矩陣的等價(jià),相似 合同的關(guān)系及應(yīng)用參考

1、矩陣的等價(jià),相似 合同的關(guān)系及應(yīng)用矩陣的等價(jià),相似 合同的關(guān)系及應(yīng)用13/13矩陣的等價(jià),相似 合同的關(guān)系及應(yīng)用目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc296543211 摘 要 PAGEREF _Toc296543211 h I1 HYPERLINK l _Toc296543212 引言 PAGEREF _Toc296543212 h 1 HYPERLINK l _Toc296543213 2矩陣間的三種關(guān)系 PAGEREF _Toc296543213 h 1 HYPERLINK l _Toc296543214 2.1 矩陣的等價(jià)關(guān)系 PAGEREF _Toc

2、296543214 h 1 HYPERLINK l _Toc296543215 2.2 矩陣的合同關(guān)系 PAGEREF _Toc296543215 h 2 HYPERLINK l _Toc296543216 2.3. 矩陣的相似關(guān)系 PAGEREF _Toc296543216 h 2 HYPERLINK l _Toc296543217 3 矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的聯(lián)系與區(qū)別 PAGEREF _Toc296543217 h 33.1矩陣的相似與等價(jià)之間的關(guān)系與區(qū)別43.2 矩陣的合同與等價(jià)之間的關(guān)系與區(qū)別53.2 矩陣的合同與等價(jià)之間的關(guān)系與區(qū)別54矩陣的等價(jià)、合同和相似的應(yīng)用64.1矩陣等

3、價(jià)的應(yīng)用74.2矩陣相似的應(yīng)用94.3矩陣合同的應(yīng)用94.4三種關(guān)系在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用105結(jié)論12結(jié)束語12參考文獻(xiàn)13摘 要:本文主要了解矩陣的三種的關(guān)系的性質(zhì)、聯(lián)系、區(qū)別及應(yīng)用，總結(jié)它們之間的結(jié)論和定理并應(yīng)用到各個(gè)相應(yīng)的領(lǐng)域。并且詳細(xì)說明了三者的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。關(guān)鍵字：矩陣的等價(jià)關(guān)系及應(yīng)用，矩陣的相似關(guān)系及應(yīng)用，矩陣的合同關(guān)系及應(yīng)用1.引言高等代數(shù)中我們討論了矩陣的三種不同關(guān)系，它們分別為矩陣的等價(jià)、矩陣的相似和矩陣的合同等關(guān)系那么為了更好的掌握它們，我們不僅要了解它們的定義、性質(zhì)還要了解它們間的異同點(diǎn)，總結(jié)它們的規(guī)律，并且要了解它們?cè)诟鱾€(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，我們需要更好的知道在什么條件下等價(jià)、

4、合同、相似是可以相互轉(zhuǎn)化的，加什么條件才可以相互轉(zhuǎn)化，如果不能相互轉(zhuǎn)化，那么你能找到相應(yīng)的特例嗎？另外，三種矩陣的應(yīng)用你知道它具體應(yīng)用到什么領(lǐng)域嗎?是如何應(yīng)用的？2.矩陣的三種關(guān)系2.1矩陣的等價(jià)關(guān)系定義2.1.1 : 兩個(gè)矩陣等價(jià)的充要條件為：存在可逆的階矩陣與可逆的 階矩陣，使得矩陣與等價(jià)必須具備的兩個(gè)條件：（1）矩陣與必為同型矩陣（不要求是方陣）.（2）存在 階可逆矩陣和階可逆矩陣, 使.2.1.2矩陣等價(jià)的性質(zhì)：（1）反身性：即.（2）對(duì)稱性：若，則.（3）傳遞性：若，則.(4)A等價(jià)于B的充要條件是秩（A）=秩（B）(5)設(shè)A為mn矩陣，秩（A）=r，則A等價(jià)于，即存在m級(jí)可逆矩陣P

5、，n級(jí)可逆矩陣Q，使.(6)(Schur定理) 任何n級(jí)復(fù)方陣A必相似于上三角形矩陣，即A相似于其中為矩陣A的特征值.定理2.2.1： 若為矩陣，并且，則一定存在可逆矩陣（階）和（ 階），使，其中為階單位矩陣.推論2.2.1：設(shè)是兩矩陣，則當(dāng)且僅當(dāng).2.2 矩陣的合同關(guān)系定義2.2.1 ：設(shè)均為數(shù)域上的階方陣，若存在數(shù)域上的階可逆矩陣，使得,則稱矩陣為合同矩陣（若數(shù)域上階可逆矩陣為正交矩陣），由矩陣的合同關(guān)系，得出矩陣與合同必須同時(shí)具備的兩個(gè)條件：(1) 矩陣與不僅為同型矩陣而且是方陣.(2) 存在數(shù)域上的階矩陣,2.2.2矩陣合同的性質(zhì)：（1）反身性：任意矩陣都與自身合同.（2）對(duì)稱性：如果

6、與合同，那么也與合同.（3）傳遞性：如果與合同，又與合同，那么與合同.(4) 合同的兩矩陣有相同的二次型標(biāo)準(zhǔn)型.(5) 在數(shù)域上，任一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣.(6) 矩陣合同與數(shù)域有關(guān).因此矩陣的合同關(guān)系也是等價(jià)關(guān)系，而且由定義可以直接推得：合同矩陣的秩等.定理2.2.1 ：數(shù)域F上兩個(gè)二次型等價(jià)的充要條件是它們的矩陣合同.定理2.2.1 ：復(fù)數(shù)域上秩為的二次型，可以用適當(dāng)?shù)臐M秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：2.3. 矩陣的相似關(guān)系定義2.3.1 設(shè)均為數(shù)域上階方陣，若存在數(shù)域上階可逆矩陣使,則稱矩陣與為相似矩陣（若級(jí)可逆矩陣為正交陣，則稱與為正交相似矩陣）.由矩陣的相似關(guān)系，不難得到矩陣與相似

7、，必須同時(shí)具備兩個(gè)條件(1) 矩陣與不僅為同型矩陣，而且是方陣(2) 在數(shù)域上階可逆矩陣，使得2.3.2相似矩陣的性質(zhì)(1)反身性 : ;(2)對(duì)稱性 :由即得;（3）傳遞性: 和即得 (4) （其中是任意常數(shù)）；(5）；(6）若與相似，則與相似（為正整數(shù)）；(7) 相似矩陣有相同的秩，而且，如果為滿秩矩陣，那么.即滿秩矩陣如果相似，那么它們的逆矩陣也相似.(8）相似的矩陣有相同的行列式；即：如果，則有：(9）相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆；并且當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣相似；設(shè)，若可逆，則從而可逆.且與相似.若不可逆，則不可逆，即也不可逆.下面這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)重要的結(jié)論，因此我們把它寫成以

8、下定理定理2.3.1 相似矩陣的特征值相同.推論2.3.1 相似矩陣有相同的跡3.矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的聯(lián)系與區(qū)別3.1 矩陣的相似與等價(jià)之間的關(guān)系與區(qū)別定理3.1.1相似矩陣必為等價(jià)矩陣，但等價(jià)矩陣未必為相似矩陣證明： 設(shè)階方陣相似，由定義3知存在階可逆矩陣，使得，此時(shí)若記, ,則有,因此由定義1得到階方陣等價(jià)但對(duì)于矩陣,等價(jià)，與并不相似，即等價(jià)矩陣未必相似但是當(dāng)?shù)葍r(jià)的矩陣滿足一定條件時(shí)，可以是相似的，如下面定理定理 3.1.2：對(duì)于階方陣，若存在階可逆矩陣 使,(與等價(jià))，且 (為階單位矩陣)，則與相似證明： 設(shè)對(duì)于階方陣與,若存在階可逆矩陣,使,即與等價(jià)又知,若記 ,那么,也即,則

9、矩陣也相似3.2 矩陣的合同與等價(jià)之間的關(guān)系與區(qū)別定理3.2.1：合同矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣未必為合同矩陣證明： 設(shè)階方陣合同，由定義2得，存在階可逆矩陣，使得， 若記,則有因此由定義1得到階方陣等價(jià)但對(duì)于矩陣,等價(jià)，與并不合同，即等價(jià)矩陣未必合同什么時(shí)候等價(jià)矩陣是合同的？只有當(dāng)?shù)葍r(jià)矩陣的正慣性指數(shù)相同時(shí)等價(jià)矩陣是合同矩陣3.3 矩陣的合同與相似之間的關(guān)系與區(qū)別合同矩陣未必是相似矩陣 例 單位矩陣 E 與 2E.兩個(gè)矩陣的正負(fù)慣性指數(shù)相同故合同但作為實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值不同, 故不相似相似矩陣未必合同例如A與B相似，則存在可逆矩陣P使B=PBP,如果P的逆矩陣與P的轉(zhuǎn)置矩陣不相等，則相似矩陣

10、不是合同矩陣定理3.3.1： 正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣證明：若存在一個(gè)正交矩陣,即使得即，同時(shí)有，所以與合同.同理可知，若存在一個(gè)正交矩陣，使得即與合同，則有定理3.3.2：如果與都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且有相同的特征根則與既相似又合同證明：設(shè)與的特征根均為，由于與階實(shí)對(duì)稱矩陣，一定存在一個(gè)階正交矩陣 Q使得同時(shí)，一定能找到一個(gè)正交矩陣使得，從而有將上式兩邊左乘和右乘,得由于，有，所以，是正交矩陣，由定理知與相似定理3.3.3：若階矩陣與中只要有一個(gè)正交矩陣，則與相似且合同證明：不妨設(shè)是正交矩陣，則可逆，取U=A，有，則與相似，又知是正交陣，由合同矩陣的定義知與既相似又合同

11、定理3.3.4：若與相似且又合同，與相似也合同，則有與 既相似又合同證明: 因?yàn)榕c,與相似，則存在可逆矩陣,，使，令，則且，故與相似又因?yàn)榕c合同，與合同，故存在可逆矩陣，令而故與合同矩陣的等價(jià)、合同和相似在實(shí)際問題中的應(yīng)用4.1矩陣等價(jià)的應(yīng)用例4.4.1試從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出齊次線性方程組的一種解法解 設(shè)A的秩等于r，存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使，于是線性方程組可化為，記，則原方程組等價(jià)于，即令，容易驗(yàn)證都是的解，從而它們構(gòu)成的一基礎(chǔ)解系 下面是具體的操作過程首先構(gòu)造矩陣，然后對(duì)矩陣B作如下的初等變換：對(duì)A（即B的前m行）作初等的行變換，對(duì)B作初等的列變換，則經(jīng)過有限次上述的初等變換后

12、，B可變?yōu)?，此時(shí)Q的后個(gè)列向量構(gòu)成的一基礎(chǔ)解系試從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出非齊次線性方程組的一種解法解 下面僅給出具體的操作過程，至于其原理可按例19的方式得到首先構(gòu)造矩陣，然后對(duì)矩陣B作如下形式的初等變換：對(duì)B的前m行作行的初等變換，對(duì)B的前n列作列的初等變換，則經(jīng)過有限次上述變換后，B可變?yōu)?，記，此時(shí)可得如下的結(jié)論：有解當(dāng)且僅當(dāng)；當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)特解，是所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一基礎(chǔ)解系試從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出可逆矩陣的逆矩陣的一種求法解 設(shè)A是個(gè)n階可逆陣，A的秩等于n，存在可逆陣P和Q，使，進(jìn)而這給出了求逆矩陣的一種方法首先構(gòu)造矩陣，然后對(duì)B進(jìn)行如下形式的初等變換：對(duì)B的前n行進(jìn)行初等的行變

13、換，對(duì)B的前n列進(jìn)行初等的列變換，則經(jīng)過有限次上述變換后，B可變?yōu)?，由此求?.2矩陣相似的應(yīng)用例4.2.1判斷矩陣 ， 是否相似？解： 對(duì)，的特征矩陣，分別作初等變換可得：=所以，有相同的初等因子，所以，相似.4.3矩陣合同的應(yīng)用例4.3.1設(shè)，。不難驗(yàn)證：即矩陣A，B合同，但A的特征值為和；B的特征值為 1和。相似矩陣與合同矩陣還有著一定的內(nèi)在聯(lián)系，即相似或合同的兩矩陣分別有相同的秩。另外，在一定條件下，兩者是等價(jià)的。若矩陣A，B正交相似時(shí)，則它們既是相似的又是合同的。本題說明矩陣相似與合同在一定條件下是相通的。例4.3.2 已知，。試判斷A，B，C中哪些矩 陣相似，哪些矩陣合同？解：矩陣

14、A的秩和矩陣B,C的秩不等，故A不可能與B，C相似或合同，只有討論B， C了；A的秩為3，而B，C的秩為2，故A和B，C既不相似又不合同，又B的跡是8，而C的跡是6，不相等，故B和C不相似，最后，C是對(duì)稱矩陣，而B不是，所以，B和C也不合同。所以，矩陣A，B，C相互之間既不相似又不合同。4.4三種關(guān)系在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用例4.4.1 某公司對(duì)所生產(chǎn)的產(chǎn)品通過市場營銷調(diào)查得到的統(tǒng)計(jì)資料表明，已經(jīng)使用本公司的產(chǎn)品客戶中有60%表示仍回繼續(xù)購買該公司產(chǎn)品，在尚未使用該產(chǎn)品的被調(diào)查者中，25%的客戶表示將購買該產(chǎn)品，目前該產(chǎn)品在市場的占有率60%，能否預(yù)測n年后該產(chǎn)品市場占有狀況？解：設(shè)第i年購買該公司

15、產(chǎn)品的客戶為，不購買該公司產(chǎn)品的客戶為，則有，寫成矩陣的形式：，其中，令，則有，由得P的特征值=1，=0.35，分別解0，i=1,2，得到相應(yīng)的特征向量為，令，則，于是，則，當(dāng)n=5時(shí)，計(jì)算。這說明該產(chǎn)品市場占有率將由0.6下降到0.385，因此該公司應(yīng)根據(jù)這份預(yù)測報(bào)告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市產(chǎn)場占有率。例4.4.2某公司對(duì)職工進(jìn)行分批脫產(chǎn)培訓(xùn)，現(xiàn)有在崗職工8000人，脫產(chǎn)培訓(xùn)2000人，計(jì)劃每年從在崗職工中抽調(diào)30%的人參加脫產(chǎn)培訓(xùn)，而在培訓(xùn)人員中讓60%的人結(jié)業(yè)回到工作崗位上，設(shè)年后在崗職工于脫產(chǎn)培訓(xùn)人數(shù)分別為，記為向量，若職工總?cè)藬?shù)不變.求與的關(guān)系式，并寫成矩陣形式=；求，

16、且當(dāng)充分大時(shí)，求在崗職工人數(shù)與脫產(chǎn)培訓(xùn)人數(shù)之比.解 ： （1）得=. （:1）（2）由（1）式可得=，其中，為計(jì)算，先求.由，對(duì)于=0.1，解（0.1-）x=0，得基礎(chǔ)解系.對(duì)于解，得基礎(chǔ)解系，令P=，則，.則 所以當(dāng)充分大時(shí)，.例4.4.3某公司對(duì)所生產(chǎn)的產(chǎn)品通過市場營銷調(diào)查得到的統(tǒng)計(jì)資料表明，已經(jīng)使用本公司的產(chǎn)品客戶中有60%表示仍回繼續(xù)購買該公司產(chǎn)品，在尚未使用該產(chǎn)品的被調(diào)查者中，25%的客戶表示將購買該產(chǎn)品，目前該產(chǎn)品在市場的占有率為 60%，能否預(yù)測年后該產(chǎn)品市場占有狀況？解： 設(shè)第年購買該公司產(chǎn)品的客戶為，不購買該公司產(chǎn)品的客戶為，則有，寫成矩陣的形式其中，令，則有由，得的特征值分

17、別解得到相應(yīng)的特征向量為，則，于是，則，當(dāng)時(shí)，計(jì)算.這說明該產(chǎn)品市場占有率將由0.6下降到0.385，因此該公司應(yīng)根據(jù)這份預(yù)測報(bào)告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市產(chǎn)場占有率.結(jié) 論關(guān)于矩陣的等價(jià)、合同、相似的關(guān)系和應(yīng)用，我們得知了：合同矩陣一定是等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣不一定是合同矩陣相似矩陣一定是等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣不一定是相似矩陣對(duì)于階方陣，若存在階可逆矩陣 使,(與等價(jià))，且 (為階單位矩陣)，則與相似等價(jià)矩陣的正慣性指數(shù)相同時(shí)等價(jià)矩陣是合同矩陣如果與都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且有相同的特征根則與既相似又合同若階矩陣與中只要有一個(gè)正交矩陣，則與相似且合同相似矩陣的特征值相同.相似矩陣有相同的跡.9

18、.若與相似且又合同，與相似也合同，則有與 既相似又合同參考文獻(xiàn)1 智婕.矩陣的等價(jià)、相似、合同的聯(lián)系J.甘肅：牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011:2-32 王曉玲.侯建文，矩陣的三種關(guān)系J.山西：山西太谷師范學(xué)學(xué)報(bào)，2003:1-23 張禾瑞.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，1983.4 HYPERLINK /KCMS/detail/search.aspx?dbcode=CJFD&sfield=au&skey=%C1%CE%D3%F1%BB%B3&code=23394168;廖玉懷.矩陣的等價(jià)關(guān)系探究J.云南，HYPERLINK /KCMS/detail/search.aspx?dbcode=CJFD&sfield=inst&skey=%D4%C6%C4%CF%CE%C4%C9%BD%D1%A7%D4%BA%CA%FD%C0%ED%CF%B5&code=1581150;云南文山學(xué)院數(shù)理系，2009，卷期頁碼5Zhiwen Han.Michael A. Kruge.John C. Crel