甘肅省白銀市第十一中學(xué)甘肅白銀謝海平

1、甘肅省白銀市第十一中學(xué) 甘肅 白銀 謝海平730900 電子郵箱： 例談存在型問題的解法隨著新課程改革的不斷深入，近年來的競賽、中考數(shù)學(xué)試題出現(xiàn)了大量的、內(nèi)容豐富的、形式多樣的能力型試題。其中存在型問題就像一顆顆璀璨的“明珠”,常考常新,備受命題者的青睞。是否存在型探索性問題是指具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在，或數(shù)學(xué)對象是否具有某種性質(zhì). 是否存在型探索性問題,由于存在與否是未知的,往往難以入手,解這類問題的一般的求解方法是：假設(shè)結(jié)論存在，然后根據(jù)題意列出滿足條件的等式（方程或方程組）或不等式（組），如果求出的結(jié)論符合已知條件則結(jié)論存在；如果求出結(jié)論不符合已知條件或與定理、公理等相矛盾，則結(jié)論

2、不存在。例1已知數(shù)列中，且對于任意自然數(shù)，總有，是否存在實(shí)數(shù)，使得對于任意自然數(shù)恒成立？證明你的結(jié)論解：是一個(gè)一般性的結(jié)論，為了探求是否存在，我們可從特殊的n出發(fā)，求出的值，再檢驗(yàn)是否滿足一般的條件由，代入，可解得代入檢驗(yàn)，可知當(dāng)時(shí)，一方面由得，另一方面，由得，矛盾所以，這樣的實(shí)數(shù)不存在例2.如圖所示，已知A(1,0)、B（，）為直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且OC=2OA，以A點(diǎn)為圓心、OA為半徑作A。直線CD切A于D點(diǎn)，連結(jié)OD。 （1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）求經(jīng)過O、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式； （3）判斷在（2）中所得的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使DCPOCD？若存在，求出P點(diǎn)坐

3、標(biāo)；若不存在，請說明理由。 分析：本例是是否存在性探索型題目。欲判斷上是否存在一點(diǎn)P，使DCPOCD，可從代數(shù)、幾何兩個(gè)方面入手去考慮。從代數(shù)入手，可先求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后證明該點(diǎn)在A上，進(jìn)而證明該點(diǎn)滿足條件DCPOCD。從幾何入手，可先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P(m ,n),使得DCPOCD,通過計(jì)算進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：（1）連結(jié)AD，則ADCD于D,作DEOA于E。 點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），且OC=2OA，AC=3， sinACD= = , sinADE= , AE=,因而OE=1=， DE=， D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。（2）設(shè)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O(0,0)、B（，）、D（，）

4、, 則C=0，且 =+ =+解得： a= b= 所求的拋物線的解析式為y =- x2 +x（3）設(shè)A與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F(2,0)，連結(jié)DF， CD切A于D，CDO=CFD， 又DCO=FCD，OCDDCF， 將x=2代入y =- x2 +x中，得y=0， F（2，0）在拋物線上， 點(diǎn)F即為所求的P點(diǎn)， 拋物線y =- x2 +x上存在一點(diǎn)P，使PCDDCO。 例3.設(shè)P是任一奇質(zhì)數(shù)，試證：一定存在著整數(shù)x、y使得二次三項(xiàng)式5x2+11y2-1是P的倍數(shù)。分析：此題中P是任意奇質(zhì)數(shù)，導(dǎo)致確定x,y這兩個(gè)變數(shù)非常困難，但是假設(shè)x=y時(shí)，這樣的問題就變二元為一元，從而問題簡單化了。證明：假設(shè)xy，則5x2+11y2116x214x1）（4x1）已知為奇質(zhì)數(shù)，不妨設(shè)P2n1（為正整數(shù)），顯然，若取xn2，則4x14n2=（2n1）（2n1）P（2n1）此時(shí)16x21P（2n1）（4n21）因此二次三項(xiàng)式5x2+11y2-1是P的倍數(shù)。存在型問題由于選擇范圍廣,覆蓋知識面大,具有較強(qiáng)的綜合性,對所使用的解題方法也有較高的