湖北省武漢市新洲區(qū)2021-2022學年高考沖刺模擬數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知某口袋中有3個白球和個黑球（），現(xiàn)從中隨機取出一球，再換回一個不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個黑球；若取出的是黑球，則放回一個白球），記換好球后袋中白球的個數(shù)是若，則=

2、( )AB1CD22如圖，平面四邊形中，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD3阿基米德（公元前287年公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家和物理學家，他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內切球體積為( )ABCD4已知集合A=x|x1，B=x|，則ABCD5一個四面體所有棱長都是4，四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（ ）ABCD6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）AB

3、CD7已知正項數(shù)列滿足：，設，當最小時，的值為( )ABCD8集合的真子集的個數(shù)是（ ）ABCD9設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為（ ）A1BCD10正的邊長為2，將它沿邊上的高翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球表面積為（ ）ABCD11已知橢圓：的左、右焦點分別為，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（ ）ABCD12已知命題：R，；命題 ：R，則下列命題中為真命題的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的

4、最小值為_14已知二面角l為60，在其內部取點A，在半平面，內分別取點B，C若點A到棱l的距離為1，則ABC的周長的最小值為_15已知集合U1,3,5,9，A1,3,9，B1,9，則U(AB)_.16若變量，滿足約束條件則的最大值為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.（1）求圓的極坐標方程；（2）若直線：（為參數(shù)）被圓截得的弦長為，求直線的傾斜角.18（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為3，其中（1）求的值；（2）若，求證：19

5、（12分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（）求關于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：

6、，.20（12分）已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設函數(shù)，證明時， .21（12分）在直角坐標系中，直線l過點，且傾斜角為，以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程，并判斷曲線C是什么曲線；設直線l與曲線C相交與M，N兩點，當，求的值22（10分）等差數(shù)列的前項和為，已知，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求使成立的的最小值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】由題意或

7、4，則，故選B2A【解析】將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，可知平面將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.3D【解析】設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結合題中的結論即可求出該圓柱的內

8、切球體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為，所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.4A【解析】集合集合，故選A5A【解析】將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關系，求解即可【詳解】解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，四面體所有棱長都是4，正方體的棱長為，設球的半徑為，則，解得，所以，故選：A【點睛】本題主要考查

9、多面體外接球問題，解決本題的關鍵在于，巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉化，屬于中檔題6D【解析】結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.7B【解析】由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳

10、解】由得，即，當且僅當時取得最小值，此時.故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應用，基本不等式求最值，考查了學生的運算求解能力.8C【解析】根據(jù)含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，計算可得；【詳解】解：集合含有個元素，則集合的真子集有（個），故選：C【點睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，屬于基礎題9A【解析】設，因為，得到，利用直線的斜率公式，得到，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為，設，因為，即線段的中點，所以，所以直線的斜率，當且僅當，即時等號成立，所以直線的斜率的最大值為

11、1.故選：A.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.10D【解析】如圖所示，設的中點為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質和線面垂直的性質可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示，設的中點為，外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因為，故，因為，故.由正弦定理可得，故，又因為，故.因為，故平面，所以，因為平面，平面，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接

12、球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算，本題有一定的難度.11D【解析】由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.12B【解析】根據(jù)，可知命題的真假，然后對取值，可得命題 的真假，最后根據(jù)真值表，可得結果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題 ：取，可知所以R，故命題為真命題

13、所以為真命題故選：B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用，識記真值表，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1316.【解析】由題意可知拋物線的焦點，準線為設直線的解析式為直線互相垂直的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立，消去得設點由跟與系數(shù)的關系得，同理根據(jù)拋物線的性質，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，同理，當且僅當時取等號.故答案為16點睛：（1）與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，可以使運算化繁為簡“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑；（2）

14、圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件14【解析】作A關于平面和的對稱點M，N，交和與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對稱性三角形ADC的周長為AB+AC+BCMB+BC+CN，當四點共線時長度最短，結合對稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關于平面和的對稱點M，N，交和與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BCMB+BC+CN，當M，B，C，N共線時，周長最小為MN設平面ADE交l于，O，連接OD，OE，顯然ODl，OEl，DOE60，MOA+AON240,OA1，MON120，且OMONOA1，根據(jù)余弦定理，故MN

15、21+1211cos1203，故MN故答案為：【點睛】此題考查求空間三角形邊長的最值，關鍵在于根據(jù)幾何性質找出對稱關系，結合解三角形知識求解.155【解析】易得ABA1,3,9，則U(AB)5167【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合，即可容易求得目標函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當直線過點時，有最大值，.故答案為：.【點睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結合思想，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）或【解析】（1）消去參數(shù)可得圓的直角坐標方

16、程，再根據(jù)，即可得極坐標方程；（2）寫出直線的極坐標方程為，代入圓的極坐標方程，根據(jù)極坐標的意義列出等式解出即可.【詳解】（1）圓：，消去參數(shù)得：，即：，.，.（2）直線：的極坐標方程為，當時.即：，或.或，直線的傾斜角為或.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程，直角坐標方程化為極坐標方程以及極坐標的幾何意義，屬于中檔題.18（1）（2）見解析【解析】（1）分三種情況去絕對值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；（2）將所證不等式轉化為2ab1，再構造函數(shù)利用導數(shù)判斷單調性求出最小值可證【詳解】（1），. 當時，取得最大值. . （2）由（），得，. ，當且僅當時等號成立，. 令，.則

17、在上單調遞減. 當時，.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，屬中檔題本題主要考查了絕對值不等式的求解，以及不等式的恒成立問題，其中解答中根據(jù)絕對值的定義，合理去掉絕對值號，及合理轉化恒成立問題是解答本題的關鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，以及轉化思想的應用.19（），該公司年年利潤的預測值為億元；（）.【解析】（）求出和的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求得和的值，進而可求得關于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值；（）利用（）中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數(shù)，然后利用組合計數(shù)原理結合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解

18、】（）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算可得，又，關于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得（億元），該公司年的年利潤的預測值為億元.（）由（）可知年至年的年利潤的估計值分別為、（單位：億元），其中實際利潤大于相應估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年，評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有年為級利潤年”的概率為，.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了古典概型概率的計算，涉及組合計數(shù)原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.20 (1) ;函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.【解析】試題分析：（1）由題得，根據(jù)曲線在點處的切線方程，列出方程組，求得的值，得到的解析式，即可求解函數(shù)的單調區(qū)間；（2）由（1）得 根據(jù)由，整理得，設，轉化為函數(shù)的最值，即可作出證明.試題解析：（1）由題得，函數(shù)的定義域為， ，因為曲線在點處的切線方程為，所以解得.令，得，當時， ， 在區(qū)間內單調遞減；當時， ， 在區(qū)間內單調遞增.所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）由（1）得， .由，得，即.要證，需證，即證，設，則要證，等價于證： .令，則，在區(qū)間內單調遞增， ,即，故.21 () 曲線是焦點在軸上的橢圓；()【解析】試題分析：（1）由題易知，直線的參數(shù)方程為