人口增長logistic模型的擬合

1、人口增長logistic模型的擬合李月 200911131952譚結 200911131959劉延卿 200911131915問題摘要關于人口模型的研究，我們已經有很多方法。這個題目要求我們用LOGISTIC模型來擬合 美國人口數(shù)據(jù)。了解到LOGISTIC模型的性質和原理之后，我們根據(jù)老師給出的數(shù)據(jù)： 17901800 1810 1820 1830 1840 1850 TOC o 1-5 h z 5.37.29.612.917.123.2186018701880189019001910192038.650.262.976.092.0106.519301940195019601970198019

2、902000123132151179204227251281分為以下幾個步驟來進行估計。首先，我們把離散的數(shù)據(jù)全部利用起來，已經知道，LOGISTIC模型中，x=rx-1k)是關 鍵的函數(shù)，我們需要做的事情就是通過離散的數(shù)據(jù)來估計函數(shù)中出現(xiàn)的系數(shù)，r以及k， 先擬合線性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我們編 寫了一個for循環(huán)語句，在MATLAB中實現(xiàn)對方程的參數(shù)的估計。其次，我們以此近似值為參數(shù)的初值擬合非線性函數(shù)y=k/1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t) 需要做的就是能夠盡量好的估計參數(shù)k，r。同樣我們利用非線性擬合，就可以

3、得到一個更 加好的參數(shù)估計。在MATLAB中實現(xiàn)。最終我們得到結果： (需要完善的部分)1關鍵詞LOGISTIC模型非線性擬合循環(huán)語句參數(shù)估計 內稟增長率2問題的重述.用人口增長的Logistic模型dy/dt=r(1-y/K)y擬合美國人口數(shù)據(jù):17901800 1810 1820 1830 1840 18505.37.29.612.917.123.21860 1870 1880 1890 1900 1910192038.650.262.976.092.0106.51930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 123132151179204227251281

4、3問題的分析問題的關鍵是要做一個LOGISTIC模型。在模型的建立中，至關重要的是對參數(shù)的估計。我們知道的LOGISTIC模型，x=rx(1-x/k)是這個模型的基礎，所以我們最重要的任務就是 要合理估計參數(shù)。分為以下幾個步驟來進行估計。1我們把離散的數(shù)據(jù)全部利用起來，已經知道，LOGISTIC模型中，x=rx(1-x/k)是關鍵的函數(shù)，我們需要做的事情就是通過離散的數(shù)據(jù)來估計函數(shù)中出現(xiàn)的系數(shù)，r以及k，2先擬合線性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我們編 寫了一個for循環(huán)語句，在MATLAB中實現(xiàn)對方程的參數(shù)的估計。3我們以此近似值為參

5、數(shù)的初值擬合非線性函數(shù)y=k/1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)需要做的就是能夠盡量好的估計參數(shù)k，r。同樣我們利用非線性擬合，在MATLAB中實 現(xiàn)運行。4符號說明及問題假設4-1符號說明(注：由于我們主要任務是估計參數(shù)，其實沒有實際太多的符號說明，這里就給出一些MATLAB中的字母代表的意義，方便大家理解)NTr(r(N)率K人口數(shù)目，以一個人為單位時間，這里指的也是年份內稟增長率，就是在沒有外界自然條件限制下的自然增長率，理想狀態(tài)下的增長環(huán)境承載力或飽和水平，k- 8時，模型退化為Malthus模型4-2問題假設假設1.人群個體同質。假設2.群體規(guī)模大。假設3.群體封閉，只考慮

6、生育和死亡對人口的影響。假設4.從大群體的平均效應考慮生育和死亡對人口的影響。(生育率和死亡率)假設5.群體增長平穩(wěn)。假設6.個假設60:在有限的資源內生物種群存在有飽和水平，r為N的線性減函數(shù)，有零點K .5模型的建立5.1背景知識介紹有關LOGISTIC模型：在Marthus模型的基礎上我們建立了 LOGISTIC模型，只需要修改Marthus模型中的假設 六，我們就得到了一個更加接近實際情況的模型，就是LOGISTIC模型，在這個模型里， 我們增加了限制，對人類的個體增長進行了控制，不再是個體獨立增長，二十有了環(huán)境承載 力，K.增加了這個參數(shù)，當k無窮大的時候，LOGISTIC模型就接近

7、于Marthus模型。5.2對問題的初步分析首先，我們先處理老師給出來的數(shù)據(jù)，17901800 1810 1820 1830 1840 1850 TOC o 1-5 h z 5.37.29.612.917.123.2186018701880189019001910192038.650.262.976.092.0106.519301940195019601970198019902000123132151179204227251281繪制一個人口與時間的關系的圖像(貼圖) 分析離散的數(shù)據(jù)，我們確定要建立的模型是:dN (t)N (t )、 TOC o 1-5 h z 一-一 =r (1 ) N (t) dt