最新-10-薄壁箱梁彎曲理論-PPT課件

1、10 薄壁箱梁的彎曲理論 梁彎曲的初等理論箱形梁的彎曲剪應(yīng)力薄壁箱梁的剪力滯效應(yīng)理論剪力滯效應(yīng)的變分解法超靜定結(jié)構(gòu)的剪力滯效應(yīng)剪力滯效應(yīng)的比擬桿解法小結(jié)本章參考文獻梁彎曲的初等理論(1) 彎曲正應(yīng)力 在純彎曲下，梁截面的變形服從平截面假設(shè)。則根據(jù)變形的幾何關(guān)系可得到 距中性面處 的任一纖維的應(yīng)變 表明：梁中的縱向應(yīng)變與該點的曲率以及該纖維離中性面的距離 成正比。該式是梁純彎曲變形的基本方程，且與材料性質(zhì)無關(guān)。 在一維線彈性情況下，由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的虎克定律得到 由截面法向力的平衡可以求得法向應(yīng)力與外力彎矩的關(guān)系為 對于如圖所示的偏心壓彎桿， (2) 開口截面的彎曲剪應(yīng)力 梁彎曲的初等理論對于實腹

2、梁，其彎曲剪應(yīng)力 平行于剪力Q，并認為剪應(yīng)力沿梁寬方向的分布是均勻的。因此，剪應(yīng)力的計算公式為 偏心壓彎桿 對于箱形梁的剪應(yīng)力計算?？山频貙⑾湫瘟嚎闯蓪捯砭壍墓ぷ至?。對于寬翼緣的工字梁，其腹板剪應(yīng)力平行剪力作用的豎向軸，而翼緣剪應(yīng)力平行于軸，并假設(shè)沿板厚度方向均勻分布，則剪應(yīng)力計算公式同樣可以適用 寬翼緣梁腹板中的剪應(yīng)力 寬翼緣梁計算截面以外面積（圖中的陰影部分）對中性軸的一次矩為 腹板中的剪應(yīng)力 令 ，可求得最大剪應(yīng)力它發(fā)生在中性軸處。若令 ，可得腹板最小剪應(yīng)力 一般地，寬翼緣梁腹板的厚度 與翼板寬度 相比是比較小的，因此最大剪應(yīng)力 與最小剪應(yīng)力 數(shù)值差別不大，從而整個腹板截面上的剪應(yīng)力分

3、布是接近于均勻的。因此作為近似計算可以直接將剪力 除以腹板面積 作為腹板的最大剪應(yīng)力。計算翼緣板中的剪應(yīng)力時，對中性軸的一次矩 為 翼緣板的剪應(yīng)力 翼緣板中的剪應(yīng)力沿 軸是線性分布的，在翼緣板外邊緣處剪應(yīng)力等于零。 (3) 剪切變形的影響 如圖所示的矩形直梁，該橫截面翹曲位移函數(shù) ，與其對應(yīng)的沿軸線變化的廣義位移 ，撓曲位移 則橫截面上任一點的軸向位移 軸線撓度 不考慮橫向擠壓應(yīng)變時，有 則考慮剪切應(yīng)變能時的總勢能為 由變分原理有得控制方程及邊界條件 整理后得 受彎矩形梁的尺寸及坐標 式中若取 則 對于簡支梁承受均布荷載 的情況，可求得撓度為 縱向位移為跨中撓度截面正應(yīng)力上列各式中由此可見，無

4、論是應(yīng)力，還是撓度，均與初等梁理論有所不同。 箱形梁的彎曲剪應(yīng)力(1) 薄壁構(gòu)件單元體中的剪力流方程 圖示的薄壁單元體的平衡條件為 當薄壁構(gòu)件的橫截面具有一個對稱軸時,則該對稱軸總是主軸,箱形梁一般地都具備這一條件，主軸慣性積因此，法向應(yīng)力為 薄壁單元體中的剪力流 把平衡條件式移項后并沿薄壁中心線對曲線坐標 進行積分,得到(圖示) 注意到只有彎矩 、 是 的函數(shù)，并有開口薄壁截面的平衡條件 可以得到剪力流方程 則 當構(gòu)件上只作用有 時,上式又簡化為 與實腹梁的剪應(yīng)力計算公式形式上是一致的 (2) 單室箱形截面的剪力流 在計算箱形截面剪力流時遇到的困難是任意起始點的剪力流 是未知的(開口薄壁截面

5、桿件自由邊緣的剪力流 ,它屬于超靜定問題。為了確定剪力流的初始值 ，必須在箱形截面的任一位置上虛構(gòu)一個切口，這樣箱形截面也就轉(zhuǎn)化為開口截面來求解。 因此，必須在虛設(shè)的切口處滿足變形連續(xù)條件，即在虛構(gòu)的切口處兩對應(yīng)面的相對位移等于零式中 剪切變形，剪力流 因此上式寫成 上式即為剪切變形的協(xié)調(diào)條件得到所以，附加未知剪力流為 當箱形梁采用同一材料時，剪切模量G為一常數(shù)，可簡化為單室箱形截面 單室箱形截面彎曲時總的剪力流由下式求得 如果單室箱形截面對 軸對稱，并且橫向外力的作用線也與對稱軸重合,如圖所示。則桿件彎曲時，位于對稱軸上的 、兩點的剪力流等于零，因此，可以利用對稱性將箱形截面的切口虛設(shè)在 、

6、兩點中的任一點，斷面中心線坐標的起點也先取在切口處，此時不必求附加剪力流（ ），桿件彎曲時產(chǎn)生的剪力流可直接按照開口截面的公式計算。剪力流的分布對稱于豎向?qū)ΨQ軸 單室對稱箱形截面的剪力流 (3) 多室箱形截面的剪力流 首先將閉合截面都切開，轉(zhuǎn)化為開口截面，然后應(yīng)用變形協(xié)調(diào)條件，使被切開的截面恢復(fù)為原先的閉合截面，從而求得剪力流。這樣有 室組成的箱形截面切開后，就有 個多余剪力流。可以在每一個切口處建立一個變形協(xié)調(diào)方程，其一般形式為 為與第 室相鄰的室。如下圖所示三室箱形截面，當所用的材料相同時，可以建立如下三個方程。 多室箱形截面的剪力流 （4） 箱形截面的剪切中心 前面在分析箱形截面構(gòu)件的彎

7、曲時，都假定橫向外力的作用線通過剪切中心這一特殊點，這樣桿件在外力作用下不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，只發(fā)生彎曲變形。開口截面的剪切中心的計算公式，通過橫向外力作用線通過該點使截面不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形這一條件可以得到。 當坐標軸為主軸時，則簡化為 箱形截面的剪切中心計算要根據(jù)截面上的剪力流的平衡條件求出,即要求截面上的剪力流沿 、 兩方向的合力分別等于作用在該截面上的外剪力 、 。同時要求外剪力 對于形心的扭矩分別等于由于剪力產(chǎn)生的剪力流 對形心的轉(zhuǎn)動力矩 令 、 分別等于1，則上式的左邊（ 、 ）即表示剪切中心的位置。式中的剪力流是假想開口截面剪力流與附加多余剪力流的疊加值。因此有式中 、 表示箱形截面的剪切中心，

8、用 、 代表式中的第一項，即虛設(shè)開口截面的剪切中心位置； 、 表示虛設(shè)開口截面閉合時所要求的剪切中心的位移，則寫成 、 又可表達為 值得注意的是，剪切中心與形心并不在同一點上薄壁箱梁的剪力滯效應(yīng)理論（1） 剪力滯效應(yīng)及其分析方法 為了說明剪力滯效應(yīng)的基本概念,先取一懸臂箱形薄壁梁為例,在懸臂端的梁肋處施加一對集中力 ，如圖所示剪力滯效應(yīng)示意 在平行于截面 處，應(yīng)用初等梁的彎曲理論，頂板上得到均勻分布的彎曲拉應(yīng)力。離固端處愈近，拉應(yīng)力的強度也愈高。但是實際上，腹板傳遞的剪力流在腹板與翼緣板的交界處要大，而向板內(nèi)傳遞的過程中，由于翼緣板（上、下翼板）存在剪切變形，故向板內(nèi)傳遞的剪力流要逐漸的變小。

9、以頂板為例，其拉應(yīng)力在頂板寬范圍之內(nèi)的分布是不均勻的，呈現(xiàn)板的中間小而兩邊大的分布狀態(tài)。很明顯，肋處的剪力流向板中傳遞過程，有滯后現(xiàn)象，所以工程界稱之謂“剪力滯效應(yīng)”或“剪力滯后現(xiàn)象”。定義 最早涉入剪力滯問題的理論推導(dǎo)是弗卡曼（ ），他曾取一跨徑為 且承受余弦形荷載的連續(xù)梁為解析對象，利用最小勢能原理，推導(dǎo)出連續(xù)梁有效分布寬度，稱之為“卡曼理論”。在航空工程中，由于在輕金屬飛機機身的蓋板下布置了許多小型I字梁，受力之后，剪力滯效應(yīng)要比橋梁結(jié)構(gòu)嚴重得多。它不僅有應(yīng)力分布不均勻現(xiàn)象，還存在薄板翹曲失穩(wěn)問題。這種不均勻的應(yīng)力狀態(tài)在美國工程界通稱“剪力滯效應(yīng)”，在英國稱之為“彎曲應(yīng)力的離散現(xiàn)象”，兩

10、者雖然取名各異，但實質(zhì)上是一回事。 從1969年11月到1971年11月，在奧地利、英國、澳大利亞、德國相繼發(fā)生了四起鋼箱梁失穩(wěn)或破壞事故。事故發(fā)生后，橋梁專家對四座橋梁的設(shè)計及計算方法進行了研究與分析，提示出這四座橋的計算方法存在嚴重的缺陷，其中一項就是設(shè)計中沒認真對待“剪力滯效應(yīng)”，因此導(dǎo)致應(yīng)力過分集中，造成結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)或局部破壞 目前，國內(nèi)外均建造了大量的箱形薄壁梁橋、T構(gòu)、剛構(gòu)、斜拉橋等剪力滯效應(yīng)較為突出。如果忽略它的影響，勢必導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的失利。另外，在高層建筑中，均屬于懸臂的筒中筒結(jié)構(gòu)，在風力作用下出現(xiàn)負剪力滯特殊情況，更應(yīng)得到結(jié)構(gòu)工程師特殊關(guān)注。 考慮剪力滯效應(yīng)后，前述稱為“正剪力滯”

11、，反之，則稱為“負剪力滯”，剪力滯概念與有效分布寬度相同，前者用不均勻應(yīng)力表示，而后者用一等效板寬表示。有效分布寬度用于非箱形截面(開口截面)，而剪力滯一般多用于箱形截面（封閉截面）。在橋梁設(shè)計中，恒載、二期恒載、預(yù)加力均在橫截面上產(chǎn)生剪力滯效應(yīng)。其中恒載占主導(dǎo)地位，因此，要將恒載彎矩值拋高設(shè)計，但拋高多少要通過 值計算才能確定。在斜拉橋中，活載占主導(dǎo)地位彎矩值拋高也應(yīng)通過 值方能確定。 近二十年來，國內(nèi)外許多學者對剪力滯問題提出了許多新設(shè)想和不少新理論，并輔以試驗研究的數(shù)據(jù)與成果，可以部分地解決橋梁結(jié)構(gòu)中的實際問題，綜合起來有下列幾種方法 （1）卡曼理論： 年 （2）彈性理論解法： 瑞斯納（

12、 ），1983年 愛伯德賽德（ 年的正交異性板法 戈爾德貝格（ ） 李維（ ）等的彈性折板理論 吉普森（ ）、米特瓦來（ ）的 板殼理論（3）比擬桿法： 楊格（Y ）的加勁薄板理論 尹文斯（ ） 塔海倫（ ）的比擬桿法等 （4）變分法： 瑞斯納（ ），張士鋒等。（5）數(shù)值法： 有限條法、有限元法、有限段法。 （2） 剪力滯效應(yīng)的影響圖示沿翼緣板寬度 的應(yīng)力變化規(guī)律。取一個微小單元體 、 ，開始形狀為 ，加荷后就變成菱形如 。板的厚度為 ，則其一維平衡方程式為 若用變形 表示，則有 式中： 懸臂箱梁頂板單元、應(yīng)力與變形全解為 邊界條件 （1） （2） ， 即 表示縱向剪應(yīng)力沿 的 軸為零 （3）

13、 （沿板的中線） 縱向剪應(yīng)力 即 （4） （在懸臂端）， （沿板中線上）， （應(yīng)力 ）得到當 時(肋處)， ； （板中心）， ，則 （1）對鋼結(jié)構(gòu)，如果 其應(yīng)力差很可觀。 （2）對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu),如果， 應(yīng)力差別也不小，且 愈大,剪力滯效應(yīng)愈嚴重 如果 表示任意箱梁截面頂板承受的變化應(yīng)力 的全部力，表示不考慮剪力滯效應(yīng)頂板所承受的力，則 的大小說明剪力滯效應(yīng)的大小與變化程度，也是衡量一維狀態(tài)應(yīng)力變化的幅度與量級。剪力滯效應(yīng)的變分解法(1) 基本假定 設(shè)箱梁半頂板、懸臂板及半底板寬度分別為： 引入兩個廣義位移 及 用來描述梁的豎向變位和縱向位移，則剪切轉(zhuǎn)角的最大差值； 上、下翼板中面距箱梁形心軸

14、距離 當 即位移函數(shù) 箱梁尺寸、坐標系及應(yīng)力狀態(tài) 上式假定翼板的縱向位移沿橫向為三次拋物線分布，此假定符合實測結(jié)果，是坐標的連續(xù)函數(shù) 在應(yīng)變的計算中，腹板仍采用梁的變形（按平截面假定），不考慮腹板的剪切變形。對上下翼板，板的豎向纖維無擠壓，即 。板平面外的剪切變形 與 及橫向應(yīng) 變均很小，可忽略不計 （2） 基本微分方程 取上圖為例進行推導(dǎo)，根據(jù)最小勢能原理，在外力作用下，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的彈性體，當有任何虛位移時，體系總勢能的一階變分應(yīng)該為零。即（a）梁受彎時的荷載勢能 或（b）梁的各項形變勢能腹板勢能（ ）為腹板對截面形心的慣矩 上翼板應(yīng)變能（ ） 下翼板應(yīng)變能（ 從位移函數(shù)和上式得到分別

15、有上列式中:(忽略自身慣矩) 令 上下板對截面形心慣性矩 將有關(guān)表達式代入體系總勢能中有 將上式變分有 = = 式中第二、三兩項用部分積分有 將上式代回則有 得到下列微分方程及邊界條件令n與k稱作瑞斯納參數(shù) 并整理有邊界條件為：當板固結(jié)時當板非固結(jié)時 方程的一般解形式為 其中 為僅與剪力 分布有關(guān)的特解，系數(shù) 與 由梁的邊界條件確定 （3） 翼板中的應(yīng)力與附加彎矩從微分方程式的第一式得到如下關(guān)系式或 及 稱為附加彎矩，它是由剪力滯效應(yīng)而產(chǎn)生的。它是剪切轉(zhuǎn)角最大差值 的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，而且與翼板的彎曲剛度成正比。 可以看出，考慮剪力滯影響后，梁的曲率與彎矩的關(guān)系已經(jīng)不是初等梁理論的的關(guān)系，而是增

16、加了附加彎矩的修正項。由于剪力滯的影響使翼板的有效剛度降低，使梁的撓度增大應(yīng)力表達式為彎曲法向應(yīng)力是沿橫向按三次拋物線分布推導(dǎo)的。翼板與腹板交接處，其達到最大值。 考慮剪力滯影響的修正項（4） 變分法求解示例 （a）承受集中荷載的簡支梁如下圖所示，在簡支梁上承受一集中荷載P，彎矩與剪力都是分段函數(shù) 當0 xa 當ax 由前知當0 xa簡支梁承受集中集P 當ax 邊界條件： 連續(xù)條件：從變分條件要求C1、C2、C3及C4為從而得到應(yīng)力為在0 xa段在ax當集中力作用在跨中跨中截面剪力滯系數(shù)此外，由于剪力滯的影響，撓度也將隨之增大，對于跨中作用一集中力時，附加彎矩及撓度分別為 經(jīng)過兩次積分后得到

17、由邊界條件 有 當 （b）承受均布荷載的簡支梁 q，則彎矩和剪力的函數(shù)為簡支梁受均布荷載見下圖所示，集度為同理有 簡支梁受均布荷載 + +跨中截面的剪力滯系數(shù)為撓度為 （c）承受集中荷載的懸臂梁下圖所示， 其彎矩和剪力函數(shù)為集中荷載P作用于懸臂梁自由端， 則利用邊界條件 =0 解得 懸臂梁承受集中荷載 固端截面的剪力滯系數(shù)為 撓度為（d）承受均布荷載的懸臂梁 下圖所示為一懸臂梁承受均布荷載，其彎矩和剪力函數(shù)分別為則 z 固端截面腹板與翼板交叉處的剪力滯系數(shù)為 撓度為 懸臂梁承受分布荷載 超靜定結(jié)構(gòu)的剪力滯效應(yīng)（1） 直接求解法圖所示，求上翼板在B點及C點的剪力滯效應(yīng)。在AB段：彎矩與剪力方程分

18、別為在BC段AB段 兩等跨常截面連續(xù)梁承受對稱的集中荷載BC段 通解分別為邊界條件 連續(xù)條件 在 處利用上述邊界及連續(xù)條件，求解四個常數(shù)。得到BC段法向應(yīng)力表達式為對于 ，跨中B點上翼板肋處的剪力滯系數(shù) ；內(nèi)支座C點上翼板肋處的剪力滯系數(shù) =1.445。（2） 解肢法 對于恒載作用下超靜定結(jié)構(gòu)某處的剪力滯效應(yīng)，觀察沿跨徑方向的彎矩圖中的一系列反彎點，在反彎點處因為彎矩為零而剪力不為零，有效分布寬度不需要考慮。這樣就把超靜定箱梁解肢成許多變高度的簡支梁，如此分解有利于求解變高度箱梁的剪力滯效應(yīng)，如圖所示 連續(xù)梁的解肢 對于右圖所示的兩等跨連續(xù)梁承受均布荷載，現(xiàn)用解肢法求內(nèi)支點B頂板剪力滯系數(shù)。根

19、據(jù)簡支梁承受均布荷載的進一步推導(dǎo)得到，當 時（在肋處），跨間任意距離邊支點z處的撓曲應(yīng)力。頂板肋處： 兩等跨連續(xù)梁承受均布荷載在上板中央 10.5.3 疊加原理解法 分析剪力滯效應(yīng)的疊加原理為：超靜定結(jié)構(gòu)在多種荷載作用的狀態(tài)下，考慮其剪力滯效應(yīng)的結(jié)果，等于其基本靜定體系在各個單一荷載與多余力的作用下的結(jié)果與其剪力滯系數(shù)的乘積。即 所以 超靜定結(jié)構(gòu)在計算截面的彎矩基本體系在單一荷載作用下，在計算截面上的彎矩 計算截面的截面模量 欲求的超靜定結(jié)構(gòu)在計算截面的剪力滯系數(shù) 現(xiàn)用上述方法求解 兩等跨常截面連續(xù)梁承受對稱集中荷載，跨中B點上頂板肋處的 值，跨徑l=80m。 首先將受力圖式分解為下圖所示由

20、簡支梁在L/2 處作用一集中荷載求得上板肋處 =1.1623。 =1.1623 =30P =1.0 =10P =1.0 =-1.37620P=-27.52P 超靜定彎矩 =0.31240P 有 =1.390(與直接求解法結(jié)果一致) 兩跨連續(xù)梁利用疊加原理求剪力滯效應(yīng) 變截面連續(xù)梁承受分布荷載示例Journal of Bridge Engineering NO.5,2019,ASCEHh1、The spanwise displacement of flanges:ljq(z)iq(z)lElement2、Equations:in which3、The boundary conditions:4、

21、Solution of Equations:Rrissners parameters n and k:5、Nodal displacements:The displacement boundary conditions:For nodal iFor nodal jthat isWhere are shape functions.The total potential energy of element:that isstiffness matrix nodal force vector剪力滯效應(yīng)的比擬桿解法（1） 基本概念 假定薄壁箱梁是由許多理想化的加勁桿組成，其間的薄板將加勁桿聯(lián)在一起共同

22、受力解析步驟如下（1）將箱型梁看做理想化的加勁桿與等效薄板的組合體系進行受力分析 （2）理想化的加勁桿承受軸力，而等效的薄板僅承受水平剪力（3）理想化的加勁桿的截面積等于實際加勁桿面積再加上鄰近薄板所提供的面積 對于帶懸臂頂板的箱形梁，參見下圖，加勁桿的等效面積，可做如下推導(dǎo)根據(jù)材料力學的公式為箱形截面慣形矩帶懸臂的矩形箱形截面 這樣，可根據(jù)應(yīng)力互等分別導(dǎo)出頂板和底板的等效翼緣面積。 頂板：底板： 等效翼緣板厚度分別為 頂板： 底板： 其中： 矩形箱 當頂板具有m個加勁肋、底板有n個加勁時，各肋面積可按下表中相應(yīng)公式計算。若頂板無懸臂翼緣時，則均按表中底板欄的相應(yīng)公式計算。 各加勁桿面積Ai的

23、算式 加勁桿所在位置頂板中各AI的算式底板中各AI 的算式邊 肋中部各肋腹板處肋對于梯形截面箱梁，同樣可求得其等效面積. （2） 微分方程的建立現(xiàn)以圖所示懸臂箱梁的頂板為例來說明微分方程組的建立?？紤]到結(jié)構(gòu)及荷載均對稱于橋面中線，取板的一半寬度進行分析，在距自由端的截面 處取一微段 ，則可以寫出各桿上力的平衡式。懸臂箱梁頂板加勁桿及受力圖式 設(shè)Q為箱梁任意截面上的垂直剪力， 完全由腹板承擔，并且均勻地分布于腹板面積上，于是，在與腹板相接的那根加勁肋上，外剪力流 可以近似按下式計算 “2”表示兩個腹板，h為頂板中點到底板中點的高度 在相鄰兩桿之間，微塊上的剪切角變化率，例如在1號2號桿之間為 或

24、 從材料力學知道： 為剪力流，則它的一般式為圖中的5根桿，從其間的四塊板上建立四個微分方程，則形成最終形式的微分方程組如下 , 作用在i桿上的待定剪力流函數(shù)， 與腹板相接的一根桿上的已知剪力流函數(shù)可按求得; 相鄰三桿面積，可按上述原則取用 同理，對于底板可以得到有關(guān)微分方程組，不過這時邊界條件為：當懸臂梁上只有垂直荷載作用時，在梁自由端的邊界條件為 在嵌固端則 時 （3） 三桿比擬法求解 沿用上節(jié)介紹的方法按下圖所示，推導(dǎo)出的三個理想化加勁桿平微方程為 式中:全解為三桿比擬法受力圖式及剪切變形 對于簡支梁受均布荷載（如下圖），則若邊桿所受的力為FE 則邊界條件為： 故 因為 令所以 當 當 z

25、 =0，即跨中 由于近似的有同理：中桿桿力為Fc，則 當 在跨中小結(jié)（1） 二次與四次拋物線位移函數(shù) 前面介紹剪力滯效應(yīng)的變分法，推導(dǎo)了剪力滯效應(yīng)基本微分方程，采用的縱向位移為如果 或 同樣可以得到不同的Reissner參數(shù)。 二次拋物線 四次拋物線 可以證明，取高次拋物線變化，對剪力滯效應(yīng)的結(jié)果影響很小m次拋物線 中心肋處（2） 梯形截面剪力滯效應(yīng)這時 ，設(shè)下標1、2分別代表上頂板的內(nèi)板與懸臂板，則令 則：Reissner參數(shù)k值對于二、三、四次拋物線分別為二次拋物線 三次拋物線 四次拋物線（3） 負剪力滯效應(yīng)考慮剪力滯效應(yīng)影響的曲率公式為 翼板彎曲法向應(yīng)力為梁肋處應(yīng)力 為 從上式可以清楚地看到，當 與M同號時， 要比按初等梁理論算得之值要大，這就是正剪力滯效應(yīng)。而當 與M異號時， 反而要小于初等梁理論計算之值，即負剪力滯效應(yīng)。因而附加彎矩 是表現(xiàn)正、負剪力滯效應(yīng)的關(guān)鍵 如對于前述的懸臂梁作用均布滿布荷載情況，已經(jīng)給出肋處（ ）的附加彎矩為（圖）彎曲法向應(yīng)力為令 ，求得正負剪力滯的臨界點 正剪力滯負剪力滯解上式得到 在 之間發(fā)生正剪力滯，