數(shù)值分析報(bào)告試的題目及問題詳解解答

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1. 3.142和3.141分別作為的近似數(shù)具有（ ）和（ ）位有效數(shù)字. A4和3 B3和2 C3和4 D4和42. 已知求積公式，則（ ）A B C D3. 通過點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)滿足（ ） A0， B 0， C1， D 1，4. 設(shè)求方程的根的牛頓法收斂，則它具有（ ）斂速。 A超線性 B平方 C線性 D三次5. 用列主元消元法解線性方程組作第一次消元后得到的第3個(gè)方程（ ）. A B C D HYPERLINK /szfx/material/mnst/t1.htm l # 單項(xiàng)選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分評(píng)

2、卷人 二、填空題（每小題3分，共15分）1. 設(shè), 則 ， .2. 一階均差 3. 已知時(shí)，科茨系數(shù)，那么 4. 因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上滿足 ，所以在區(qū)間內(nèi)有根。5. 取步長，用歐拉法解初值問題的計(jì)算公式 .HYPERLINK /szfx/material/mnst/t1.htm l # 填空題答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得 分評(píng)卷人 三、計(jì)算題（每題15分，共60分）1. 已知函數(shù)的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計(jì)算的近似值.HYPERLINK /szfx/material/mnst/t1.htm l # 計(jì)算HYPERLINK /szfx/material/mnst/t1.htm

3、 l # 題1.答案 1. 解 ， ，所以分段線性插值函數(shù)為 2. 已知線性方程組（1） 寫出雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式；（2） 對(duì)于初始值，應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計(jì)算（保留小數(shù)點(diǎn)后五位數(shù)字）.HYPERLINK /szfx/material/mnst/t1.htm l # 計(jì)算題2.答案 1.解 原方程組同解變形為雅可比迭代公式為高斯塞德爾迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯塞德爾迭代公式得3. 用牛頓法求方程在之間的近似根（1）請(qǐng)指出為什么初值應(yīng)取2？（2）請(qǐng)用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.HYPERLINK /szfx/material/mnst/t1.

4、htm l # 計(jì)算題3.答案 3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式為， ， 方程的根 4. 寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計(jì)算積分.HYPERLINK /szfx/material/mnst/t1.htm l # 計(jì)算題HYPERLINK /szfx/material/mnst/t1.htm l # 4.答案 4 解 梯形公式 應(yīng)用梯形公式得 辛卜生公式為 應(yīng)用辛卜生公式得 得 分評(píng)卷人 四、證明題（本題10分）確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有3次代數(shù)精確度HYPERLINK /szfx/material/mnst/t1.htm l # 證明題答案 證明：求積公

5、式中含有三個(gè)待定系數(shù)，即，將分別代入求積公式，并令其左右相等，得 得，。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。又由于 故具有三次代數(shù)精確度。一、 填空（共20分，每題2分）1. 設(shè) ，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x= .2.設(shè)一階差商 ， 則二階差商 3. 設(shè), 則 ， 。4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5解初始值問題 近似解的梯形公式是 6、 ，則A的譜半徑 。 7、設(shè) ，則 和 。 8、若線性代數(shù)方程組AX=b 的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都 。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截?cái)嗾`差為 。10、為了使計(jì)算的乘除法運(yùn)算次

6、數(shù)盡量的少,應(yīng)將表達(dá)式改寫成 。 HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 填空HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 題答案1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、 8、 收斂 9、10、二、計(jì)算題 （共75 分，每題15分）1設(shè) （1）試求 在 上的三次Hermite插值多項(xiàng)式使?jié)M足 以升冪形式給出。（2）寫出余項(xiàng) 的表達(dá)式HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 計(jì)算HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 題1.

7、答案 1、（1） （2） 2已知 的 滿足 ，試問如何利用 構(gòu)造一個(gè)收斂的簡單迭代函數(shù) ，使 0，1收斂？HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 計(jì)算HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 題HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 2.答案 2、由 ，可得 ， 3 試確定常數(shù)A，B，C和 a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l #

8、 計(jì)算題3.答案 3、 ，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的 4 推導(dǎo)常微分方程的初值問題 的數(shù)值解公式：（提示： 利用Simpson求積公式。）HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 計(jì)算題4.答案 4、 數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對(duì)方程 在區(qū)間 上積分，得，記步長為h, 對(duì)積分 用Simpson求積公式得 所以得數(shù)值解公式： 5利用矩陣的LU分解法解方程 組 HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 計(jì)算題5HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l #

9、 .答案 5、解：三、證明題 （5分）1設(shè) ，證明解 的Newton迭代公式是線性收斂的。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 證明HYPERLINK /szfx/material/mnst/t2.htm l # 題答案 1、一、填空題（20分）(1).設(shè)是真值的近似值，則有 位有效數(shù)字。(2). 對(duì), 差商( )。(3). 設(shè), 則 。(4).牛頓柯特斯求積公式的系數(shù)和 。 HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # 填空HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # 題答案（

10、1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、計(jì)算題1).（15分）用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式的值。插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # 計(jì)算HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # 題1.答案 1）2).（15分）用二分法求方程區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根，誤差限。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # 計(jì)算HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # 題2.答案

11、 2) 3).（15分）用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計(jì)算).。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # 計(jì)算題3.答案 3）迭代公式 4).（15分）求系數(shù)。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # 計(jì)算題4.答案 4）5). (10分)對(duì)方程組 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # 計(jì)算題5HYPERLINK /szfx/material/mnst/t3.htm l # .答案 5) 解：調(diào)

12、整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu) 故對(duì)應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：.三、簡答題1)（5分）在你學(xué)過的線性方程組的解法中, 你最喜歡那一種方法,為什么?2)（5分）先敘述Gauss求積公式, 再闡述為什么要引入它。一、填空題（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，則a有( )位有效數(shù)字.2. 是以為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則 ( ).3. 設(shè)f (x)可微，則求方程的牛頓迭代格式是( ).4. 迭代公式收斂的充要條件是 。5. 解線性方程組Ax=b (其中A非奇異，b不為0) 的迭代格式中的B稱為( ). 給定方程組，解此方程

13、組的雅可比迭代格式為( )。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 填空HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 題答案132.3.4. 5.迭代矩陣， 得 分評(píng)卷人 二、判斷題（共10分）1. 若，則在內(nèi)一定有根。 ( )2. 區(qū)間a,b上的三次樣條函數(shù)是一個(gè)次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式。 ( )3. 若方陣A的譜半徑，則解方程組Ax=b 的Jacobi迭代法收斂。 ( )4. 若f (x)與g (x) 都是n次多項(xiàng)式，且在n+1個(gè)互異點(diǎn)上，則 。 ( )5. 用近似表示產(chǎn)生舍入誤差。 ( )HYPERLINK /s

14、zfx/material/mnst/t4.htm l # 判斷HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 題答案 1. 2. 3. 4. 5.得 分評(píng)卷人 三、計(jì)算題（70分）1. （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求過這三點(diǎn)的二次插值基函數(shù)l1(x)=( )，=( ), 插值多項(xiàng)式P2(x)=( ), 用三點(diǎn)式求得( ).HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 計(jì)算HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 題1.答案 12. （15分） 已知一

15、元方程。1）求方程的一個(gè)含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性)；3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 計(jì)算題2.答案 2.（1）（2）（3）3. （15分）確定求積公式 的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度.HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 計(jì)算題3.答案 4. （15分）設(shè)初值問題 .(1) 寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；(2) 寫出用改進(jìn)的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述

16、初值問題數(shù)值解的公式，并求解，保留兩位小數(shù)。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 計(jì)算題HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 4.答案 4.5. （15分）取節(jié)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的二次插值多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t4.htm l # 計(jì)算題5.答案 5 =1+2( ， 一、填空題( 每題4分，共20分)1、數(shù)值計(jì)算中主要研究的誤差有 和 。2、設(shè)是n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)，則 ； 。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精

17、度為 ；插值型求積公式中求積系數(shù) ；且 。4、辛普生求積公式具有 次代數(shù)精度，其余項(xiàng)表達(dá)式為 。5、則。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t5.htm l # 填空HYPERLINK /szfx/material/mnst/t5.htm l # 題答案1.相對(duì)誤差 絕對(duì)誤差 2. 13. 至少是n b-a 4. 3 5. 1 0二、計(jì)算題1、已知函數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)由牛頓插值公式求三次插值多項(xiàng)式，并計(jì)算的近似值。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t5.htm l # 計(jì)算HYPERLINK /szfx/material/mnst/t5.htm l

18、# 題1.答案 解：差商表由牛頓插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長，。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t5.htm l # 計(jì)算HYPERLINK /szfx/material/mnst/t5.htm l # 題2.答案 解：3、（15分）確定求積公式。中待定參數(shù)的值，使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時(shí)求積公式的代數(shù)精度。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t5.htm l # 計(jì)算題3.答案 解：分別將，代入求積公式，可得。令時(shí)求積公式成立，而時(shí)公式不成立，從而精度為3。4、（15分）已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 ：求它的擬合曲線（直線）。HYPERLINK /szfx/material/mnst/t5.htm l # 計(jì)算