數(shù)學(xué)建模中的差分法課件

1、差分方程模型一 差分方程1 差分：設(shè)函數(shù) ，記為 ，當(dāng) t 取遍非負(fù)整數(shù)時(shí)，函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列，則差 稱為函數(shù) 的差分，也稱一階差分，記為 ，即二階差分同理，可定義三階差分等。二階及二階以上的差分稱為高階差分。差分的性質(zhì)：2 差分方程：含有未知函數(shù)及表示未知函數(shù)的幾個(gè)時(shí)期值的符號(hào)的方程。如3 差分方程的階方程中含未知函數(shù)附標(biāo)的最大值與最小值的差數(shù)。不同形式的方程可互相轉(zhuǎn)化。4 差分方程的解如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩端恒等，則稱此函數(shù)為該方程的解。例一階線性方程有解類似于微分方程可定義初值條件，特解等。二 差分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性1 對(duì)于一階線性常系數(shù)差分方程滿足方程的解，稱為上方程的

2、平衡點(diǎn)。即平衡點(diǎn)為由于方程（1）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題可轉(zhuǎn)化為下面方程零點(diǎn)的穩(wěn)定性。方程（2）的解可表示為可得到下面的穩(wěn)定性結(jié)論。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程（2）的平衡點(diǎn)（零點(diǎn)）是穩(wěn)定的，從而方程（1）的平衡點(diǎn)穩(wěn)定。對(duì)于n維向量 常數(shù)矩陣A構(gòu)成的方程組稱其為一階常系數(shù)線性齊次差分方程組。結(jié)論1若 r(A) 1，則其平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的；若 r(A)=1，穩(wěn)定性不確定。A的特征根的集合稱為矩陣A的譜，稱為矩陣A的譜半徑。2 對(duì)于二階線性常系數(shù)差分方程平衡點(diǎn)為為了得到（4）零點(diǎn)的穩(wěn)定性我們求解方程（4）。寫出特征方程解出特征值通解為其中常數(shù) 由初值條件 確定。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程（4）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。結(jié)論2非齊次線性

3、方程（5）的穩(wěn)定性可轉(zhuǎn)化為齊次方程（4）來研究。對(duì)于n階線性方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件是特征根3 一階非線性差分方程平衡點(diǎn) 通過求解方程而得到。研究穩(wěn)定性的方法之一是研究其對(duì)應(yīng)的線性部分的穩(wěn)定性。將方程（6）的右端在 點(diǎn)作泰勒展開只取一次項(xiàng)， （6）近似為也是（7）平衡點(diǎn)。當(dāng)結(jié)論3時(shí)，方程（6）與（7）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。結(jié)論4當(dāng)時(shí)，方程（7）平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，方程（7）平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。三 常微分方程向差分方程轉(zhuǎn)化（數(shù)值解）1 Euler 方法求初值問題的近似解。只要給定 就可求得先把自變量所在的區(qū)間 n 等分；例1 從 出發(fā)并取 ，求下列初值問題的近似解。 解繼續(xù)下去，自變量使用等間隔值，并

4、生成其 n 個(gè)值，令步數(shù)n可任意大，但n太大，會(huì)有誤差積累。優(yōu)點(diǎn)：容易編程計(jì)算。例2 從 出發(fā)并取 ，求下列初值問題的近似解。 解解Malthus 模型的離散形式例3 對(duì)于方程組的情形，Euler 方法同樣可用。先把自變量所在的區(qū)間 n 等分；步數(shù)n可任意大，但n太大，會(huì)有誤差積累。對(duì)捕食模型用Euler法求出前三次逼近，初始條件為解第一組點(diǎn)：第一組點(diǎn)：第二組點(diǎn)：第三組點(diǎn)：繼續(xù)下去，就可生成數(shù)值解 表。如果方程組為自治系統(tǒng)，在相平面上就可得到近似的軌線圖 。上機(jī)練習(xí)1：對(duì)捕食模型用Euler法，在相平面上畫出軌線的近似圖，觀察其變化情況。2 Runge-kutta型方法也是用來求初值問題的近似

5、解，但比Euler 方法收斂更快。先把自變量所在的區(qū)間 n 等分；Euler 方法常取 單步方法。四 差分方程模型舉例1 差分形式Logistic 模型離散化變形令 b= r + 11）平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性求平衡點(diǎn)：平衡點(diǎn)為根據(jù)穩(wěn)定的條件 當(dāng) b1，只有一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，當(dāng) 1b3 時(shí)， 是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。2）數(shù)值計(jì)算（上機(jī)練習(xí)2）初值取 b =1.7，2.6，3.3，3.45，3.55，3.57 k = 1,2,100觀察 的變化趨勢(shì)。出現(xiàn)倍周期收斂現(xiàn)象。一般地，一階自治的非線性差分方程3）混沌與分岔若 x*滿足則稱 x* 為不動(dòng)點(diǎn)，1-周期點(diǎn)。若 x*滿足則稱 x* 為2-周期點(diǎn)。4-周期點(diǎn)，

6、8-周期點(diǎn)等，倍周期分岔。練習(xí)：競(jìng)爭(zhēng)獵獸模型斑點(diǎn)貓頭鷹和紅隼在其棲息地為生存而斗爭(zhēng)。假定沒有其他種群存在的情況下，每個(gè)單種群都可以無限地增長(zhǎng)，即在一個(gè)時(shí)間區(qū)間里（如一天）其種群量的變化與該時(shí)間區(qū)間開始時(shí)的種群量成正比。而第二種群的存在降低了另一種群的增長(zhǎng)率。假定這種增長(zhǎng)率的減少與兩種群的數(shù)量之積成正比。 試建立數(shù)學(xué)模型考察兩種群的演化規(guī)律。一 建立模型根據(jù)題意，建立差分方程組二 模型求解求平衡點(diǎn)在平衡點(diǎn)處兩種群的種群量不會(huì)發(fā)生變化。即如果一開始它們數(shù)量為150和200時(shí)，那么每天數(shù)量都保持不變。數(shù)值計(jì)算在平衡點(diǎn)附近的情形貓頭鷹隼情形1151199情形2149201情形31010 xyxyxy1

731188.4821221.05113.182151.15198.6012159.12185.7322240.2597.033151.36198.1413161.40182.3423264.9779.574151.64197.6014164.25178.1824296.8861.275152.00196.9615167.83173.1025338.0643.276152.49196.1716172.34166.9326391.0527.007152.05195.2017178.04159.4727458.7013.988153.79194.0018185.26150.5

8、328544.035.359154.71192.5319194.42139.9129649.911.1310155.87190.7220106.11127.4830779.170.00情形1xyxyxy114920111142.87212.002192.88325.632148.85201.4012141.16215.022281.21326.833148.64201.8613139.04218.822367.98412.754148.37202.4114136.42223.622453.52480.455148.01203.0715133.20229.692538.51573.166147.

9、55203.8816129.24237.412624.14700.977146.98204.8817124.41247.272712.05877.418146.26206.1218118.53259.93283.871119.59145.37207.6619111.42276.29290.311446.610144.25209.5720102.92297.6130-0.081879.7情形2xyxyxy110101145.7595.942128.61565.92211.912.81250.51115.942218.14703.32314.1316.341354.75139.01239.0188

10、8.80416.7220.771458.09165.49242.801139.4519.7226.311560.10195.91250.171474.9623.1433.171660.34231.1426-0.041916.8727.0141.581758.47272.5827831.2851.811854.22322.4928935.9264.111947.58384.26291040.8078.742038.81462.9730情形3 三 結(jié)論對(duì)初始點(diǎn)極其敏感，這樣的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。棲息地共有350頭貓頭鷹和隼。1）如果有150頭貓頭鷹，那么我們預(yù)測(cè) 貓頭鷹永遠(yuǎn)停留在這個(gè)數(shù)量上。2）如果從棲息地移走一頭貓頭鷹，那么 我們預(yù)測(cè)貓頭鷹將會(huì)