第四章機構(gòu)動力學(xué)建模的等效元素

1、第四章 機構(gòu)動力學(xué)建模的等效元素(yun s)集成法共六十二頁 有限元方法自誕生以來，已在機械和土木工程等結(jié)構(gòu)分析領(lǐng)域得到了廣泛而成功的應(yīng)用，目前已成為各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)計算分析的強有力工具。 機構(gòu)動力學(xué)分析中運用有限元方法并不多見。因為機構(gòu)分析中的剛性單元與結(jié)構(gòu)分析中的彈性(tnxng)單元有很大區(qū)別，系統(tǒng)組建規(guī)則無法直接運用。本章引入等效元素和等效系統(tǒng)集成的概念，以解決有限剛性構(gòu)件組成的復(fù)雜機械系統(tǒng)動力學(xué)建模的難題。 共六十二頁如前所述，在將有限元法應(yīng)用于多剛體系統(tǒng)動力學(xué)分析時，單元自由度數(shù)少于結(jié)點位移數(shù)，構(gòu)造質(zhì)量陣時要考慮各結(jié)點虛位移的相關(guān)性，結(jié)點位移的非獨立性將導(dǎo)致相應(yīng)(xingyng)的約

2、束方程，為避免以上問題，使模型建立簡捷、組裝集成方便，本文引入了等效單元、等效系統(tǒng)、等效力系的概念，這種等效是為應(yīng)用有限元方法組裝的需要而進行的，是對每一構(gòu)件（單元）本身動力學(xué)和靜力學(xué)特性的等效，然后構(gòu)成等效系統(tǒng)，等效的目的是為了集成，而絕非傳統(tǒng)意義上將系統(tǒng)的動力學(xué)特性向某一構(gòu)件上的等效。共六十二頁 等效單元 機構(gòu)由若干構(gòu)件構(gòu)成，每個構(gòu)件又可劃分為一個或若干個單元，單元的運動狀況取決于單元上的受力和單元的自身慣性。兩個質(zhì)量分布(fnb)情況不同的單元，慣性卻可能相同。對此，稱之為等效單元。等效單元之間的質(zhì)量分布必須滿足一定的條件，使等效后的單元和原單元慣量特性相同。 4.1具有集中慣量的等效構(gòu)

3、件(gujin)單元 共六十二頁 任意一個質(zhì)量均布或不均布的構(gòu)件單元，如圖41所示，都可以按等效原則等效成具有集中質(zhì)量的構(gòu)件單元，而此集中質(zhì)量可以根據(jù)動力學(xué)模型需要位于質(zhì)心或構(gòu)件兩端，如圖42所示。 圖41構(gòu)件單元圖42 等效單元共六十二頁 等效單元的集中慣量分布 在工程實際中，常采用集中質(zhì)量單元來代替實際質(zhì)量單元。在多剛體系統(tǒng)機構(gòu)動力學(xué)分析時，單元等效中等效集中質(zhì)量法的運用有其特殊性。為保證等效集中質(zhì)量單元與原均布或不均布質(zhì)量單元在靜力學(xué)和動力學(xué)方面(fngmin)的等效性，應(yīng)保證等效之后單元的慣性矩陣與原單元的慣性矩陣完全相同。 共六十二頁 等效原則：對任意單元進行質(zhì)量和慣量凝聚，形成等效

4、單元時等效單元與原實際單元要在總質(zhì)量、質(zhì)心、質(zhì)量矩、慣性矩等方面完全一致。 對于圖所示的對稱等截面桿，用集中質(zhì)量和集中慣量代替原均質(zhì)桿，當(dāng)把質(zhì)量和慣量對稱凝聚時，由于截面的對稱性有設(shè)質(zhì)量和慣量的凝聚點為i=1,2,n共六十二頁 當(dāng)把質(zhì)量和慣量對稱集中在桿的兩端（結(jié)點）時,即圖4-4集中質(zhì)量位于桿的兩端(結(jié)點) 共六十二頁 將質(zhì)量和慣量集中于桿質(zhì)心時, 即 圖4-5集中質(zhì)量位于桿質(zhì)心 共六十二頁由以上兩式可看到，不僅桿的質(zhì)量被按質(zhì)心不變的原則集中到特定的質(zhì)點位置上，還產(chǎn)生了所謂集中慣性矩，它表征了質(zhì)量在該質(zhì)點上的分布。式中甚至出現(xiàn)了負值的慣性矩，這是為抵消質(zhì)量集中到桿的兩端而造成的慣性矩變大所產(chǎn)

5、生的“折扣慣性矩”項，其定義正如在求截面形心時有時要用到負面積的概念(ginin)一樣。共六十二頁如圖4-6所示，桿內(nèi)有一集中質(zhì)量塊m，桿長為l ，分別(fnbi)向兩端1，2等效時（圖4-7）得圖4-6 具有集中(jzhng)質(zhì)量桿圖4-7 向兩端等效共六十二頁或者，對于平面均質(zhì)桿單元，設(shè)其慣性矩為J ，等效成圖4-7等效單元后，有如下(rxi)等式對于任意單元進行質(zhì)量和慣量凝聚時，等效單元的集中慣量須滿足共六十二頁對于形如圖4-8所示的質(zhì)量不均布單元，可將其按靜力等效等效成圖4-9所示的形式，然后可如前所述按等效原則分別向兩端或質(zhì)心等效。圖4-8質(zhì)量不均布單元 圖4-9 等效后的單元 對于

6、形如圖10所示的不規(guī)則單元，可將其等效成圖11所示的形式，然后可如前所述按等效原則向質(zhì)心等效。 圖4-10 不規(guī)則單元 圖4-11 等效單元 共六十二頁對于圖4-12所示的同一根軸上的n個輪轂單元(dnyun)，也都可以用等效的方式等效成圖4-13所示的等效單元。 圖4-12 任意輪轂單元 圖4-13 等效單元 共六十二頁以上各等效構(gòu)件具有與原構(gòu)件相同的慣性矩陣，從動力等效意義上來說它們是完全慣性等效的。運用慣性等效原則，得出集中質(zhì)量分布形式的等效單元。等效單元導(dǎo)出的偽慣性矩陣與實際單元導(dǎo)出的完全一樣。然而，集中質(zhì)量及慣量分布對單元運動方程的推導(dǎo)及系統(tǒng)運動方程的集成組裝帶來很大便利。對連桿單元

7、組成的連桿機構(gòu)而言，推薦采用將質(zhì)量集中在桿兩端結(jié)點處的等效單元，因為系統(tǒng)正是通過單元結(jié)點的聯(lián)系組建起來(q li)的，這是梁桿系統(tǒng)有限元方法建立系統(tǒng)方程的基本方法。共六十二頁4.2 若干單元的等效(dn xio)質(zhì)量陣 為了方便地用有限元法對剛性(n xn)單元進行組裝，等效元素集成法將單元的質(zhì)量（慣量）凝聚在邊界結(jié)點上（構(gòu)件兩端），此時，先將剛性(n xn)單元視為彈性的，各結(jié)點自由度獨立無關(guān)，每自由度對應(yīng)一集中質(zhì)量或慣量，使質(zhì)量陣的表達式與彈性單元無異，然后加上剛性(n xn)約束條件以限制非獨立自由度。 共六十二頁平面桿單元等效到桿中質(zhì)心處的質(zhì)量陣為： 圖4-14向質(zhì)心等效的平面桿單元

8、平面桿單元等效到桿兩端的質(zhì)量陣為 圖4-15 向兩端(結(jié)點)等效的平面桿單元 共六十二頁輪轂單元的等效質(zhì)量陣為： 圖4-16 輪轂單元 共六十二頁平面梁桿單元的質(zhì)量陣可表為如前所述，任何分布質(zhì)量的剛性構(gòu)件(gujin)，均可按等效原則變?yōu)榧匈|(zhì)量的等效單元，從而使單元質(zhì)量陣的列寫極為簡單，例如平面梁桿單元的質(zhì)量陣可表為共六十二頁但是必須指出，這只是如圖所示具有兩結(jié)點、6自由度的平面彈性梁桿的質(zhì)量陣，它并不能應(yīng)用于剛性系統(tǒng)(xtng)的動力學(xué)建模，它只是借用了彈性單元的表達形式。實質(zhì)上，在剛性單元中，這些結(jié)點自由度并非相互獨立。圖4-14所示的平面單元中，只有3個獨立自由度（兩個平動，一個轉(zhuǎn)動）

9、，而對空間單元，則有6個獨立自由度（三個平動，三個轉(zhuǎn)動），只有在加入剛性約束條件后，等效單元才具有真正意義上的等效。共六十二頁對剛性單元，有約束條件將以上(yshng)約束條件代入虛位移平衡方程有共六十二頁4.3 由等效單元(dnyun)到系統(tǒng)動力學(xué)方程的集成 將約束條件代入虛位移平衡(pnghng)方程得單元運動方程4.3.1從彈性單元到剛性單元共六十二頁圖4-17懸擺取廣義坐標(biāo)為 懸擺運動方程： 共六十二頁具有等效單元(dnyun)的機械系統(tǒng)動力學(xué)方程的集成 若將機構(gòu)中各單元視為具有集中慣量的彈性單元，從單元到系統(tǒng)的集成則完全可運用有限元理論及方法，得到不記及彈性剛度的系統(tǒng)虛位移動力學(xué)平衡

10、方程 共六十二頁系統(tǒng)過渡坐標(biāo)(zubio) 與廣義坐標(biāo) 之間的關(guān)系有得到系統(tǒng)動力學(xué)通用表達式式中 系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)下二階質(zhì)量陣； 系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)下三階質(zhì)量陣； 系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)下的廣義力陣。共六十二頁由此得到系統(tǒng)動力學(xué)方程表達式 或共六十二頁圖4-18 平面曲柄滑塊機構(gòu) 圖4-19 系統(tǒng)單元劃分 共六十二頁單元質(zhì)量陣分別為 將圖18中的單元按通常的有限元方法組裝到圖19中的等效系統(tǒng)中，得過渡坐標(biāo)下的系統(tǒng)質(zhì)量陣 系統(tǒng)的等效力為 共六十二頁根據(jù)約束條件得過渡坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)間關(guān)系 共六十二頁共六十二頁得到曲柄滑塊機構(gòu)動力學(xué)方程 等效單元構(gòu)成的系統(tǒng)動力學(xué)方程通用表達式 共六十二頁* 在應(yīng)用等效元素集成法列

11、寫復(fù)雜機構(gòu)動力學(xué)方程時,問題的關(guān)鍵歸結(jié)為系統(tǒng)中非獨立的過渡坐標(biāo)與獨立的廣義坐標(biāo)之間的二階轉(zhuǎn)換張量和三階轉(zhuǎn)換張量的確定和系統(tǒng)質(zhì)量陣的集成。 * 等效元素集成法的概念形成共六十二頁對復(fù)雜的機械系統(tǒng)而言，建立過渡坐標(biāo) 與廣義坐標(biāo)之間關(guān)系(gun x)的二階轉(zhuǎn)換陣 并非易事,雅可比陣 往往比較復(fù)雜，難以一下子完整表達。因此，可采用多次集成法。不失一般性，可認為由等效單元所構(gòu)成的等效系統(tǒng)的過渡坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)之間可經(jīng)過多次坐標(biāo)輪換而成，即復(fù)雜機構(gòu)(jgu)動力學(xué)方程的二次及多次集成 共六十二頁復(fù)雜機構(gòu)動力學(xué)方程(fngchng)的二次及多次集成 通過合理選擇適當(dāng)?shù)闹虚g坐標(biāo)，可得到相應(yīng)的中間轉(zhuǎn)換矩陣，從而把

12、復(fù)雜的轉(zhuǎn)換分解成若干簡單的中間轉(zhuǎn)換的合成。共六十二頁將上式各矩陣代入二階轉(zhuǎn)換陣和三階轉(zhuǎn)換陣的表達式，將獲得與上節(jié)中完全一致的結(jié)果。 共六十二頁7R級機構(gòu)(jgu)中有7個運動連桿，各桿長為l 如圖所示，設(shè)各截面積為A ，質(zhì)量密度為 .系統(tǒng)中各節(jié)點的過渡坐標(biāo) 的選取如圖所示，求運動微分方程共六十二頁共六十二頁共六十二頁共六十二頁共六十二頁4.4復(fù)雜空間機構(gòu)(jgu)動力學(xué)建模的等效元素集成法4.4.1具有集中慣量的空間(kngjin)等效構(gòu)件單元空間桿單元的偽慣性矩陣 構(gòu)件坐標(biāo)系原點如圖20所示取于單元中心時圖4-20坐標(biāo)原點位于中心的空間構(gòu)件 圖4-21坐標(biāo)原點位于一端的空間構(gòu)件 構(gòu)件坐標(biāo)系原

13、點如圖21所示取于單元一端時共六十二頁空間桿單元的等效質(zhì)量陣 圖4-22空間向兩端(結(jié)點)等效桿單元 1空間桿單元等效到兩端的質(zhì)量陣為 共六十二頁圖4-23 空間向質(zhì)心等效桿單元 2空間桿單元等效到桿中質(zhì)心處的質(zhì)量陣為： 3 空間輪轂單元的等效質(zhì)量陣為 共六十二頁4.4.2空間復(fù)雜機構(gòu)動力學(xué)方程的集成(j chn)方法源于動力學(xué)普遍(pbin)方程的動力學(xué)微分方程對于空間機構(gòu)和平面機構(gòu)是通用的.基于等效元素集成法,系統(tǒng)動力學(xué)方程可表為但是轉(zhuǎn)換張量 和 的列寫和等效質(zhì)量陣 的集成要比平面機構(gòu)復(fù)雜。 共六十二頁4.4.2.1 空間(kngjin)轉(zhuǎn)換張量的列寫方法 如同平面機構(gòu)一樣，在空間機構(gòu)中，

14、系統(tǒng)中非獨立的過渡坐標(biāo)與獨立的廣義坐標(biāo)之間的二階轉(zhuǎn)換張量和三階轉(zhuǎn)換張量與機構(gòu)的真實速度和加速度無關(guān)，只與機構(gòu)的運動學(xué)尺寸、機構(gòu)類型及機構(gòu)輸入(shr)參數(shù)（廣義坐標(biāo)）有關(guān)，即與機構(gòu)的位形有關(guān)。二階及三階轉(zhuǎn)換張量的求解方法通常由以下幾種 : 1)求導(dǎo)法; 2)環(huán)路方程法; 3)虛設(shè)機構(gòu)法 .共六十二頁設(shè)空間機構(gòu)中廣義坐標(biāo)（輸入?yún)?shù)）為q1、q2qn，Ui為系統(tǒng)運動中各節(jié)點和外力作用點對應(yīng)的運動自由度（節(jié)點在系統(tǒng)中的可能位移） ，則：共六十二頁共六十二頁4.4.2.2空間(kngjin)復(fù)雜機構(gòu)動力學(xué)方程的集成方法空間(kngjin)質(zhì)量陣的集成 * 由于構(gòu)件坐標(biāo)原點取在構(gòu)件質(zhì)心上，因此廣義質(zhì)量陣 中平動與轉(zhuǎn)動的耦合項為零，為對角陣，系統(tǒng)中過渡坐標(biāo)總數(shù)等于系統(tǒng)質(zhì)量陣的階數(shù)。 * 組裝原則:由關(guān)連陣生成系統(tǒng)質(zhì)量陣共六十二頁圖4-24五自由度機械手共六十二頁17個系統(tǒng)可能位移 的選取如圖3-3所示，將系統(tǒng)劃分為AB、 BC、 CD、 DE 、EF等5個單元，單元節(jié)點(ji din)號與系統(tǒng)節(jié)點(ji din)號之間的關(guān)聯(lián)陣Nm：共六十二頁固定(gdng)坐標(biāo)系取在節(jié)點A，各動坐標(biāo)系選取如圖所示共六十二頁共六十二頁由單元質(zhì)量(zhling)陣和關(guān)聯(lián)陣組裝成系統(tǒng)質(zhì)量(zhling)陣M共六十二頁共六十二頁式中共六十二頁共六十二頁共六十二頁共六十二頁共六十二頁廣義力矩