歸納思維及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、歸納思維及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作者：佚名數(shù)學(xué)歸納法的定義及類型歸納法是從特殊到一般的推理方法歸納法分為兩種形式：完全歸納法和不完全歸納法完全歸納法就是根據(jù)一切特殊情況的考慮而作出的推理不完全歸納法就是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)特殊情況作出的推理由于完全歸納法是科學(xué)的，得出的結(jié)論是正確的，而由不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是正確的，所以在這里我只討論完全歸納法中的數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，典型地用于確定一個(gè)表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的，或者用于確定一個(gè)其他的形式在一個(gè)無窮序列是成立的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可通過“有限”的問題來解決“無限”的問題1（P45-47）數(shù)學(xué)歸納法這一方法貫穿了數(shù)學(xué)的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：

2、不等式、恒等式、數(shù)列、三角函數(shù)、計(jì)數(shù)問題、幾何分類問題、一般容斥原理、離散數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等發(fā)展現(xiàn)狀1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞杰發(fā)表算術(shù)原理新方法提自然數(shù)的公理體系時(shí)，奠定了數(shù)學(xué)歸納法邏輯基礎(chǔ)北京大學(xué)出版社出版張順燕編著的數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用，這本書給出了歸納法，不完全歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的具體定義安徽教育出版社出版的李祥倫等編著的高中數(shù)學(xué)講座，這本書介紹了數(shù)學(xué)歸納法的概念、數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的高中代數(shù)，這本書介紹了數(shù)學(xué)歸納法的概念、使用數(shù)學(xué)歸納法的步驟、使用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵、數(shù)學(xué)歸納法的變形形式等數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，運(yùn)

3、用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是：(1)證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)，命題成立；(2)假設(shè)且時(shí)命題成立，從而推出當(dāng)時(shí)，命題也成立根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)一切命題成立數(shù)學(xué)歸納法的第一步是驗(yàn)證命題的基礎(chǔ)，第二步是論證命題的依據(jù)，兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可需要注意的是：步驟(1)一般選取命題中最小的正整數(shù)作為起始值進(jìn)行驗(yàn)證；步驟(2)推證當(dāng)時(shí)命題成立的前題，必須是當(dāng)時(shí)命題成立，否則推理無效數(shù)學(xué)歸納法的變形形式驗(yàn)證步中的變化：起點(diǎn)前移，命題雖陳述為“對(duì)一切自然數(shù)成立”，但命題成立的范圍可更寬時(shí)，可以考慮證比“”更方便的起點(diǎn)起點(diǎn)后移，有時(shí)為了使向遞推更方便可考慮把歸納的起點(diǎn)適當(dāng)后移增加起點(diǎn)個(gè)數(shù)，由“”向后遞推時(shí)，當(dāng)需要以其它特殊情形作為基礎(chǔ)時(shí)，可考慮增加起點(diǎn)的個(gè)數(shù)假設(shè)步中的變化：以“假設(shè),時(shí)命題成立”代替“假設(shè)時(shí)命題成立”，或以“假設(shè)時(shí)命題成立”代替“假設(shè)時(shí)命題成力立”遞推步中的變化：增加遞推跨度，遞推步中一般總是假設(shè)時(shí)命題成立后，推出時(shí)命題也成立，從而使問題得證但若這一過程有困難，可考慮假設(shè)時(shí)命題成立，推出時(shí)命題成立來證明命題先進(jìn)后退，對(duì)于假設(shè)時(shí)命