，A(1,2)，B(1，2)，所以可設(shè)直線l的方程為yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，4x1,22k2因為TATB1，所以(x11)(x21)y1y21，2k242k2424k4，2k24則x1x2k2，x1x21，1故y2y216x1x216，y1y24.將代入并整理，得k24，所以k2.(2)因為y1