系統(tǒng)的穩(wěn)定性機械工程控制基礎(chǔ)教案

1、Chp.5系統(tǒng)穩(wěn)定性基本要求1了解系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件；2掌握Routh判據(jù)的必要條件和充要條件，學會應(yīng)用Routh判據(jù)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，能夠指出系統(tǒng)包含不穩(wěn)定的特征根的個數(shù)；矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。3掌握Nyquist判據(jù)；4理解Nyquist圖和Bode圖之間的關(guān)系；5掌握Bode判據(jù)；6理解系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的概念，會求相位裕度和幅值裕度，并能夠在Nyquist圖和Bode圖上加以表示。聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈。重點與難點本章重點1Routh判據(jù)、Nyquist判據(jù)和Bode判據(jù)的應(yīng)用；2系統(tǒng)相對穩(wěn)定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist圖和Bode圖的表示法。

2、本章難點Nyquist判據(jù)及其應(yīng)用。1概念示例：振擺1、穩(wěn)定性定義：若系統(tǒng)在初始條件影響下，其過渡過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于0，則系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，系統(tǒng)過渡過程隨時間的推移而發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。殘騖樓諍錈瀨濟溆塹籟。（圖5.1.2）討論：線性系統(tǒng)穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)，是一種自身恢復能力。與輸入量種類、性質(zhì)無關(guān)。系統(tǒng)不穩(wěn)定必伴有反饋作用。（圖5.1.3）若x0(t)收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定；若x0(t)發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。將X0(s)反饋到輸入端，若反饋削弱E(s)穩(wěn)定若反饋加強E(s)不穩(wěn)定穩(wěn)定性是自由振蕩下的定義。即xi(t)=0時，僅存在xi(0-)或xi(0+)在xi(t)作用下的強

3、迫運動而系統(tǒng)是否穩(wěn)定不屬于討論范圍。2、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：對anpn+an-1pn-1+a1p+a0 x0(t)=bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0 xi(t)釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。令B(s)=anpn+an-1pn-1+a1p+a0A(s)=bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。初始條件：B0(s)A0(s)則B(s)X0(s)-B0(s)=A(s)Xi(s)-B0(s)Xi(s)=0,由初始條件引起的輸出：L-1變換根據(jù)穩(wěn)定性定義，若系統(tǒng)穩(wěn)定須滿足，即zi為負值。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程全部根的實部必須為負?；颍合到y(tǒng)傳遞函數(shù)的極點全部位于s復平面的左半部

4、。謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔。討論：特征根中有一個或以上的根的實部為正系統(tǒng)不穩(wěn)定；臨界穩(wěn)定：特征根中有部分為零或純虛數(shù)，而其它根為負數(shù)。臨界穩(wěn)定系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定。若，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。零點對穩(wěn)定性無影響。零點僅反映外界輸入對系統(tǒng)的作用，而穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的固有特性。穩(wěn)定性判定方法：a)直接求解出特征方程的根（高階困難）b)確定特征根在s平面上的分布：時域：Routh判據(jù)，胡爾維茨判據(jù)頻域：Nyquist判據(jù)，Bode判據(jù)2勞斯（Routh）判據(jù)Routh判據(jù)在特征方程系數(shù)和根之間建立一定關(guān)系，以判別特征根分布是否具有負實部。一、必要條件：特征方程：B(s)=anpn+an-1pn-1+a1p+a0=0必要

5、條件：B(s)=0的各項系數(shù)ai符號均相同，且不等于0;或an0an-10a10a00（證明）二、充要條件：（Rough穩(wěn)定性判據(jù)）：1、Rough表：將特征方程系數(shù)排成兩列：偶：anan-2an-4an-6奇：an-1an-3an-5an-7廈礴懇蹣駢時盡繼價騷。Rough數(shù)列表：（p.124）snanan-2an-4an-6a0sn-1an-1an-3an-5an-7a10煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。sn-2A1A2A30sn-3B1B2B30s00002、判據(jù)：Rough列表中第一列各項符號均為正且不等于0若有負號存在，則發(fā)生負號變化的次數(shù)，就是不穩(wěn)定根的個數(shù)。例1，已知系統(tǒng)特征方程B(s)=

6、s4+8s3+17s2+16s+5=0試判定其穩(wěn)定性。解：a4=1a3=8a2=17a1=16a0=5(過程)ai0（i=1，2，3，4，5）Rough列表中第一列(1，8，15，13.3,5)均大于0，故系統(tǒng)穩(wěn)定。鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴。例2，已知系統(tǒng)特征方程B(s)=s3-4s2+s+6=0試判定其穩(wěn)定性。解：有一個負系數(shù)，不滿足穩(wěn)定的必要條件，有幾個不穩(wěn)定的根？(過程)有二個負實根，實際上s3-4s2+s+6=（s-2）(s+1)(s-3)例3，已知系統(tǒng)試判定其穩(wěn)定性。解：B(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0(過程)符號改變二次，存在兩個不穩(wěn)定的根。例4，設(shè)有系

7、統(tǒng)方框圖如下，已知=0.2，n=86.6，試確定k取何值時，系統(tǒng)方能穩(wěn)定。(p.126圖)籟叢媽羥為贍僨蟶練淨。(過程)三、特殊情況：1、Rough列表中任一行第一項為0，其余各項不為0或部分不為0。造成該行的下一行各項變?yōu)闊o窮大，無法進行Rough計算。措施：以任一小正數(shù)代替0的那一項，繼續(xù)計算。例：B(s)=s3-3s+2=0（求解）若用代替后，系統(tǒng)Rough列表第一列均為正，臨界穩(wěn)定（共軛虛根）用因式（s+a）乘特征方程兩邊，得新的特征方程，進行Rough計算后判斷（A為任意正數(shù)）。例：B(s)=s3-3s+2=0（求解，取a=3）2、Rough列表任一行全為0。原因：系統(tǒng)特征方程的根出

8、現(xiàn)下列一種或多種情況時會發(fā)生。具有相異符號的實數(shù)根（如s=2）；虛根時（如s=j5）；共軛復數(shù)根時（如）解決：利用全為0這一行的上一行的各項系數(shù)組成一個多項式方程（輔助方程）；對輔助方程取導數(shù)得一新方程；以新方程的系數(shù)取代全為0的哪一行，繼續(xù)進行Rough計算。例：B(s)=s4+s3-3s2-s+2=0（求解）例：B(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0（求解）3Nyquist判據(jù)時域判據(jù)的弱點：工程設(shè)計中，組成系統(tǒng)的各種參數(shù)尚未最后確定，時域判據(jù)不能應(yīng)用；時域判據(jù)僅能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不能說明系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的程度，因而不能提出改善系統(tǒng)性能的具體途徑。預頌圣鉉儐歲齦訝驊糴

9、。Nyquist判據(jù)特點：圖解法：由幾何作圖判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；由開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性（開環(huán)特性由分析法或?qū)嶒灧ǐ@得）；可判斷系統(tǒng)相對穩(wěn)定性；可指出各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。一、預備知識：1、三種函數(shù)的零、極點關(guān)系：（Gk(s)、GB(s)、F(s)）(圖5.3.1)Gk(s)=G(s)H(s)F(s)=1+G(s)H(s)zi：Gk(s)的零點；pi：Gk(s)的極點。上述各函數(shù)零點和極點的關(guān)系：（p.131）結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件為GB(s)全部極點具有負實部F(s)函數(shù)的全部極點均具有負實部，即通過Gk(s)=G(s)H(s)判斷GB(s)的穩(wěn)定性。滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。2、映射概

10、念：設(shè)函數(shù)F(s)=Re(s)+jIm(s)而s=+j兩個函數(shù)：F(s)，s兩個復平面：F(s)，ss上的每一個點對應(yīng)F(s)上有一個映射的點，稱為像點或映射軌跡。例：已知F(s)=s2，求s=1+j2的像點。F(s)=s2=（1+j2）2=-3+j4即s平面上點（1，j2）在F(s)復平面上的像點為-3，j4(tu2)3、映射定理（幅角原理）：L設(shè)F(s)為一有理數(shù)，設(shè)Ls為s平面上的一封閉曲線（看成點的封閉軌跡），F(xiàn)為F(s)平面上的對應(yīng)曲線，則：鐃誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。Ls在F(s)平面上的映射軌跡LF，也必然是一條封閉曲線。(tu2)若Ls包圍了F(s)的zi個零點和pi個極點，則Ls上

11、某動點s沿Ls順時針方向轉(zhuǎn)一周時，它在B(s)上的映射軌跡LB將會順時針方向包圍OB原點N次（N=z-p）。(tu2)擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。二、Nyquist判據(jù)：1、映射定理的推廣：F(s)=1+G(s)H(s)為有理數(shù)，滿足映射定理。在s上，當s按順時針方向沿整根虛軸（-j+j）及R=的半徑組成的封閉曲線Ls（實際上為s平面的右半部）轉(zhuǎn)一周時，若虛軸上無F(s)的極點，則在Ls在F(s)平面上的映射軌跡LF也將順時針方向包圍原點OB共N次。(tu2)贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件，特征方程F(s)=0的根均為負實數(shù)或?qū)嵅繛樨摰膹蛿?shù)，即F(s)在s平面右半部無零點，系統(tǒng)穩(wěn)定下

12、的映射為N=-p壇摶鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。復平面下系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：若s虛軸上無F(s)=1+G(s)H(s)的極點，則當s沿-j+j按順時針方向轉(zhuǎn)一周時，其在F(s)平面上的映射軌跡LF也將順時針方向包圍原點OB共N次，系統(tǒng)才能穩(wěn)定，否則就不穩(wěn)定。蠟變黲癟報倀鉉錨鈰贅。2、N=-p含義的變通：N=-p的實質(zhì)就是利用特征函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)的零、極點分布來判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，實用上不方便，希望判據(jù)建立在開環(huán)基礎(chǔ)上。買鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄。含義變通：在N=-p中的F(s)的極點數(shù)p，理解為開環(huán)G(s)H(s)的極點數(shù)；將F(s)平面轉(zhuǎn)換成G(s)H(s)平面；F(s)的原點就是G(s)H

13、(s)的（-1，j0）點。令s=j，則s取值-j+j，變成取值-+。通過上述轉(zhuǎn)換，將N=-p含義重新引申為：N：開環(huán)G(s)H(s)軌跡包圍（-1，j0）點的次數(shù)，即開環(huán)軌跡順，逆時針方向包圍（-1，j0）點次數(shù)之代數(shù)和。綾鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴。P:開環(huán)G(s)H(s)在s平面右半部的極點數(shù)。2、Nyquist判據(jù)：充要條件：當取值-+時，其開環(huán)G(j)H(j)軌跡必須逆時針包圍（-1，j0）點p次，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則就不穩(wěn)定。驅(qū)躓髏彥浹綏譎飴憂錦。討論：a)Nyquist判據(jù)在GH平面上判斷；過程：s上Nyquist軌跡映射到GH上的Nyquist軌跡G(j)H(j)，根據(jù)G(j)H(j)包圍（

14、-1，j0）點的次數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。貓蠆驢繪燈鮒誅髏貺廡。pb)應(yīng)用簡單：一般開環(huán)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，p=0，故只需看開環(huán)Nyquist圖是否包圍（-1，j0）點，不包圍則穩(wěn)定。若開環(huán)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，0（開環(huán)不穩(wěn)定），則看Nyquist圖是否逆時針包圍（-1，j0）點p圈。鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔。c)開、閉環(huán)穩(wěn)定性關(guān)系：開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)可能穩(wěn)定開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)可能不穩(wěn)定d)繪制開環(huán)=0+的Nyquist圖即可判斷。原因：開環(huán)Nyquist圖對實軸對稱。三、對虛軸存在極點的處理：Nyquist判據(jù)中規(guī)定開環(huán)Gk(s)中不能含有s=0和s=jk（k為實數(shù)）的極點，否則，這些極點處的幅角是個不

15、確定值，因而，這些點的映射軌跡也不確定。但工程上大多數(shù)Gk(s)會含有s=0或s=jk的極點，此時，Nyquist判據(jù)仍可使用，但需對Ls曲線修正。構(gòu)氽頑黌碩飩薺齦話騖。四、應(yīng)用舉例：1、開環(huán)穩(wěn)定，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性：Gk(s)在s右半部無極點，p=0，則=0+時Gk(j)不包圍（-1，j0）點，即N=0，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則就不穩(wěn)定。輒嶧陽檉籪癤網(wǎng)儂號澩。例1，0型系統(tǒng)例2，0型系統(tǒng)例3，型系統(tǒng)例4，型系統(tǒng)例5，型系統(tǒng)2、開環(huán)不穩(wěn)定，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性：對p0，若需閉環(huán)穩(wěn)定，則N=-p，即在取值-+時，Gk(j)逆時針包圍（-1，j0）點p次。堯側(cè)閆繭絳闕絢勵蜆贅。例：高階系統(tǒng)四、典型環(huán)節(jié)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的

16、影響：1、比例環(huán)節(jié)G(s)=k若Gk(j)-180o,則k無論如何變化，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的；Gk(j)-180o,則kGk(j)隨之增大，可能包圍（-1，j0）點。2、慣性環(huán)節(jié)高頻時（），G(j)-90o,增加了開環(huán)幅角Gk(j)的滯后，對系統(tǒng)穩(wěn)定不利，慣性環(huán)節(jié)越多，系統(tǒng)越難穩(wěn)定。識饒鎂錕縊灩筧嚌儼淒。3、導前環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1高頻時（），G(j)+90o,減少了開環(huán)幅角Gk(j)的滯后，對系統(tǒng)穩(wěn)定有利。若系統(tǒng)需較多慣性環(huán)節(jié)時，用導前環(huán)節(jié)保持其穩(wěn)定性。4、積分環(huán)節(jié)高低頻均產(chǎn)生90o滯后幅角，對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響大。積分環(huán)節(jié)越多，系統(tǒng)越不容易穩(wěn)定。措施：增加導前環(huán)節(jié)，增加內(nèi)部負反饋或降低系統(tǒng)“型”號

17、。5、延時環(huán)節(jié)G(s)=e-s不改變原系統(tǒng)的副頻特性，僅使系統(tǒng)的相頻特性變化。4系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性判斷出系統(tǒng)屬于穩(wěn)定、不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定，還不能滿足設(shè)計要求，應(yīng)進一步知道穩(wěn)定或不穩(wěn)定的程度，即穩(wěn)定或不穩(wěn)定離臨界穩(wěn)定尚有多遠，才能正確評價系統(tǒng)穩(wěn)定性能的優(yōu)劣，此即相對穩(wěn)定性。凍鈹鋨勞臘鍇癇婦脛糴。一、系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的兩個指標：1、兩種坐標對應(yīng)關(guān)系：Gk(j)可用極坐標（Nyquist圖）和對數(shù)坐標（Bode圖）表示，二者有對應(yīng)關(guān)系：a)極：單位圓對：零分貝線（幅頻特性）相當于：GH=120lgGH=0dBb)極：負實軸對：-180o水平線（相頻特性）原因：負實軸上的每一點的幅角都等于-180

18、oc)極：開環(huán)軌跡與單位圓的交點c對：幅頻特性曲線與零分貝線的交點。交點c處的頻率c稱為剪切頻率、幅值穿越頻率、幅值交界頻率。d)極：開環(huán)軌跡與負實軸的交點g對：相頻特性曲線與-180o水平線的交點。交點g處的頻率g稱為相位穿越頻率、相位交界頻率。2、幅值和相位裕量：幅值和相位裕量是衡量系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多遠的兩個指標。(1)幅值裕量Kg：定義：在相位交界頻率g處Gk(j)的倒數(shù)。在對數(shù)坐標上，討論：a)若G(jg)H(jg)1,Kg1,即Kg(dB)0系統(tǒng)具有正幅值裕量。若G(jg)H(jg)1,Kg1,即Kg(dB)0系統(tǒng)具有負幅值裕量。b)對最小相位系統(tǒng)p=0，正幅值裕量對應(yīng)的開環(huán)軌跡不包

19、圍（-1，j0），閉環(huán)穩(wěn)定，負幅值裕量對應(yīng)的開環(huán)軌跡包圍（-1，j0），閉環(huán)不穩(wěn)定。c)Kg實際上是系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）到達臨界穩(wěn)定點時，其開環(huán)傳遞函數(shù)在g處的幅值G(jg)H(jg)需擴大或縮小的倍數(shù)。恥諤銪滅縈歡煬鞏鶩錦。d)一階、二階系統(tǒng)幅值裕量為無窮大。原因：其開環(huán)軌跡與GH平面的負實軸交于原點，1/Kg=0(2)相位裕量：定義：在c處，使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定所需附加的幅角滯后量（或超前量）。=G(jc)H(jc)-（-180o）=180o+(c)若0稱正相位裕量（正穩(wěn)定性儲備）必在Bode相位圖橫軸（-180o線）以上，在Nyquist圖負實軸以下（第三象限）；若0稱負相位裕量（負穩(wěn)定性儲備）3必