“PA kPB”最值探究(胡不歸 阿氏圓)

1、“PA+kPB”型的最值問題【問題背景】“PA+kPB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng) k 值為 1 時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理。而當(dāng) k 取任意不為 1 的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P 所在圖像的不同來分類，一般分為2 類研究。即點(diǎn) P 在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn) P 在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題； 點(diǎn) P 在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題。本文將分別從這兩類入手與大家共同探究線段最值問題的解決

2、方案?！局R儲備】線段最值問題常用原理：三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點(diǎn)間線段最短；連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；【模型初探】（一）點(diǎn) P 在直線上運(yùn)動(dòng)“胡不歸”問題如圖 1-1-1 所示，已知 sinMBN=k,點(diǎn) P 為角MBN 其中一邊 BM 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A 在射線 BM、BN 的同側(cè)，連接 AP,則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P 點(diǎn)的位置如何確定?分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“kPB”的大小，過點(diǎn) P 作 PQBN 垂足為Q，則 kPB=PBsinMBN=PQ,本題求“PA+kPB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PQ”的最小值(如圖

3、 1-1-2)， 即 A、P、Q 三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D 1-1-3），本題得解。圖 1-1-1圖 1-1-2圖 1-1-3動(dòng)態(tài)展示：見 GIF 格式！思考：當(dāng) k 值大于 1 時(shí)，“PA+kPB”線段求和問題該如何轉(zhuǎn)化呢？提取系數(shù) k 即可哦！【數(shù)學(xué)故事】從前，有一個(gè)小伙子在外地學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑 AB（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況，當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？ 胡不歸

4、？何以歸”。這個(gè)古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問題”?！灸Ｐ统跆健浚ǘc(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)“阿氏圓”問題如圖所示 2-1-1，O 的半徑為 r,點(diǎn) A、B 都在O 外，P 為O 上的動(dòng)點(diǎn)， 已知 r=kOB.連接 PA、PB，則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P 點(diǎn)的位置如何確定？BPAOPCOPCOAABB圖 2-1-1圖 2-1-2圖 2-1-3分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“kPB”的大小，（如圖 2-1-2）在線段 OB上截取 OC 使 OC=kr,則可說明BPO 與PCO 相似，即 kPB=PC。本題求“

5、PA+kPB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C 三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D 2-1-3），本題得解。動(dòng)態(tài)展示：見 GIF 格式！【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點(diǎn) A、B，則所有滿足PA=kPB（k1）的點(diǎn) P 的軌跡是一個(gè)圓， HYPERLINK /item/%E5%8F%A4%E5%B8%8C%E8%85%8A/14206 這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家 HYPERLINK /item/%E9%98%BF%E6%B3%A2%E7%BD%97%E5%B0%BC%E6%96%AF 阿波羅尼 HYPERLINK /item/%E9%98%BF%E6%B3%A2%E7%

6、BD%97%E5%B0%BC%E6%96%AF 斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。“阿氏圓”一般解題步驟：第一步：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心 O（將系數(shù)不為 1 的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接），則連接 OP、OB；第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線段 OP、OB 長度；第三步：計(jì)算這兩條線段長度的比 OP k ；OB第四步：在 OB 上取點(diǎn) C，使得 OC OP ；OPOB第五步：連接 AC，與圓 O 交點(diǎn)即為點(diǎn) P【模型類比】 “胡不歸”構(gòu)造某角正弦值等于小于 1 系數(shù)起點(diǎn)構(gòu)造所需角（k=sinCAE）-過終點(diǎn)作所構(gòu)角邊的垂線-利用垂線段最短解決問題 “阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似AC構(gòu)造PABCAP 推出 PA2

7、 AB即：半徑的平方=原有線段 構(gòu)造線段【典型例題】1(胡不歸問題)如圖，四邊形 ABCD 是菱形，AB=4，且ABC=60，M 為對角線BD（不含 B 點(diǎn)）上任意一點(diǎn),則 AM+ 121BM 的最小值為 .AD分析：如何將2即本題 k 值為 12BM 轉(zhuǎn)化為其他線段呢？，必須轉(zhuǎn)化為某一角的正弦值啊，M即轉(zhuǎn)化為 30角的正弦值。思考到這里，不難發(fā)現(xiàn)，只要作 MN 垂直于 BC， BC則 MN= 12BM，即 AM+ 12BM 最小轉(zhuǎn)化為 AM+MN 最小，本題得解。ADM詳解：如圖，作 AN于 BC 垂足為 N,四邊形 ABCD 是菱形且ABC=60，DBC=30，MN即 sinDBC= =，

8、BM1BNC BM=MN，211AM+BM=AM+MN，即 AM+2BM 的最小值為 AN.2在 RTABN 中，AN=ABsinABC= 6 13 3 3 .2AM+BM 的最小值為3 3 .2變式思考：(1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會求嗎？(2) 本題如要求“AM+BM+CM”的最小值你會求嗎？答案：（1） 6 3 （2） 6 3本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦！ 詳見：本公眾號前文！2(阿氏圓問題) 如圖，點(diǎn) A、B 在O 上，且 OA=OB=6，且 OAOB，點(diǎn) C 是 OA 的中點(diǎn)，點(diǎn)D 在OB 上，且OD=4，動(dòng)點(diǎn)P 在O 上，則2PC PD 的最小值為 分析：如何將 2

9、PC 轉(zhuǎn)化為其他線段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點(diǎn)，即 2 倍關(guān)系就出現(xiàn)了。套用“阿氏圓”模型：構(gòu)造共邊共角相似半徑的平方=原有線段 構(gòu)造線段EAPCOD詳解：連接 OP,在射線 OA 上截取 AE=6.即： OP2 OC OEOPCOEP PE 2PC 2PC PD PE PD ,即 P、D、E 三點(diǎn)共線最小.在 RTOED 中， DE BOD2 OE2 16 144 4 10即2PC PD的最小值為4 10 .變式思考：(1)本題如要求“ PC 1 PD ”的最小值你會求嗎？2(2) 本題如要求“ PC 3 PD ”的最小值你會求嗎？2ACPODBE答案：（1） 2 10 （2） 3 10【變

10、式訓(xùn)練】(胡不歸問題)如圖，等腰ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 邊上的高為AO，點(diǎn) D 為射線 AO 上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn)A 出發(fā)，沿 AD-DC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) P 在 AD 上運(yùn)動(dòng)速度 3 個(gè)單位每秒，動(dòng)點(diǎn) P 在CD 上運(yùn)動(dòng)的速度為 1 個(gè)單位每秒，則當(dāng) AD= 時(shí)， 運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為 秒.答案： 7 2 ， 4 243如圖，在菱形 ABCD 中，AB=6，且ABC=150，點(diǎn) P 是對角線 AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 則 PA+PB+PD 的最小值為 .答案： 6 2本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦！【中考真題】(胡不歸問題)1.（2016徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=

11、ax2+bx+c 的圖像經(jīng)過3點(diǎn) A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其中對稱軸與 x 軸交于點(diǎn) D。若 P 為 y 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 PD，則 1 PB PD 的最小值為。22.（2014.成都）如圖，已知拋物線 y 8 3 (x 2)(x 4) 與 x 軸從左至右依次交于點(diǎn)9A、B，與 y 軸交于點(diǎn) C，經(jīng)過點(diǎn) B 的直線 y D（-5， 3 3 ）。x 4 3 與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為33設(shè) F 為線段 BD 上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接 AF，一動(dòng)點(diǎn) M 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿線段 AF以每秒 1 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到 F，再沿線段 FD 以每秒 2 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到 D 后停止，當(dāng)

12、點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 時(shí)，點(diǎn) M 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？4答案： 3 3 ， 2, 2 3課外提升：2015 日照、2015 內(nèi)江、2016 隨州多個(gè)城市均在壓軸題考察了“胡不歸”問題。要好好專研哦！(胡不歸問題變式)【變式訓(xùn)練】(阿氏圓問題)1.（1）【問題提出】：如圖 1，在 RtABC 中，ACB90，CB4，CA6，1C 半徑為 2，P 為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) AP，BP，求 AP2BP 的最小值嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖 2，連接 CP，在CB 上取點(diǎn) D，使 CD1，則有 CD CP 1 ，又PCDBCP,PCDBCP,CPCB2 PD 1BP2,PD 12

13、BP,AP 12BPAPPD1請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP2BP 的最小值為 1（2）.【自主探索】：在“問題提出”的條件不變的情況下，3值為 APBP 的最?。?）.【拓展延伸】：已知扇形 COD 中，COD90，OC6，OA3，OB5，點(diǎn) P 是 CD 上一點(diǎn) ，則 2PAPB 的最小值為 答案： 37 ， 2 37 ，13.3如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn) O 為圓心作半徑為 4 的圓交X 軸正半軸于點(diǎn)A，點(diǎn) M 坐標(biāo)為（6,3），點(diǎn) N 坐標(biāo)為（8,0），點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)，求PM 1 PN 的最小值為2如圖，半圓的半徑為 1，AB 為直徑，AC、BD 為切線，AC=1，BD

14、=2，P 為上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD 的最小值為 答案：5， 3 2 .2【中考真題】(阿氏圓問題)（2017甘肅蘭州）如圖，拋物線 yx2bx c 與直線 AB 交于 A4, 4， B 0, 4兩點(diǎn)，直線 AC : y1 x 6 交 y 軸與點(diǎn)C ，點(diǎn) E2是直線 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E 作 EFx 軸交 AC于點(diǎn) F ，交拋物線于點(diǎn)G .求拋物線 yx2bx c 的表達(dá)式；連接GB ，EO ，當(dāng)四邊形GEOB 是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G 的坐標(biāo)；在 y 軸上存在一點(diǎn) H ，連接 EH ， HF ，當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以 A, E, F, H 為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn) E, H 的坐標(biāo)；在的前提下，以點(diǎn) E 為圓心， EH 長為半徑作圓，點(diǎn)M 為E 上一動(dòng)點(diǎn)，求1 AMCM 的最小值.2答案：(1) y=x22x+4；(2) G（2，4）； (3)E（2，0）H（0，1）； 525 寫在最后： “胡不歸”和“阿氏圓”問題都是一類解決最短距離問題，即“PA+kPB”（k1 的常數(shù)）型的最值問題。兩類問題所蘊(yùn)含的都是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，即將kPB 這條線段的長度轉(zhuǎn)化為某條具體線段 PC 的長度，進(jìn)而根據(jù)“垂線段最短或兩點(diǎn)之間線段最短”的原理構(gòu)