按年齡分組的人口模型

1、按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型一一Leslie模型 種群直接通過(guò)雌 性個(gè)體的繁殖而增長(zhǎng)的，所以用雌性個(gè)體數(shù)量的變化為研究對(duì)象比較 方便。下面提到的種群數(shù)量均指其中的雌性，總體數(shù)量可按照一定的 性別比算出。將種群按年齡大小等間隔地分成n個(gè)年齡組，如每1歲或5歲為 1組。與之相對(duì)應(yīng)，時(shí)間也分成與年齡組區(qū)間大小相等的時(shí)段，如1 年或5年為一個(gè)時(shí)段。記時(shí)段k第i年齡組的種群數(shù)量為 x.(k),k=0,1,2 ，i=1，2，3，4， ，n。在穩(wěn)定的環(huán)境下和不太長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，合理地假設(shè)種群的繁殖率和 死亡率不隨時(shí)段k變化，只與年齡組有關(guān)。記第i年齡組的繁殖率為 b.，即每個(gè)(雌性)個(gè)體在1個(gè)時(shí)段內(nèi)繁殖的數(shù)量；記第

2、i年齡組的 死亡率為d.，即1個(gè)時(shí)段內(nèi)死亡數(shù)量(占總量)的比例o si=1-di稱為 存活率。通常，和s.可由統(tǒng)計(jì)資料獲得，且有以下性質(zhì)：=0，i=1，2，3，n，且至少有一個(gè)b.0； 0s.=1,i=1，2， 3， ，n-1o種群數(shù)量x.(k)的變化規(guī)律由2個(gè)基本關(guān)系得到：時(shí)段k+1第1 年齡組的數(shù)量是各年齡組在時(shí)段k的繁殖數(shù)量之和；時(shí)段k+1第i+1 年齡組(i=1，2,，n-1)的數(shù)量是時(shí)段k第i年齡組存活下來(lái) 的數(shù)量，由此得到x1 (k+1)=況 b x(k),k=0，1，2， (1)i =1x.+1(k+1)=s.x.(k)，k=0， 1，2， ，i=1，2， ，n-1 (2)(1)

3、，(2)是差分方程組，記種群數(shù)量在時(shí)段k按照年齡組的分布向量為x(k) = (x1(k),駕(k),xn(k)T,k=0, 1, 2 (3)由繁殖率q和存活率椿構(gòu)成的矩陣 x(k)limk s入k 1七i b000 0b b1 2s 012L = 0 s0 0 s 1 0則(1), (2)可表為x(k+1)=Lx(k), k=0, 1, 2 (5)當(dāng)矩陣L和按年齡組的初始分布x(0)已知時(shí)，可以預(yù)測(cè)種群數(shù)量在 時(shí)間段k按年齡組的分布為x(k)=Lkx(0)，k=1，2， (6)有了 x(k)，不難算出種群在時(shí)段k的總數(shù)。顯然，種群數(shù)量的變化規(guī)律完全由矩陣L確定，這個(gè)矩陣是20 世紀(jì)40年代由L

4、eslie提出的，稱Leslie矩陣(簡(jiǎn)稱L矩陣)，由(3) -(5)給出的模型稱Leslie模型。Leslie模型的穩(wěn)態(tài)分析 下面研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后(即kf8)， 種群的年齡結(jié)構(gòu)和數(shù)量的變化。首先不加證明的敘述關(guān)于L矩陣的兩個(gè)定理。定理1 L矩陣有惟一的單重正特征根尢和正特征向量 TOC o 1-5 h z x*=1,s1/人 1, ss2/A 12,s1s2sn /A 1n-it(7)其他特征根 k滿足A |1時(shí)種群各年齡組的數(shù)量遞增，A 11時(shí)種群數(shù)量增長(zhǎng)，R1時(shí)種群數(shù)量減少。 對(duì)于人工飼養(yǎng)的動(dòng)物，可以調(diào)節(jié)各年齡組的繁殖率bi和存活率si來(lái) 改變總和繁殖率R按年齡分組的人口模型 按照Le

5、slie模型的基本思路，將考慮 年齡結(jié)構(gòu)和生育模式的連續(xù)型人口模型離散化，即可得到離散形式的 人口模型，這里不考慮遷移等社會(huì)因素的影響。用xi（t）表示第t年i歲（指滿i歲但不到i+1歲）的總?cè)藬?shù)，t=0, 1，2，i=0, 1，2，n-1 （設(shè)n為最高年齡），b （t）i表示第t年第i歲女性生育率（每位女性平均生育的嬰兒數(shù)），育齡 區(qū)間為i1, i2。簡(jiǎn)化地假設(shè)女性比與時(shí)間無(wú)關(guān)，用匕表示i歲人口 的女性比，于是第t年出生的嬰兒數(shù)為f(t)= b (t) kx (t)(18)i i ii=i1引入生育模式,將bi(t)分解為bi(t)= p(t)%，h=1(19)i=i1這里簡(jiǎn)化地假設(shè)生育模式

6、只與年齡有關(guān)，其具體形式可取連續(xù)型人口模型給出的r分布。由(18)，(19)式有f(t)邛(t)hkx(t)(20)iiii=i1p(t) = bt)(21)i=i1p (t)是第t年所有孕齡女性平均生育的嬰兒數(shù)，若女性在整個(gè)孕齡期 內(nèi)保持生育率不變，則p(t)就是第t年i1歲的每位女性一生平均生育 的嬰兒數(shù)，即總和生育率(簡(jiǎn)稱生育率)或生育胎次，是控制人口數(shù) 量的主要參數(shù)。簡(jiǎn)化地假設(shè)死亡率與時(shí)間無(wú)關(guān)，記i歲人口的死亡率為牛 存活率為 si=1-di,i=0，1，2，n-1，則Xi+1 (t+1)=SiXi (t)，t=0,1,2,i=1,2,n-1(22)而xi(t+1)是第t年出生的嬰兒中

7、存活下來(lái)的數(shù)量，即s0f(t)(這里f(t)=x(t)，于是0 x(t+1)= p (t) rx (t)，r =shk(23)1八/ i 廣， i 0 i ii=i1引入按年齡分組的人口分布向量 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark29 o Current Document x(t) = x.(t), x (t), ,Xn(t),T, t=0,1,2(24)為了清楚地表明,)的作用，將(4)式的L矩陣分解成兩個(gè)矩陣， 記0000s00010s 002 00 s0，n-10000r0r. 1200000 .000 000(25) TOC o 1-5 h z 則模型

8、(23), (24)式可表為x(t+1)=Ax(t) + 陽(yáng))Bx(t)(26)由統(tǒng)計(jì)資料可以得到人口的初始分布x(0)及當(dāng)前的存活率七、女性比k，只需合理地給定今后的s、k即生育模式h，就可以設(shè)定 ii ii不同的總和生育率P (,)，來(lái)預(yù)測(cè)或控制未來(lái)的人口總量和年齡結(jié)構(gòu)。在控制理論中，x(t)為狀態(tài)變量，p(,)為控制變量，(26)式對(duì)于x(t)和p(,)都是線性的，稱雙線性方程。在離散模型中，x(t)是人口發(fā)展過(guò)程的完整描述，像連續(xù)型模型 一樣，也常用一些人口指數(shù)簡(jiǎn)要地表示一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人口特征，人口總數(shù)N（t）二）i =0平均年齡R（t）二上）（28）N（）i=0 i平均壽命S（t）= exp（-d （t）（29）i j=0i=0離散形式模型的優(yōu)點(diǎn)是便于用計(jì)算機(jī)作數(shù)值計(jì)算,20世紀(jì)70年 代末曾用這類模型，根據(jù)1978年的統(tǒng)計(jì)資料對(duì)21世紀(jì)我國(guó)人口總 數(shù)作預(yù)測(cè)。在不同的總和生育率。下得到了 19802080年一系列結(jié) 果，圖1是這些結(jié)果的略圖。計(jì)算結(jié)果表明：1）若3 =3.0（ 20世紀(jì)70年代中期水平），則2000年將達(dá)14.2 億，2080年達(dá)43.1億，近于那時(shí)全世界人口總和。2）若3 =2.3（約為1980年水平），則2000年將達(dá)12.9億，2080 年達(dá)21.2億。3）若3 =2.0 （大約是保持人口長(zhǎng)期穩(wěn)定的水平），則在2