K不確定環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)模型9

1、Knight不確定環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)模型OPTION PRICING UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY周娟1韓立巖2 . . . . 一 . . . .一. . . . . . . . . . . . . . .韓立巖，北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向：宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融投資學(xué)，通訊地址：北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，100083;周娟，北京航空航天大學(xué)管理科學(xué)與工程專業(yè)博士研究生，主要研究方向：金融資產(chǎn) 定價(jià)理論；鄭承利，北京大學(xué)深圳研究生院博士后，主要研究方向：金融工程。鄭承利3摘要：傳統(tǒng)的金融學(xué)主要研究的是投資個(gè)體在風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中投資組合選擇和資產(chǎn)

2、定價(jià)問題。而knight不確定性與風(fēng)險(xiǎn)是有區(qū)別的。風(fēng)險(xiǎn)(risk)是概率分布唯一存在的、在數(shù)量上可確定的、封閉和完備的那種不確定性，而Knight不確定性則是指不具有這些性質(zhì)的、易受“潛在意外”和新事物影響而經(jīng)常變化的不確定性，這種不確定性不能被單一概率所揭示。Ellsberg悖論指出Knight不確定性的存在確實(shí)會(huì)影響當(dāng)事人的選擇行為。Knight不確定環(huán)境下的基礎(chǔ)資產(chǎn)定彳已經(jīng)取得重大突破(Epstein, 1994)。本文此基礎(chǔ)上提出Knight不確定環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)方法，為衍生金融工具的定價(jià)提供一條新思路。本文利用“模糊測(cè)度和Choquet積分來(lái)導(dǎo)出Knight不確定環(huán)境下歐式無(wú)紅利期權(quán)

3、的價(jià)格表示。認(rèn)為在knight環(huán)境下期權(quán)的價(jià)格是一個(gè)區(qū)間而不是某個(gè)特定得值。該種方法在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的使用前景。關(guān)鍵詞：Knight不確定性，期權(quán)定價(jià)，1模糊測(cè)度，Choquet積分.引言主流的資產(chǎn)定價(jià)理論，包括被Cochrane(2001)認(rèn)為是金融資產(chǎn)定價(jià)的兩根“支柱”的均衡定價(jià)理論和套利定價(jià)理論，總是假定投資者不但清楚地知道未來(lái)可能出現(xiàn)哪些不確定性狀態(tài)，而且能夠?qū)ζ浒l(fā)生的概 率做出估計(jì)一一這些估計(jì)至少在投資者看來(lái)是可靠的，他們正是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行選擇或決策。這種處理外 部不確定環(huán)境的手法是從經(jīng)濟(jì)學(xué)那里承襲來(lái)的，新古典學(xué)派的理性經(jīng)濟(jì)人模型等經(jīng)濟(jì)學(xué)研究都普遍使用該 方法。事實(shí)上，面對(duì)充

4、滿了不確定因素的金融市場(chǎng)，這個(gè)假定是有局限性的。Knight(1921)和Keynes(1921)在不同場(chǎng)景下對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和不確定性都作了相同的辨析，指出了可知的不確定性(風(fēng)險(xiǎn))和不可知的不確定性(真正的不確定性)的本質(zhì)差異。其后的研究者常常將“真正”的不確定性稱為“Knight不確定性(Knightian uncertainty)或不明確性(ambiguity)”,并在模型研究中將風(fēng)險(xiǎn)(risk)限定為概率分布唯一存在的、 在數(shù)量上可確定的、封閉和完備的那種不確定性，而設(shè)定 Knight不確定性為不具有這些性質(zhì)的、易受“潛 在意外”和新事物影響而經(jīng)常變化的不確定性。Knight不確定性的本質(zhì)并非

5、“未知”而是不可知，處理未知可以使用貝葉斯方法，而處理不可知?jiǎng)t需要完全不同的方法。Ellsberg(1961)基于實(shí)驗(yàn)提出了著名的Ellsberg悖論，指出 Knight不確定性的存在確實(shí)會(huì)影響當(dāng)事人的選擇行為，這種行為無(wú)法用單一概率測(cè)度的觀點(diǎn)加以解釋。因?yàn)檫@里的概率測(cè)度不但違背了著名的VonNeumann-Morgenstern公理系統(tǒng)，甚至違背 Savage(1954)提出的主觀概率存在的公理體系，而這些體系是 主流經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)討論風(fēng)險(xiǎn)決策時(shí)所必須遵循的基本原則。由 Ellsberg悖論引發(fā)了大量實(shí)證研究，其中 既有基于實(shí)驗(yàn)的也有基于市場(chǎng)的，這些內(nèi)容在Camerer and Weber(

6、1992)中有很好的綜述。由于利息過程和紅利過程都面臨 Knight 不確定性(Papamarcou and Fine(1991)、Barsky and Delong(1992),因此資產(chǎn)定價(jià) 研究也需要考慮 Knight不確定性。通過研究Knight不確定性，金融市場(chǎng)一些現(xiàn)存的謎，例如價(jià)格突變、資產(chǎn)收益率的超額波動(dòng)性、經(jīng)紀(jì)商的買賣差價(jià)、期權(quán)平價(jià)公式的背離以及投資組合慣性等，都能得到較好 地解釋(Basili(2001) )。Miao and Wang(2004)甚至發(fā)現(xiàn)Knight不確定性會(huì)影響美式期權(quán)執(zhí)行時(shí)間的決定。Epstein and Wang(1994)將Lucas無(wú)限期經(jīng)濟(jì)人代表模

7、型擴(kuò)展到Knight不確定環(huán)境下，討論了證券的均衡定價(jià)問題。其中經(jīng)濟(jì)人代表的信念被描述成一個(gè)概率測(cè)度集合，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出連續(xù)均衡價(jià)格過程，發(fā)現(xiàn)均衡價(jià)格有不唯一的可能性，證明了同時(shí)存在的多個(gè)均衡價(jià)格必然分布在同一個(gè)連通閉集內(nèi)的結(jié)論， 并在此基礎(chǔ)上很好地解釋了超額波動(dòng)現(xiàn)象。Epstein and Wang(1995)進(jìn)一步放寬了上述條件，允許不連續(xù)均衡價(jià)格在一定范圍內(nèi)存在，解釋了外界條件沒有發(fā)生顯著變化時(shí)證券價(jià)格也可能發(fā)生突變的奇異現(xiàn)象。Epstein and Chen(2002)還將上述模型擴(kuò)展到連續(xù)時(shí)間場(chǎng)合，同樣得到了類似的結(jié)論。文獻(xiàn)調(diào)研表明，資產(chǎn)定價(jià)研究中的 Knight不確定性已經(jīng)為越來(lái)

8、越多的研究者所重視，在基礎(chǔ)資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域已經(jīng)取得突破，衍生資產(chǎn)定價(jià)研究的大門也正在開啟。盡管已經(jīng)出現(xiàn)了一些觸及Knight環(huán)境下衍生產(chǎn)品定價(jià)問題的研究，例如Mceneaney(1997)用穩(wěn)健性控制方法給完全市場(chǎng)中只考慮風(fēng)險(xiǎn)的環(huán)境下的期權(quán)進(jìn) 行定價(jià)，得出了與傳統(tǒng)的B-S公式相一致的結(jié)果；鄭承利(2003)采用基于非可加測(cè)度的模糊期權(quán)定價(jià)方法對(duì)市政債券發(fā)債規(guī)?？刂七M(jìn)行了實(shí)證研究；Miao and Wang(2004)關(guān)于Knight不確定性對(duì)美式期權(quán)執(zhí)行時(shí)間決定的影響的理論研究等，但是都尚未深入。然而在一個(gè)完整的資產(chǎn)定價(jià)體系中，衍生產(chǎn)品定價(jià)是不可或 缺的基本組成部分，所以有必要系統(tǒng)地研究 Knig

9、ht不確定性環(huán)境下期權(quán)定價(jià)的理論和方法。本文旨在提出一種基于Knight不確定環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)方法。.用方模糊測(cè)度表征Knight不確定性環(huán)境下投資者個(gè)體的信念用來(lái)描述Knight不確定性下的個(gè)體信念迄今為止有兩種方法，其一是以Epstein and Wang(1994, 1995)為代表的多先驗(yàn)概率模型。個(gè)體的期望效用表示為fdP儂)三min fdm : m w P(o )。未來(lái)的不明確性用一族概率測(cè)度來(lái)表述，P( 3)就是這樣的一個(gè)概率測(cè)度族。它表示如果現(xiàn)在的狀態(tài)是3,則P(co)包含了將來(lái)出現(xiàn)各個(gè)狀態(tài)的概率的所有可能值m。值得注意的是 P(co)中的元素m是一個(gè)定義在(Q2)上的概率測(cè)度

10、，而不是某個(gè)特殊狀態(tài)的概率值。它實(shí)際上是選取得所有概率測(cè)度下的最小的期望值。另一種表達(dá)信念的方 法是以Chateauneuf(1991)等為代表的用一個(gè)非可加測(cè)度(容度)和基于非可加測(cè)度的Choquet積分來(lái)表征個(gè)體的效用評(píng)價(jià)，并且指出了在滿足某些條件的前提下，兩種方式是等價(jià)的。本文遵循著后一種方法，即用一個(gè)非可加測(cè)度來(lái)表征個(gè)體效用。在這里我們使用一種特殊的非可加測(cè)度，即“模糊測(cè)度來(lái)表示Knight不確定環(huán)境下的投資人信念。令為自然狀態(tài)空間，2為的子集所構(gòu)成的 b代數(shù)。定義1: 一個(gè)定義在 2上的實(shí)值集函數(shù) V是一個(gè)容度，如果它滿足：(a) 乂?)=0 , 乂 0=1 (b)單調(diào)性，即VA、B

11、W2若AUB,則 代) (B)。 進(jìn)一步地，若 Y還滿足燈A、BWN,有/AUB)+ MAcB)之MA)+ /B),則稱丫是凸容度；若 AkJB)+ ada 定義3 (Wang and Kilr, 1992) : g 2伐 川是一個(gè) 2上的 紀(jì)模糊測(cè)度當(dāng)且僅當(dāng)：晦1口(1 + + (En)-1,九 #0 TOC o 1-5 h z (a)它滿足/入-規(guī)則，即存在九w (產(chǎn))=0使得H(J En) =n_ 0cl,SUPn- J(En), =0其中對(duì)于2中的不交序列E n有SUpN =SUPe立N(E)。、 一(b)至少存在一個(gè)集合 EC 2有ME)J(St K)1st xdx；11 rf 0

12、HYPERLINK l bookmark17 o Current Document *1以及 cu =(c) “St K)1STdv”。1(1)若在1期，股票價(jià)格有兩個(gè)狀態(tài)，即uS、dS,為避免退化的情況，u1+rf01 + % | 九 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document *131 I Ic = -r(1+九)u -1 L(uS -K )九 0,九1+門住于是，當(dāng)入冬時(shí)，c：c構(gòu)成一個(gè)期權(quán)的價(jià)格區(qū)間。同樣地，對(duì)于看跌期權(quán)有：-1一1u”f)p = 卜1+九)u -1 (K-dS) 1十八 |九1 一1 二二 1*，=(1+九)u -1 (KdS)

13、九=1+rf 3一這與Epstein(1994)中所指出的，在Knight不確定環(huán)境下，金融資產(chǎn)的均衡價(jià)格是一個(gè)區(qū)間而不是一個(gè)確定 的值，在思路上是一致的。當(dāng)期末標(biāo)的資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布時(shí)，情況會(huì)變得復(fù)雜些，下面我們簡(jiǎn)單的進(jìn)行一下討論。(2)若在期末，股票收益率服從正態(tài)分布，易知風(fēng)險(xiǎn)中性概率上丁弓1 一二仙&：eJK (丁(1+1)-1) dx.Q也是正態(tài)分布的，則其中dir*cfT 二-e 3 Kd（j嚴(yán) N1d）嚶”0,In x So - rfrT 二e2,TN T(8)狂0,結(jié)果則與Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式一致。這說明， B-S公式?jīng)]有考慮信息的不明確性對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的影響

14、。同理可得看跌期權(quán)的定價(jià)公式:其中d2p九二-T* eP =In x S0 - rf -02 2二 T14c/p-12e10J （一 ）墨=1）dx九 0fT K（f）2胤散;Nd2dx, KT1十九，產(chǎn)Te.T（2 一 1FLpUt12345678910lanbuda圖1:歐式期權(quán)價(jià)值隨入變化圖圖1指出歐式期權(quán)隨 入的值變化而使得交易區(qū)間不斷增大。這意味著當(dāng)投資人個(gè)體的信息越來(lái)越模糊時(shí)，期權(quán)的均衡價(jià)格范圍也越來(lái)越大。值得指出的是，鄭承利(2003)中也提出了異質(zhì)經(jīng)濟(jì)人環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)方法，其中也用到了“模糊測(cè)度，雖然推導(dǎo)過程相似，但經(jīng)濟(jì)原理顯然不同。在鄭承利 (2003)中所考慮的是異質(zhì)經(jīng)濟(jì)

15、行為人對(duì)市場(chǎng)信息不同的處理方式最終導(dǎo)致不同的均衡價(jià)格，而其本質(zhì)上還是在風(fēng)險(xiǎn)的環(huán)境下考慮期權(quán)定價(jià)問題。本文是在經(jīng)濟(jì)代表人面臨 Knight不確定環(huán)境的期權(quán)定價(jià)問題的研究。從研究對(duì)象上來(lái)說，經(jīng)濟(jì)環(huán)境不一樣，經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)也不同。因此這個(gè)結(jié)果所表示的經(jīng)濟(jì)含義也截然不同。雖然兩者最后都?xì)w到一個(gè)價(jià)格區(qū)間，然而鄭承利(2003)中的價(jià)格區(qū)間所反映的是經(jīng)濟(jì)人由于對(duì)市場(chǎng)的看法不同故價(jià)格會(huì)受到經(jīng)濟(jì)人行為的影響，在這種情況下要解釋均衡是比較困難的。本文是代表經(jīng)濟(jì)人模型，均衡的問題比 較容易處理，同時(shí)均衡價(jià)格在一個(gè)區(qū)間內(nèi)則是因?yàn)榇砣怂莆盏男畔⒔Y(jié)構(gòu)不完全所導(dǎo)致。5.結(jié)論風(fēng)險(xiǎn)和Knight不確定性(有時(shí)也稱不明確性(am

16、biguity )有本質(zhì)差異。通常風(fēng)險(xiǎn)(risk)可以被唯一的概率測(cè)度所描述，而在Knight不確定性情況下，投資者對(duì)未來(lái)的主觀評(píng)估不能用唯一的概率來(lái)表示。通常是用一族概率測(cè)度或某個(gè)非可加概率來(lái)表示。本文我們使用 “模糊測(cè)度和Choquet積分來(lái)表達(dá)經(jīng)濟(jì)行為人的信念。并且指出，當(dāng) 入仔，意味著經(jīng)濟(jì)彳T為人面臨Knight不確定性。當(dāng) 40時(shí)，個(gè)體表現(xiàn)出對(duì) Knight不確定性的厭惡態(tài)度，并且隨著入值的增大，經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來(lái)越悲觀的心態(tài)；而當(dāng)K0時(shí)，個(gè)體表現(xiàn)出對(duì)Knight不確定性的喜好態(tài)度，并且隨著 入值的減小，經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來(lái)越樂觀的心態(tài)?；凇澳：郎y(cè)度和Choquet積分，我們證明

17、了 Knight不確定環(huán)境下，無(wú)紅利歐式期權(quán)的均衡價(jià)格是一個(gè)區(qū)間而不是一個(gè)確定的值，這將為 Knight不確定環(huán)境下衍生資產(chǎn)定價(jià)的進(jìn)一步研究提供一些思路。參考文獻(xiàn)：Barsky, R. B., and J. B. Delong (1992): Why Does the Stock Market Fluctuate?” NBER WorkingBasili, M. (2001): Knightian Uncertainty in Financial Markets: An Assessment-26, Economic NoteCamerer, C., and M. Weber (1992):

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