函數(shù)的極值及其應(yīng)用

1、函數(shù)的極值及其應(yīng)用函數(shù)的極值及其應(yīng)用作 者：XXXXX指導老師：XX摘要：論述了函數(shù)的極值問題，討論了求函數(shù)極值的必要條件和充分條件, 通過例題分析了求函數(shù)的極值問題的具體步驟，并用實例展現(xiàn)了函數(shù)的極值在 解決實際問題中的重要作用.關(guān)鍵詞：函數(shù)的極值；函數(shù)極值的必要條件；函數(shù)極值的充分條件在日常生活、工程實踐和生產(chǎn)技術(shù)中，常會碰到這樣的問題：在 一定的條件下，怎樣才能用料最少而所生產(chǎn)的產(chǎn)品最多，或者成本最 低等.企業(yè)生產(chǎn)成本是影響企業(yè)利潤的一個重要因素，因此企業(yè)經(jīng)營 者為了獲得較高的利潤，必須在企業(yè)經(jīng)營中考慮如何最大限度地降低 生產(chǎn)成本.通常這類問題最后都歸結(jié)為一個數(shù)學問題，有些通過初等 方法

2、就能得到解決.例如，初等數(shù)學中的求極值的方法在這類問題的 解決中就有著極其廣泛的應(yīng)用.這些都是數(shù)學中的極值問題.同樣, 高等數(shù)學函數(shù)問題中，函數(shù)極值的求法與應(yīng)用也是一個值得深思的問 題.那么從哪些方面對高等數(shù)學中函數(shù)的極值問題進行研究呢?1 一元函數(shù)的極值問題及其應(yīng)用一元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)“X）在的一個鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于一%的 x恒有：/（戈）/伉），則稱/（凡）為函數(shù)的極大值，稱與為函數(shù)的極大 值點/（x）/（x0）,則/伉）稱為函數(shù)的極小值，稱X。為極小值點.函 數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為 函數(shù)的極值點少函數(shù)極值存在的條件函數(shù)極值存在的必要

3、條件設(shè)函數(shù)在點兒處可導，且在天處取得極值，那么/（x） = 0.由費馬定理川知：/，（x） = 0只是可導函數(shù)存在極值的必要條件.但第 3頁（共10 頁）不是充分條件，原因在于，如果/(%) = 0, X。并不一定是極值點.例 如，對于函數(shù)/(x) = V來說，r(O)= O,但是由于當x0時有/(x)0時，/(x)0,而/(0) = 0,所以x = 0不是它的極值點.使導數(shù) 等于零的點(即方程/(x) = 0的實根)叫做函數(shù)的駐點.據(jù)此可 知，導函數(shù)的極值點必定是它的駐點，而函數(shù)的駐點卻不一定是極值 點.此外，函數(shù)在它的導數(shù)不存在的點處也可能取得極值.例如，函 數(shù)f(x) = x在點x =

4、0處不可導，但函數(shù)在該點取得極小值.應(yīng)該注意的是：極值反映函數(shù)的局部性態(tài)，是一個局部概念.極 大值不一定大于極小值，極大(小)值不一定是區(qū)間上的最大(小) 值，但就極值點附近的范圍來說極大(小)值就是最大(小)值；區(qū) 間上的極值點可能有若干個.怎樣判定函數(shù)在駐點或不可導點處究竟是否取得極值？如果是, 究竟取得極大值還是極小值？下面給出兩個判定極值的充分條件. 1.2.2函數(shù)極值存在的充分條件函數(shù)極值的第一充分條件設(shè)函數(shù)/(工)在X。的一個鄰域內(nèi)可導，或者在點/處不可導但必須 連續(xù).若當在該鄰域內(nèi)X由小于與連續(xù)地變?yōu)榇笥赬。時，其導數(shù)八力 改變符號，則/(X。)為函數(shù)的極值，X。為函數(shù)的極值點.

5、若導函數(shù)/， 由正值變?yōu)樨撝?，則與為極大值點，/(%)為極大值：若導函數(shù)r(x)由 負值變?yōu)檎?，則/(X。)為極小值，X。為極小值點由此可知：如果/(X)在X。處可導且(小) = 0但/(X)在X。的兩側(cè)同 號，則與不是函數(shù)的極值點，/(X)在與處不取得極值.函數(shù)極值的第二充分條件設(shè)函數(shù)/(x)在X。處的二階導數(shù)存在，若/工0)= 0,且/(工)工0, 則X。是函數(shù)的極值點，/(%)為函數(shù)/(x)的極值，并且當廣(%)0 時，X。為極小值點，/(%)為極小值；當&)0時，X。為極大值點, /(%)為極大值叫這表明，如果函數(shù)/(X)在駐點X。處的二階導數(shù)(玉戶0,那么該 駐點一定是極值點，并且

6、可以按二階導數(shù)的符號來判定/(%)是 極大值還是極小值.但如果/“(/) = 0,上述結(jié)論就不能應(yīng)用.事實上, 當/缶)=0且/氣)=0時，/(x)在與處可能有極大值，也可能有極小值，也可能沒有極值.例如，fi（x）X4,f2（X）X4,f3（X）=x3這二個函數(shù)在 x 0處就分別屬于這三種情況因此， 如果函數(shù)在駐點處的二階導數(shù)為零，那么還得用一階導數(shù)在駐點左右鄰近的符號來判定用微分法求函數(shù)極值的理論依據(jù)定理1 （極值的必要條件）如果函數(shù)f X在點X0處可導，而且 在點X0處有極值（極大值或極小值）則必有 f X0 01.由定理 1 可知： 可導函數(shù)有極值點，則其極值點必是使其導函數(shù)值等于零的

7、點（即方程f X 0的實根） ；但反過來能使導函數(shù)值為零的點不一定是極值點例題例1當X為何值時函數(shù)f X 4X2 8x 1有極值，其極值如何？解 由題設(shè)條件知f X 8X 8， 令 f X 8X 8 0知 X0 1， 當 X 1時， f X 0；當 X 1 時， f X 0故X0 1是函數(shù) f X 4X2 8X 1的極小值點，且f 10例 2 求 f X 2X3 9X2 12X 3的極值解 對原函數(shù)求導數(shù)可得：f X 6X2 18X 12,f X 12X 18,令f X 0，則由6X2 18X 12 0，得到X1 1， X2 2由于當f X 0時原函數(shù)在X處取得極小值，當f x 0時原函數(shù)在X

8、處取極大值.將 X1 1代入得f 1 12 18 6 0，所以函數(shù)在X1 1處取得極大值，其值為 f 1 2； 將 X2 2代入得f 2 24 18 6 0， 所以函數(shù)在X2 2處取得極小值，其值為f 2 1 例 3 在廚房屋角有一個八尺深的方窖，現(xiàn)要利用窖的兩壁攔一角來做一個長方體形狀的煤倉，其容量是288立方尺，問如何做能最省材料解 設(shè)倉庫寬為x尺（x 0）,長為y尺（y 0）,則容量是8xy 288, 因為 X 0， y 0，這是一個關(guān)于兩個正數(shù)的函數(shù)問題，且Xy 36，兩正數(shù)之積為一定數(shù)，故當x y時，其和有極值，即x 6,y 6時，x y 最小.如果用S代表所用材料的面積，則S=8x

9、+y ,當x 6, y 6時, S最小最省材料.2 二元函數(shù)的極值問題及其應(yīng)用二元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)z f x,y在點xo,yo的鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于 xo,yo的點，如果都有f x, y f Xo,yo ,則稱f %)0為函數(shù)z f x,y 的極大值；如果都有f x, y f xo,yo ,則稱f xo,yo為函數(shù)z f x, y的 極小值；極大值和極小值統(tǒng)稱為二元函數(shù)z f x,y的極值；使二元函數(shù)z f x,y取得極大值的點或者極小值的點xo,yo ,稱為極大值點或者極小值點；極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點3 .二元函數(shù)極值存在的實例分析例4二元函數(shù)z 3x2 4y2在點0,

10、0處存在極小值.解 因為點0,0的任一鄰域內(nèi)異于0,0的點的函數(shù)值都為正， 而且在點0,0處的函數(shù)值為零.另外，從幾何圖形上看這是顯然的， 因為點0,0,0是開口向上的橢圓拋物面z 3x2 4y2的頂點.例5二元函數(shù)zJx2 y2在點0,0處存在極大值.解因為點0,0是位于xoy面下方的錐面z&一y2的頂點，所以二元函數(shù)zJx2 y2在點0,0處存在極大值.例6二元函數(shù)z xy在點0,0處不存在極值.解因為在點0,0處的函數(shù)值為零，而在點0,0的任一鄰域內(nèi)， 總有使函數(shù)值為正的點，也有使函數(shù)值為負的點，所以函數(shù) z xy在 點(0,0)處既不存在極大值也不存在極小值.二元函數(shù)極值存在的條件二元

11、函數(shù)極值存在的必要條件 TOC o 1-5 h z 設(shè)二元函數(shù)z f x, y在點x,y0處有極值，且兩個偏導數(shù)存在， 則在該點的偏導數(shù)必為零，即fx %,y0 0且fy x,y004.凡是能使 fx x0,y0 0且fy x0,y00 的點 x,y0 稱為二元函數(shù)的駐點.極值存在的必要條件說明，如果二元函數(shù)的兩個偏導數(shù)存在，則二元函數(shù)的極值點一定是駐點.但是二元函數(shù)的駐點不一定是極值點.例如，點0,0是函數(shù)z xy的駐點，因為fx 0,00且fy 0,00,但是函數(shù)z f x,y在點0,0不存在極值.與一元函數(shù)的情形相同，二元函數(shù)在偏導數(shù)不存在的點上也有可 能取得極值.例如，f(x,y) V

12、在原點沒有偏導數(shù)，但f(0,0) 0是 f的極小值.二元函數(shù)極值存在的充分條件設(shè)函數(shù)z f x,y在點X0,y0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且有二階連續(xù)的偏導數(shù)，有fx X0,y00且fy X0,yo0,記二階偏導數(shù)為fxx Xo,yoA,fxy X0, y0B , fyy X0,y0C ,B2 AC ,則函數(shù) z f x, y 在點 x, y處是否取得極值的條件如下5：(1)當0且A0時，函數(shù)zf x,y在點X0,y0處取得極大值；當0且A0時，函數(shù)zf x,y在點X0,y0處取得極小值；(3)當 0時，函數(shù)z f x,y在點X0,y0處不取得極值；(4)當 0時，函數(shù)z f x,y在點X0,y0處可能

13、取得極值，也可能不 取得極值6 .二元函數(shù)極值的實例分析及應(yīng)用例7求二元函數(shù)f x,yx3 4x2 2xy y2 1的極值.解根據(jù)題意：(1)首先求出二元函數(shù)f x,y的偏導：fx x,y 3x2 8x 2y , fy x,y 2x 2y , fxx x,y 6x 8 , fxy x, y 2, fyy x, y 2 .2然后解方程組：x x,y 3x 8x y 0,可得到駐點0,0和 fy x, y 2x 2y 0.(3)分析B2 AC的符號：當X0,y0,0時，有A 8, B 2,C 2 ,B2 AC 0 ；而當 X0,y02,2 時有，A 4 , B 2 , C 2 ,_ 2_ 一B2

14、AC 0 .(4)求二元函數(shù)的極值：綜合以上得出的結(jié)果可知二元函數(shù)在點0,0處取得極大值，在點2,2處不存在極值，即二元函數(shù)的極大值 是 f 0,01 .例8求二元函數(shù)f x,yx3 y3 3x2+3y2 9x的極值.解根據(jù)題意：首 先 求 出 二 元 函 數(shù) 的 偏 導 數(shù) fx(x, y)3x2 6x 9, fy(x, y) TOC o 1-5 h z 3y2 6y， fxx(x,y) 6x 6， fxy(x,y) 0， fyy(x,y)6y 62f x y 3x 6x 9 0然后解方程組fx x,y 3x 2 6x 9 0，可以得到駐點1,0 及fy x, y 3y2 6y 01,2 ，

15、3,0 ，3,2 (3)判斷B2-AC的符號：當Xo,yo1,0時，因為A 12,且B 0,C 6， 所以B2 AC 0； 當x0, y01,2 時， 因為 A 12， 而且 B 0，C6，所以B2 AC0； 當 x0, y03,0 時， 因為 A 12， 且 B 0，C 6，所以B2 AC 0；當x0,y03,2 時，因為A 12， B 0，C6 ，所以B 2 AC0分析極值：在點1,0 處，因為B2 AC 0且 A 0，所以二元函數(shù)在點1,0 處可以取得極小值，并且極小值為f 1,05；但是，在點 1,2 處， B2 AC 0， 所以二元函數(shù)在點1,2 處不能取得極值；在點 3,0 處，B

16、2 AC 0， 所以二元函數(shù)在點3,0 處不取得極值；在點 3,2 處，B2 AC 0且 A 0， 所以二元函數(shù)在點3,2 處取得極大值，且極大值為f 3,2 31根據(jù)以上例題可以總結(jié)出求二元函數(shù)極值的一般步驟：首先求偏導數(shù)fx x, y ， fy x,y ，fxx x, y ，fxy x, y ， fyy x,y ；然后解方程組fx x,y 0，求出駐點x0, y0 ；fy x, y 0 求出二元函數(shù)在駐點(Xo,yo)處，fxy Xo,yoB, fyy Xo,yoC的值并確定 B2 AC 的符號，據(jù)此判定出極值點；(4) 求出二元函數(shù)的極大值或者極小值2.5 二元函數(shù)極值的高階判別法現(xiàn)在單

17、變量函數(shù)的極值的識別已建立起了n階判別法，至于兩個變量函數(shù)極值的識別(非條件極值)，有以下兩個結(jié)論7：結(jié)論1(一階判別法)設(shè)fx,y 在點P0 x0,y0處偏導數(shù)存在，且fxP0，fyP0中有一個不是0，則fP0非極值結(jié)論2(二階判別法)設(shè)fx,y 在點P0 x0,y0某鄰域內(nèi)有二階連2續(xù)偏導數(shù)，且fxP0fyP00,記 B2 ACfxyP0fxxP0fyyP0,則有下列結(jié)論8:(1)若 0, f P)是極值，且當A 0時，f P0是極大值，而當A 0 時，f P0是極小值.若 0, f P)非極值.(3)若 0, f R是否為極值無法判別.上述結(jié)論的確很有用，但也存在著明顯的局限性，有時它們

18、對某 些極簡單的函數(shù)的極值均無法做出判斷. 例如，當f X在P0點的一階 偏導數(shù)、二階偏導數(shù)全都為零時(此時上述結(jié)論均失效)，如何判斷 f(p0)是否為函數(shù)的極值，顯然我們只能借助于更高階的偏導數(shù)了.現(xiàn) 給出以下定理作進一步的判斷.定理2設(shè)f x,y在點P0 X0,y0的某個鄰域內(nèi)有三階連續(xù)偏導 數(shù)，且在點P0 %,y。的一階、二階偏導數(shù)全為0；如果f P0是極值， 則在點P。x0,y。處的三階偏導數(shù)必全為09.定理3 (2n 1階判別法)設(shè)f x,y在點P0 x0,y0的某個鄰域內(nèi)有 2n 1(n 0,1,2,)階的連續(xù)偏導數(shù)，且函數(shù)f x,y在點P x0,y0處的K 階K 1,2，,2n偏

19、導數(shù)全為0；如果函數(shù)f x,y在點R %,丫0處的 2n 1階偏導數(shù)中有一個不為0,則f P0非極值.3利用函數(shù)極值解決實際問題例9琵琶是莆田名果之一，某果園有100棵枇杷樹，每棵平均 產(chǎn)量為40千克，先準備多種一批枇杷樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種 樹，那么樹與樹之間的距離和每一棵樹接受的陽光就會減少，根據(jù)實踐經(jīng)驗，每多種一棵樹，投產(chǎn)后果園中所有的枇杷樹平均每棵就會減 少產(chǎn)量0.25千克，問：增加多少棵枇杷樹，投產(chǎn)后可使果園琵琶的總 產(chǎn)量最多？最多總產(chǎn)量是多少千克？解 設(shè)增種x棵樹，則可知：果園共有樹(100 x)棵，每棵樹平均 產(chǎn)量為(40 0.25x)千克，果園琵琶的總產(chǎn)量為y千克.依題意可

20、得到： y (100 x)(40 0.25x) 4000 25x 40 x 0.25x2= 0.25x2 15x 4000,因為 a 0.25 0,所以當x-b1530時，y有最大值，且其最大值2a 2 0.25為:ymax24ac b4225 .例10給定正數(shù)p,q,r使2P q r,q r證明:qqr證明假設(shè)q與r都是正整數(shù)，并考察q個數(shù)二，1 q q由算術(shù)平均與幾何平均不等式，有:111q7-q q r1q rqq r221q rp,即是卸1,這就是要證明的不等式.4a但是當q或r中至少有一個是非正整數(shù)時，上述方法是不能直接運用的.我們可以按下述方法來分析此種情況如何證明， 將原不等式

21、改寫成：pq rqqqq令x，與yq rx,y 1,則問題歸結(jié)為證明：F xxx 1 x11當且僅當0 x 1且x式構(gòu)造出函數(shù)，就可以采用數(shù)學分析的方法處理此問題,-.依照此方2其基本思想便是尋求F x在0,1上的極小值，為了取導數(shù)簡單起見，考察函數(shù)G x LnF x ,為了求得原函數(shù)的駐點，對原函數(shù)進行求導：G xd ,，,，,，,，,xxLnx1x Ln 1x Lnx11Ln 1x Lndx1 x,很明顯可以看出 G x 0,當且僅當x 1,進而可以知道，在0,-上，G x 0, 2而在區(qū)間1,1上，G x 0,故G x在x 處能取得極小值.因為 TOC o 1-5 h z iii i_i

22、 ._1 2 i2 i 2 i 2 i 所以Fx T 這樣便證明了 xx i0,i且x i ,由此，獲得上述所需證明的 22222q r 不等式乜 q r求多元函數(shù)的極值，一般可以利用偏導數(shù)來解決.與一元函數(shù)類 似，可以利用函數(shù)的極大值、極小值求解函數(shù)的最大值、最小值，但 是由于自變量個數(shù)的增加，應(yīng)特別注意概念中的一些變化和計算. 對 于二元以上的函數(shù)極值問題可類似的加以解決， 如可以將二元函數(shù)極 值問題的理論推廣到多元函數(shù)的情形，以及利用泰勒公式推導出判斷 多元函數(shù)極值存在的充分條件、極值不存在的必要條件等i0.4結(jié)語文章主要對一元函數(shù)、二元函數(shù)極值的定義、判定方法及解題步 驟進行了系統(tǒng)的歸

23、納總結(jié)，并通過實例把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題， 構(gòu)造目標函數(shù)，進而具體應(yīng)用函數(shù)的極值來解決問題. 但文章只給出 了解決高等數(shù)學中一般函數(shù)極值問題方法，對于函數(shù)的條件極值問 題，隱函數(shù)的極值問題等并未涉及，仍需進一步完善.參考文獻i華東師大數(shù)學系.數(shù)學分析M.北京：高等教育出版社，2000.2盛祥耀.高等數(shù)學M.北京：高等教育出版社，2005.3陳傳璋.數(shù)學分析M.北京：北京教育出版社，2002.4孫靜，楊文杰.關(guān)于fxxfyy fxy2 0時函數(shù)f 的極值的一個注記J遼 寧工學院學報.2004 , 24(3) : 66-68.5王建梅，張春荀.二元函數(shù)極值充分條件的評注J.工科數(shù)學，2002, i8(6): ii7-i2i.林國周 .