第八章_向量代數(shù)與空間解析幾何1-課件

1、在一切理論成就中，未必有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的卓越勝利了。 恩格斯1第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何2第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系定點(diǎn)橫軸縱軸豎軸空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.即以右手握住 z 軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指度轉(zhuǎn)向 y 軸正向時(shí)，大拇指的指向就是 z 軸的正向.從 x 軸正向以 角3面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限4空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)一個(gè)分量為零:點(diǎn)在坐標(biāo)面上. 兩個(gè)分量為零:點(diǎn)在坐標(biāo)軸上. 5為空間兩點(diǎn),由勾股定理，得兩點(diǎn)間的距離公式： Oxyzz1z2x2x1y1y2M2M16 在 z 軸上求與兩點(diǎn) A(4, 1

2、, 7) 和B(3, 5, 2)等距離的點(diǎn).設(shè)該點(diǎn)為M(0, 0, z) ,由題設(shè) |MA| = |MB| ,即解得即所求點(diǎn)為例1解7練習(xí)：P3 習(xí)題8.11. 8第二節(jié) 向量的線性運(yùn)算和向量的坐標(biāo)表示一、向量的概念1、向量: 既有大小, 又有方向的量, 稱為向量 (或矢量).用一條有方向的線段來表示向量.2、向量的幾何表示法以線段的長(zhǎng)度表示向量的大小, AB特別: 模為1的向量稱為單位向量. 模為0的向量稱為零向量.記為 ,它的方向可以看作是任意的.有向線段的方向表示向量的方向.以A為起點(diǎn), B為終點(diǎn)的向量, 記為 或 .AB向量 的大小叫做向量的模. 記為 或 . ABAB|93、自由向量

3、自由向量：只有大小、方向, 而無特定起點(diǎn)的向量. 具有在空間中可以任意平移的性質(zhì).大小相等且方向相同,4、向量相等即通過平移可以使它們重合,105、向量平行(或共線)6、向量共面 當(dāng)把若干個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起時(shí),若它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上,則稱這些向量共面. 如果兩個(gè)向量 與 的方向相同或相反,稱為平行,記為11 特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與 之間任意取值.AOB或.7、兩向量的夾角將它們平移，使得始點(diǎn)重合， 平行，121、向量的加法(1) 平行四邊形法則(2) 三角形法則向量的加法二、向量的線性運(yùn)算13向量加法的運(yùn)算規(guī)律：(1) 交換律: (2) 結(jié)合律

4、:14多個(gè)向量相加: 例如,152、向量的減法：(2) 向量減法.規(guī)定:(1) 負(fù)向量: 與 模相同而方向相反的向量, 稱為 的負(fù)向量, 記作 .將 之一平移, 使起點(diǎn)重合, 由 的終點(diǎn)向 的終點(diǎn)作一向量, 即為 163、向量與數(shù)的乘法定義模： 當(dāng) 0時(shí), 當(dāng) 0時(shí), 當(dāng) = 0時(shí), 設(shè)為實(shí)數(shù). 規(guī)定: 向量 與數(shù) 的 為一個(gè)向量.方向：17向量與數(shù)的乘積的運(yùn)算規(guī)律:(1) 結(jié)合律:(2) 分配律:定理向量的單位化：18例2 試用向量證明三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊,且其長(zhǎng)度等于第三邊的一半. 證ABCDE所以所以且19例3證ABCDEFO20練習(xí)：21三、向量的坐標(biāo)表示1. 起點(diǎn)在原點(diǎn)的

5、向量(向徑)OM設(shè)點(diǎn) M (x,y, z)zijkMoxyCABzyxN以 分別表示沿x, y, z軸正向的單位向量, 稱為基本單位向量.OM = OA + AN +NM= OA + OB + OC稱 OA、OB、OC分別是OM 在 x 軸, y 軸, z 軸上的分向量, 而x, y, z,分別是OM 在三坐標(biāo)軸上的投影, 稱為OM 的坐標(biāo).簡(jiǎn)記為 , 此稱為向量 的坐標(biāo)表示式.22 向量在 軸上的投影 向量在 軸上的投影 向量在 軸上的投影2. 起點(diǎn)不在原點(diǎn)O的任一向量設(shè)點(diǎn) M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)23按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分

6、向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：特殊地：24利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算25兩向量平行的充要條件：即 ax = bx，ay = by，az = bz，于是即對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例.注: 在上 式中規(guī)定, 若某個(gè)分母為零, 則相應(yīng)的分子也為零.已知設(shè)且為常數(shù),26設(shè)為直線上的點(diǎn)，例4解由題意知：2728向量的模的坐標(biāo)表示由勾股定理知，此即向量模的坐標(biāo)表示. 29方向角與方向余弦 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.30方向角與方向余弦 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.31方向角與方向余弦 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為

7、方向角.向量方向余弦的坐標(biāo)表示式32方向余弦的特征特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟?3 已知兩點(diǎn)M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 計(jì)算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.例5解M1 M2 = 1, 1, 模:方向余弦：方向角：34 已知兩點(diǎn)A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的單位向量.例6解35練習(xí)：P8 習(xí)題8.21. 36sF解: 由物理知, 與位移平行的分力作功, 與位移垂直的分力不作功. 于是第三節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積一、向量的數(shù)量積例如: 設(shè)力 F 作用于某物體上, 物體有一段位移 S , 求功的表示式.37數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”

8、.結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.定義投影38數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若 為數(shù)：39關(guān)于數(shù)量積的說明：證證40例1 利用向量證明三角形的余弦定理證41例2證所以42數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)43兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為44例3解(1)(2)45例4解46二、兩向量的向量積先研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的力矩M 的方向: 垂直于OP與F 所在的平面, 指向使OP、F與M 滿足右手規(guī)則.47定義向量積也稱為“叉積”、“外積”.48注: （1）向量積的模的幾何意義.49向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）反

9、交換律：（2）分配律：（3）若 為數(shù)：例550向量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)51向量積還可用三階行列式表示52例6解53三角形ABC的面積為例7解54三、向量的混合積定義設(shè)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式55（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說明：56ABCD例8解57ABCD58例9解只要判別三個(gè)向量AB、AC、AD是否共面即可 因此 A、B、C、D 四點(diǎn)共面 59解例1060向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（注意共線、共面的條件）小結(jié)61練習(xí)：P15 習(xí)題8.31. 62 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量法線向量的特征：垂直于

10、平面內(nèi)的任一向量已知平面的法線向量為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為第四節(jié) 平面方程和空間直線方程一、平面及其方程且過點(diǎn)求平面方程.1、平面的點(diǎn)法式方程63 平面的點(diǎn)法式方程64解例1化簡(jiǎn)得所求平面方程為由平面的點(diǎn)法式65取所求平面方程為化簡(jiǎn)得解例2BCA66 稱為平面的三點(diǎn)式方程 67所以所求平面的法向量為化簡(jiǎn)得所求平面方程為解例3兩平面的法向分別為682、平面的一般方程 前面看到,平面可用三元一次方程表示；反之,任一三元一次方程 （*） 當(dāng) A,B,C 不全為零時(shí),表示一張平面, 它的法向?yàn)?（*）稱為平面的一般方程. 69平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過 軸；平面平行于 軸；平面

11、平行于 坐標(biāo)面；類似地可討論 情形.類似地可討論 情形.70解例4求通過 x 軸和點(diǎn)(4, 3, 1)的平面方程.由于平面過 x 軸, 所以 A = D = 0.設(shè)所求平面的方程為 By + Cz = 0 ,又點(diǎn)(4, 3, 1)在平面上, 所以3B C = 0 , C = 3B ,所求平面方程為 By 3Bz = 0 ,所以所求平面方程為71設(shè)平面方程為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解例572代入即得所求方程為平面的截距式方程oyPxzQR73把平面方程化為截距式解例674兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.定義（通常取銳角）3、兩平面的夾角75按照兩向量夾角余弦公式有 兩平面夾角余弦公式兩平面位置特

12、征：/76解例7兩平面的法向分別為77解例8 判斷下列各組平面的位置關(guān)系：兩平面平行兩平面平行但不重合解78兩平面平行所以兩平面重合.解79解例9所求平面的法向?yàn)榛?jiǎn)得80解例10設(shè)所求方程為81解4、點(diǎn)到平面的距離而82 點(diǎn)到平面距離公式83平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角.點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程一般方程截距式方程（注意兩平面的位置關(guān)系）小結(jié)84定義空間直線可看成兩個(gè)不平行平面的交線 空間直線的一般方程二、空間直線及其方程1、空間直線的一般方程85方向向量的定義： 如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量/2、空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方

13、程86 直線的點(diǎn)向式方程(或?qū)ΨQ式方程)此時(shí)直線與 x 軸垂直； 此時(shí)直線與 xOy 面垂直. 87令直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向余弦. 直線的參數(shù)方程88解例11 直線的兩點(diǎn)式方程 方向向量為所以所求直線方程為89所以交點(diǎn)為取所求直線方程解例12因?yàn)橹本€和 y 軸垂直相交, 90解例13 將直線一般式化為對(duì)稱方程及參數(shù)方程： 先在直線上找一點(diǎn)：解得91再求方向向量：參數(shù)方程為92定義直線直線兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的夾角.（通常取銳角） 兩直線的夾角公式3、兩直線的夾角s1s293兩直線的位置關(guān)系：/直線直線例如，94解例1495定義直線和它在平面上的投影直線的夾角

14、稱為直線與平面的夾角4、直線與平面的夾角96 直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關(guān)系：/97例15 判定下列各組直線與平面的關(guān)系：又點(diǎn)M0(3, 4, 0)在直線 L 上, 但不在平面上,所以 L 與 平行, 但不重合.解L的方向向量 的法向量所以 L 與 平行.98解L的方向向量 的法向量所以 L 與 垂直.例15 判定下列各組直線與平面的關(guān)系：99解L的方向向量的法向量所以 L 與 平行.又 L 上的點(diǎn) M0(2, 2, 3) 滿足平面方程,所以 L 與 重合.例15 判定下列各組直線與平面的關(guān)系：100為所求夾角解例16101解例17例18解方向向量102例19解過點(diǎn) A 且與直線 L 垂直的平面 ：再求直線 L 與平面 的交點(diǎn)(垂足)： 代入的方程, 103所求直線為過點(diǎn) A,B 的直線： 例19解1045、平面束方程設(shè)兩張平面相交于直線 L , 則過 L 的平面束可表示為 105例20解由此得到所求平面方程為 106比較：解所以其法向?yàn)?由點(diǎn)法式得所求平面的方程為 即107例21解由此得到所求平面方程為 108例22解先求 L的方向向量： 方法1109方法1例22解110方法2設(shè)過直線 L的平面束方程為 例22111以下同方法1.方法2設(shè)過直線 L的平面束方程為 例22112例23解過已知直線的平面束方程為113解得代回平面束方程, 得所求平面