概率論期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)-供參考

1、知識(shí)點(diǎn)第一章 隨機(jī)事件與概率 本章重點(diǎn)：隨機(jī)事件的概率計(jì)算 1*事件的關(guān)系及運(yùn)算 (1) (或) (2) 和事件： ； （簡(jiǎn)記為） (3) 積事件： ， （簡(jiǎn)記為或) (4) 互不相容：若事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即 (5) 對(duì)立事件： (6) 差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，記作(或) (7) 德摩根（De Morgan）法則：對(duì)任意事件A和B有, . 2 *古典概率的定義古典概型：幾何概率 3*概率的性質(zhì) (1) (2) (有限可加性) 設(shè)n個(gè)事件兩兩互不相容，則有 (3) (4) 若事件A，B滿足，則有, (5) (6) (加法公式) 對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B，有.對(duì)于任意n個(gè)事件，有

2、. 4*條件概率與乘法公式. 乘法公式： . 5*隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件一： ，事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件二： 對(duì)于任意n個(gè)事件相互獨(dú)立性定義如下：對(duì)任意一個(gè)，任意的，若事件總滿足，則稱事件相互獨(dú)立這里實(shí)際上包含了個(gè)等式 6*貝努里概型與二項(xiàng)概率 設(shè)在每次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的概率，則在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，事件恰發(fā)生次的概率為， 7*全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式：如果事件兩兩互不相容，且，則第二章 一維隨機(jī)變量及其分布本章重點(diǎn)：離散型和連續(xù)性隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算概率論主要研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也稱這個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律為隨機(jī)變量的分布 1*離散型隨機(jī)變量及

3、其分布律分布律也可用下列表格形式表示： 2*概率函數(shù)的性質(zhì) (1) ， (2) 3*常用離散型隨機(jī)變量的分布 (1)01分布，它的概率函數(shù)為，其中，或1， (2)二項(xiàng)分布，它的概率函數(shù)為，其中， ()*泊松分布，它的概率函數(shù)為，其中，4*二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率 二維離散型隨機(jī)變量的分布可用下列聯(lián)合概率函數(shù)來表示：其中， 5*二維離散型隨機(jī)變量的邊緣概率 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，為其聯(lián)合概率（），稱概率為隨機(jī)變量的邊緣分布律，記為并有，稱概率為隨機(jī)變量Y的邊緣分布率，記為，并有 =. 6隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，與相互獨(dú)立的充分必要條件為 多維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性可類似

4、定義即多維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性有與二維相應(yīng)的結(jié)論7*隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)已知函數(shù)，是隨機(jī)變量的函數(shù)，它也是一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)離散型隨機(jī)變量，下面來求這個(gè)新的隨機(jī)變量的分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù)可由下表求得但要注意，若的值中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，同時(shí)把對(duì)應(yīng)的概率相加第三章 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 本章重點(diǎn)：一維及二維隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算,邊緣分布和獨(dú)立性計(jì)算 1*分布函數(shù) 隨機(jī)變量的分布可以用其分布函數(shù)來表示， 2分布函數(shù)的性質(zhì) (1) (2) ; 由已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，可算得落在任意區(qū)間內(nèi)的概率 3聯(lián)合分布函數(shù) 二

5、維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) 4聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) (1) ； (2) ，； (3) 5*連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任一實(shí)數(shù)，有成立，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 6*概率密度及連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)（）（）； （）； （4）設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)c，； (5)設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，則有 7*常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 (1)均勻分布，它的概率密度為其中， (2)指數(shù)分布，它的概率密度為其中， (3)正態(tài)分布，它的概率密度為 ，其中，當(dāng)時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它的概率密度為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)

6、記作，即， 當(dāng)出時(shí)，可查表得到；當(dāng)時(shí)，可由下面性質(zhì)得到設(shè)，則有 ；*二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)，如果存在一個(gè)二元非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù)有成立，則為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度 *二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度的性質(zhì) (1) ； (2) ； (3) 在的連續(xù)點(diǎn)處有 ; (4) 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)平面上任一區(qū)域有 1，*二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度，則的邊緣概率密度為；的邊緣概率密度為 11常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (1)均勻分布 如果在二維平面上某個(gè)區(qū)域G上服從均勻

7、分布，則它的聯(lián)合概率密度為 (2) 二維正態(tài)分布 如果的聯(lián)合概率密度則稱服從二維正態(tài)分布，并記為. 如果，則，即二維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布 12*隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 ， 那么，稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則與相互獨(dú)立的充分必要條件為 如果那么，與相互獨(dú)立的充分必要條件是第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 本章重點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望。方差的計(jì)算 1*數(shù)學(xué)期望 設(shè)是離散型的隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為則定義的數(shù)學(xué)期望為； 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則定義的數(shù)學(xué)期望為 2*隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率函數(shù)則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為； 3*數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1) (其中c為常數(shù))； (2) (為常數(shù))； (3) ； (4) 如果與相互獨(dú)立，則. 4*方差與標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)變量的方差定義為計(jì)算方差常用下列公式： 當(dāng)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為則的方差為； 當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則的方差為.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差的算術(shù)平方根. 5*方差的性質(zhì) (1) (c是常數(shù))； (2) (為常數(shù))； (3) 如果與獨(dú)立，則. 6原點(diǎn)矩與中心矩 隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩定義為； 隨機(jī)變量的階中心矩定義為； 7*常用分布的數(shù)字特征 (1) 當(dāng)服從二項(xiàng)分布時(shí)，