專題10胡不歸問(wèn)題解析版

1、專題10胡不歸問(wèn)題【例1】已知拋物線y=ax2+bx+c (aw0)過(guò)點(diǎn)A (1,0), B (3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OC=3(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn) D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為拋物線在直線 BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng) PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐 標(biāo)；(3)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出這 個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為： y=a(x-1) (x-3) = a (x2-4x+3),即：3a= 3,解得：a= 1,故拋物線的表達(dá)式為：y = x2- 4x+3,則頂點(diǎn)D (2, - 1).(2)將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)

2、代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=mx+n并解得:直線BC的表達(dá)式為：y = - x+3,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn) P (x, x2 - 4x+3),則點(diǎn) H (x, - x+3),則 SaPBC= 1?PH X OB= I ( x+3 x2+4x- 3) = |( x2+3x), ,- 2 0,故SBC有最大值，此時(shí) x= 3,故點(diǎn) P (-, - 3).24(3)存在，理由：如上圖，過(guò)點(diǎn) C作與y軸夾角為30的直線CG,作QHXGH,垂足為G,則 GQ= 2cq,_1 _AQ+ QC 取小值=AQ+GQ = AG,直線GC所在表達(dá)式中的k值為v3,直線GC的表達(dá)式為：y=芯x+3，則直

3、線AG所在表達(dá)式中的 k值為-峭, 3則直線AG的表達(dá)式為：y= - -33X+S,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y= - -33x+s并解彳導(dǎo):s=母,則直線AG的表達(dá)式為：y= - 4+藝？，33聯(lián)立并解得：x=八且，4一， 1-3 萬(wàn) 3+ 0 一，故點(diǎn) G (,),而點(diǎn) A (1, 0),44則 AG= 3+2V3,r13+ 3即：AQ+ gQC的最小值為 一2【變式訓(xùn)練1 如圖1,拋物線y= mx2- 3mx+n (mw0)與x軸交于點(diǎn)(-1, 0)與y軸交于點(diǎn)B (0, 3),在線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)E (不與O、A重合)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn) P.(1)分別求出拋物線和

4、直線 AB的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接PA、PB,求4PAB面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)如圖2,點(diǎn)E (2, 0),將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的到 OE,旋轉(zhuǎn)角為a (0V a 90 ),連接 E A、E B,求 EA+ |eB 的最小值.3【解答】解：(1) ,拋物線y=mx2-3mx+n (mw0)與x軸交于點(diǎn)0(-1, 0)與 y 軸交于點(diǎn)B (0, 3),則有蔗3?+?=0,解得?=-?= 334,拋物線y= - 4卜4x+3,令 y=o,得到-4x2+ 步3=0,A (4, 0) , B (0, 3),設(shè)直線AB解析式為y+b,則?丁?”解得啜3-4 ,3，直線AB解析式為

5、y=-%3；(2)如圖 1 中，設(shè) P (x, - 3x2+x+3),則點(diǎn) N (x, - 4x+3),則設(shè) PAB面積為S,貝 U S=SNA+SNB= 1 XPN X OA= 1 X4X (- 3x2+?x+3+3x-3) = - 3x2+6x, 224442- |0,故S有最大值，當(dāng)x = 2時(shí)，S的最大值為6,此時(shí)P (2, 4.5);(3)如圖2中，在y軸上取一點(diǎn) M 使得OM = 4,連接AM ,在AM 上取一點(diǎn)E 3使得 OE = OE.T小圖24,. OE =2, OM ?OB= 4 X3=4, 3. .OE，2=OM，？OB,? ? =, ? ?. / BOE =/ M OE

6、,. M OE s* E OB,? ? 2= 一 = ?32.M E = |BE，, 3，AE +2BE =AE +E M = AM ,此時(shí) AE + BE最小(兩點(diǎn)間線段最短，A、 33M、E共線時(shí))，最小值=am = v42 +(芻2 = y.【變式訓(xùn)練2】如圖，已知二次函數(shù) y=- x2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B (3, 0),交 y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)M (m, 0)是線段 OB上一點(diǎn)(與點(diǎn) O、B不重合)，過(guò)點(diǎn) M作MPx軸, 交BC于點(diǎn)P,交拋物線于點(diǎn) Q,連接OP, CQ.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若/ COP=Z QCP,求 QP 的長(zhǎng)；(3)若 CPQ是以CP為底邊的

7、等腰三角形，點(diǎn)N是線段OC上一點(diǎn)，連接 MN,求MN+ 3cN的最小值.【解答】解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=- 9+3b+3,解得：b=2,故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3；(2)對(duì)于 y= - x2+2x+3,令 x=0,貝U y=3,故點(diǎn) C (0, 3),則 OB=OC = 3,故/OCB = /OBC = 45 ,設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y=kx+b,則 PQ/ y 軸,./ OCP=Z CPQ,. CPQ是以CP為底邊的等腰三角形， ./ QCP=Z QPC,?7 ?= 0,解得：?= -1 , ?= 3?= 3故直線BC的表達(dá)式為：y= - x+3,點(diǎn)M的坐

8、標(biāo)為：(m, 0),則點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：(m, 3-m)、(m, - m2+2m+3),則 PQ= (- m2+2m+3) - ( 3-m) =- m2+3m； PQ / y 軸, ./ OCP=Z CPQ,. / COP=Z QCP,OPCA CQP,? ?= ,即 pc2=oc?pq,? ? -2m2=3 (- m2+3m),9解得：m= 0 (舍去)或一,5故 PQ= - m2+3m= 54;25QCP=Z PCO=45OCQ = 90 ,即 CQ/ x 軸,故點(diǎn)C、Q關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性直線 x= 1對(duì)稱，故點(diǎn) Q的坐標(biāo)為：(2, 3);過(guò)點(diǎn)C作直線1,過(guò)點(diǎn)M作MHl交于點(diǎn)H,交y軸于點(diǎn)

9、N,則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn),11.設(shè)直線1與y軸負(fù)半軸夾角的正弦值為 即sinZ HCN= 3 = sinZ NMO ,則tanZ NMO = v24，則 NH= 1CN, 31MN+ 1CN= MN+NH 為最小，3 v2. tan/ NMO=v，設(shè)直線 MH的表達(dá)式為：y= - 1x+t,將點(diǎn)M (2, 0)的坐標(biāo)代入上式并解得：t=學(xué), 一 v2 、故點(diǎn) N (0,),2則 CN = OC -ON=3-3，MN+ 1CN 的最小值= MN+NH = MN+1CN= 點(diǎn)2+ ( 3)2+qx(3- ) = 3+：,2. 332323【變式訓(xùn)練3】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+b

10、x- 4與x軸交于點(diǎn)A (- 2,0)、B (4, 0),與y軸交于點(diǎn) C. E為拋物線上一點(diǎn)， 直線AE交y軸于點(diǎn)D,且OD=OA.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是第四象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ/ y軸交直線AE于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作PGLAE于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)H,求PQ- -GQ的最大值，并求出此 時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2,點(diǎn)K為線段OD的中點(diǎn)，作射線 AK,將該拋物線沿射線 AK方向平移 地 2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線 yi = aix2+bix+ci ( ai w 0),新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)I .點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn) M是新拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn) I、E、M、N

11、為頂點(diǎn)的四邊形是以IE為邊的矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) N的坐標(biāo).【解答】解：(i)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y= a (x-xi)(x-x2) = a (x+2) (x-4) = a (x2-2x-8),則-8a= - 4,解得 a= 2,拋物線的表達(dá)式為 y= gx . OA=OD = 2,故點(diǎn) D (0, 2),由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，直線 AE的表達(dá)式為y=x+2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2-x-4),則點(diǎn)Q (x, x+2),2,. OA=OD,故/ QAK = 45 ,而GPXAE,則4 PQG為等腰直角三角形,-x-4；過(guò)點(diǎn)G作GKPQ于點(diǎn)K,則QK=PK=旨GQ,er 一 V211,-1212則 P

12、Q- -GQ = PQ- QK=PK= 2PQ=方(x+2- -x2+x+4) = - 4x2+x+3,- 1 0,故拋物線開口向下，4一，2.一 . . .v2 PQ- GQ有取大值，當(dāng)x= 2時(shí)，PQ- 2GQ的取大值為4,此時(shí)點(diǎn)P (2, -4);(3)聯(lián)立y= 1x2-x-4和y=x+2并解得置6,故點(diǎn)E (6, 8),2?;= 8點(diǎn)K為線段OD的中點(diǎn)，則點(diǎn)K (0, 1),? 1一12tanKAO= 病 則 sinZ KAO= 1=, cos/KAO = -2,則該拋物線沿射線 AK方向平移 T個(gè)單位長(zhǎng)度相當(dāng)于向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位，則平移后的拋物線為 y= 2 (x- 1

13、)2- (xT) - 4+ 2 =(x - 2)2 - 4= 2x2 - 2x- 2 ；?= 2聯(lián)立并解得?_ 2 , ?= -4故點(diǎn)I的坐標(biāo)為(2, - 4),設(shè)點(diǎn) M (m, n) , n= ；m2 - 2m - 2，而點(diǎn) E (6, 8),則點(diǎn)I向右平移4個(gè)單位向上平移12個(gè)單位彳#到點(diǎn)E,同樣，點(diǎn) M ( N)向右平移 4個(gè)單位向上平移 12個(gè)單位 N (M)且EM= MI (EN= MI),當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí),即 m+4 = s , n+12 = t，(m 6) 2+ (n 8) 2= ( m+2) 2+ (n+16) 2，將 代入并整理得：m+3n- 10=0，?= 16聯(lián)立并解

14、得?=?3 廿，？= -23或14 i?= 4Cd 2826,?？則2c或?122?=?: 一 9故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(28一,3122、)或(2, 16);9當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí),則 m4=s, n- 12= t, (s 6) 2+ (t8) 2 = (m2) 2+ (n+4) 2,同理可得，點(diǎn)峭57-7-23-。573-四57-7N的坐標(biāo)為(,)或(393-23+一，28 122 通57-7-23- a/457 -通57-7綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-,)或(2, 16)或(-,)或(-23+ v457、 ).9【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y= - x2+4x上，且橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B與

15、點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱， 直線AB與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,1).(1)求線段AB的長(zhǎng);(2)點(diǎn)P為線段AB上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作AB的垂線交AB于點(diǎn)H,點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，當(dāng) PBE的面積最大時(shí)，求 PH的長(zhǎng)度；1 (3)在(2)中，HF+才0取得最小值時(shí)，將 CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后得到CF H,過(guò)點(diǎn)F作CF的垂線與直線 AB交于點(diǎn)Q,點(diǎn)R為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)S,使以點(diǎn)D、Q、R、S為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) S的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.N (m(2)如圖 1 中，設(shè) P (m, m2+4m

16、),作 PN / y 軸交 BE 于 N.【解答】解：(1)當(dāng)x= 1時(shí)，y= - x2+4x=3,故點(diǎn)A (1, 3),由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線x=2,故點(diǎn)B (3, 3), . AB=2;直線BE的解析式為y=x,.pH=$3= 3；如圖1,作直線 OG交AB于G,使得/ COG =30 ,作HK，OG于K交OC于F,1.-SaPEB= 2 X2X (2 一 、m +3m)=-m2+3m,.當(dāng)m=-時(shí)， PEB的面積最大，此時(shí) P (-, ), H 2243、(,3),21 FK= 2OF ,1.一，1 - HF+ 2-FO =FH + FK= HK,此時(shí) HF+ qOF 的值最

17、小,_1- 1.SOGH= 1?HG?OC= 1?OG?HK,HK =3 X (V3+ 3)_2+察133V3hf+ 2of的最小值為=2+彳3,如圖2中，由題意CH=/CF=搟QF = J CQ = 1,.Q (T, 3), D (2, 4), DQ= vl0,當(dāng)DQ為菱形的邊時(shí)，則 DQ = QS1 =m，而點(diǎn) Q ( 1, 3),則點(diǎn) S1 (T, 3-小)，同理可得：S2 ( - 1, 3+ v10) , S4 (5, 3);當(dāng)DQ為對(duì)角線時(shí)，同理可得 S3 ( - 1, 8),綜上所述，滿足條件的點(diǎn)S坐標(biāo)為(-1, 3- a40)或(-1, 3+V而)或(-1, 8)或(5, 3).

18、v2【變式訓(xùn)練1】如圖1,拋物線y= tx2+2x-62交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于C點(diǎn)，D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，連接 AC、AD、CD.(1)求 ACD的面積；(2)如圖1,點(diǎn)P是線段AD下方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)P作PE/y軸分另1J交AC于點(diǎn)V5E,交AD于點(diǎn)F,過(guò)P作PGLAD于點(diǎn)G,求EF+FG的最大值，以及此時(shí) P點(diǎn)的坐 標(biāo)；(3)如圖2,在對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M,在y軸上有一動(dòng)點(diǎn) N,是否存在以BN為直角邊的等腰 RtABMN?若存在，求出點(diǎn) M的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.裝D圖1圖2【解答】解：(1)令 x=0,得 y= Jx2+2x-6v2= - 6

19、V2,.C (0, - 6V2),令 y= 0,彳導(dǎo) y= 4-x2+2x - 6v2 = 0,解得，x= - 6v2或 2V2A ( 6或,0),點(diǎn) B (2v2, 0),設(shè)直線AC的解析式為：y= kx+b （kw。）,則-6 蒞?+_?= 0 ?= -6 v2?= -1?= -6 v2直線AC的解析式為：y = - x- 6V2 ,. y=32+2x 6V2=*(x+2v5) 2-8v5,D (- 2v2, - 8V5),貝U N ( - 2V2 - 4v2), . .? 4 v2過(guò)D作DM，x軸于點(diǎn)M ,交AC于點(diǎn)N ,如圖1,11_ACD 的面積=2?= 2 X4V2 X 6v2 =

20、 24 ;(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H, 由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，直線 AD的表達(dá)式為：y= - 2x- 126, 故 tan/FDH=2,貝U sin / FDH = 2L,. Z HDF + Z HFD =90 , / FPG + /PFG = 90 ,而/ HFD = Z PFG,_?在RtAPGF中，不=金蘇?/?-=&G/ ?辯，設(shè)點(diǎn)P25FG= EF+PF= EP, 這 2 一 一二 (x, x +2x- 6v2),則點(diǎn)E (x,x- 6v2),V5_ CL f-FG = EF+ PF = EP = - x-6v2 -(-42x2+2x-6 z = - 1x2

21、-3x,-10,故EP有最大值，此時(shí)x=?- -,9v22?= - 32,取大值為、r - r2 9-當(dāng) x= - 3V2時(shí)，y= x2+2x - 6交=-故點(diǎn)P (- 3V2,15V2、丁)；(3)存在，理由：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m, n),則n= Jm2+2m - 6七，點(diǎn)N (0, s),(I )當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，當(dāng)/ MNB為直角時(shí)，如圖 2,過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn) B與y軸的平行線于點(diǎn) H,交過(guò)點(diǎn)M與y軸的平行線于點(diǎn). / MNG+/BNH =90 , / MNG+ /GMN = 90 ,./ GMN =/ BNH ,. / NGM =/BHN = 90 , MN = BN,NGM

22、A BHN (AAS),.GN=BH, MG = NH,即 n s= 2V2且m= s(D ,聯(lián)立 并解得：m= - 2v2 2v10 (舍去正值)，故 m= - 2v2- 2v10;當(dāng)/ NBM為直角時(shí)，如圖3,圖3過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn) N與x軸的平行線于點(diǎn) G,交過(guò)點(diǎn)M與x軸的平行線于點(diǎn)同理可證： MHBBGN (AAS),貝U BH = NG,即 n= - 2v2,當(dāng) n=-2 樓時(shí)，一m?= ?=故拋物線的表達(dá)式為y= - 4x2+：x+2；+2m-6v2 = - 2/,解得：m= - 2v2 2v3 (舍去正值)，4故 m= - 2v- 2v3;(n )當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，同理

23、可得：m= - v- 誨或-36-v34;綜上，點(diǎn) M的橫坐標(biāo)為-2V2- 2V10或-2v2 - 2v6或-22- 聲或-3V2 - v34.【變式訓(xùn)練2】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c (aw0)與x軸交于點(diǎn)A(-2, 0),點(diǎn) B (4, 0),與 y 軸交于點(diǎn) C (0, 2).(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PHx軸于點(diǎn)H,交直線BC于點(diǎn),、 石 Q,求PQ+(CQ的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)；5(3)如圖2,將拋物線沿射線 BC的方向平移 V5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線 y1 = a1x2+b1x+C1 (a1w0)

24、,新拋物線與原拋物線交于點(diǎn) G.點(diǎn)M是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是新拋 物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn) C、G、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) N的?= 2(2)由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線 BC的表達(dá)式為y= - 1x+2, TOC o 1-5 h z 12 31設(shè)點(diǎn) P (m, - 4m2+)m+2),則點(diǎn) Q (m, - m+Z),過(guò)點(diǎn)Q作QH，y軸于點(diǎn)H,? 1由點(diǎn) B、C 的坐標(biāo)知，CO = 2, OB = 4,則 tan/ CBO= ?= - = tan/ CQH ,則 sin/ CQH =貝U CH=CQsin/CQH= ?CQ= CH = yc yH= 2 (-2m+2)=4m, 52

25、2則 PQ+ -CQ=- -1m2+ 3m+2) - -1m+2)+ 1m=- 1m2+ 3m,5422/242- 10,故PQ+ ?CQ有最大值， 45當(dāng)m=3時(shí)，PQ+ ?CQ最大值為9,此時(shí)點(diǎn)P (3,-); 544(3)將拋物線沿射線 BC的方向平移 算個(gè)單位長(zhǎng)度，則向左平移了2個(gè)單位，向上平移了 1個(gè)單位，則拋物線的拋物線為 y= - 4 (x+1) 2+ 2 (x+1) +2+1 = - 4x2-3+3；?= 19聯(lián)立 并解得c9,故點(diǎn)G (1,-), ?= 44設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x, - 1x2- 1x+3),當(dāng)CG是邊時(shí)，將點(diǎn)C向上平移1個(gè)單位彳#到點(diǎn) G,則點(diǎn)N (M)向上平移個(gè)單位得到 M (N), 44即-4x2- ；x+31 = 0,解得 x=- 1 v10或 122,11故點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(-1+J0,)或(-1- M0,;)或(-1+22, - 1)或(-1- 2v2,-1).4J，當(dāng)CG是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：1(2+9) = 1 (- 1x2-卜+3), 24242整理得：x2+2x+5=0,. 0,故該方程無(wú)解；綜上，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(-1 + vT0, 一)或(-1- vTO,)或(-1+2送，- !)或(-1-444【變式訓(xùn)練3】如圖1,拋物線y=ax2+ (a+3) x+3 (aw0)與x軸交于點(diǎn)A (4, 0),與y軸 交