福建安溪第一中學(xué)2012015學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理試題版含答案

1、2014高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題參考公式：若（x1，y1），（x2, y2），（xn, yn）為樣本點(diǎn)，貿(mào)=bX + ?為回歸直線，則 TOC o 1-5 h z nn (X -y X yi -y ) 2 xyi -nxyg = 三 n- n2一 22、 xi -xv xi - nx HYPERLINK l bookmark4 o Current Document i 1i Ja? = y -I&一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.把答案填在答題卡相應(yīng)位置） HYPERLINK l bookmark8 o Curr

2、ent Document .命題p : Vx = N ,x3 x2的否定形式p為（）3232A. _ x N, x xB. -lx N, x x HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 3232C. x N,x3 ：x2D. x N,x3 0）的漸近線方程為y = 4x ,此雙曲線的離心率為（）6.A. bb , aaB. bb , avaC. bb , aaD. bvb , ava7.如圖，F(xiàn)i,F2是雙曲線C:b2=1, （a0,b0）的左、右焦點(diǎn)，過 Fi的直線l與C的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn),若 | AB|:|BF2 |:|AF2 |=3

3、:4:5 ,則雙曲線的離心率為（A.布B.15C.2 D, 738.若直線 mx+ ny = 4 和。O： x2 + y2= 4的直線與橢圓Xt+1的交點(diǎn)個數(shù)為94B.C. 1個沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)9.將長為1的小棒隨機(jī)拆成1B. 33小段, c. 4則這3小段能構(gòu)成三角形的概率為1D. 510.如圖，在等腰梯形ABCD 中，AB /CD,且 AB=2AD ,設(shè)/DAB=也長(0,一), 2以A , B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1，以C, D為焦點(diǎn)且過點(diǎn) A的橢圓的離心率為%則（）A.隨著角度。的增大，e1增大，3日為定值B.隨著角度。的增大，ei減小，eie2為定值C.隨著角度。的增大，

4、ei增大，eie2也增大 D.隨著角度。的增大，e1減小，e1e2也減小二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）22.已知直線x+2y2 = 0經(jīng)過橢圓多+ y2=1（ab0）的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，則該橢圓的 a b離心率等于。.如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖（其中m為數(shù)字09中的一個），去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為 a1、 a2）貝U a1, a2的大/、關(guān)系是 。.已知動圓C與圓C1:x2十（y3）2=1和圓C2：x2+（y+3）2=9都外切，則動圓圓心C的軌跡方程是。.已知雙曲線的漸近線方程為y=V3x,且過

5、點(diǎn)M（1, 3 ）,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.給出以下四個命題:2,則若 A B ,貝 U cos A cosB ;“若 a+ba, b中至少有一個不小于1的逆命題;x + y #3,“若x2+y2=0,則x, y都為0”的否命題；若其中真命題是三、解答題（本大題共 6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.（本小題滿分13分）22命題p :“方程 +一=1表示雙曲線 (k W R)；命題q : y = log2(kx2 +kx+1)k -3 k 3定義域?yàn)镽,若命題puq為真命題，pnq為假命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.（本小題滿分13分）某高校在2012年的自主招生考試成績中隨

6、機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組,得到的頻率分布表如下左圖所示.(I)請先求出頻率分布表中、位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再在答題紙上完成下列頻率分布直 方圖；(n)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？(出)在(2)的前提下，學(xué)校決定在 6名學(xué)生中隨機(jī)抽取 2名學(xué)生接受A考官的面試， 求：第4組至少有一名學(xué)生被考官 A面試的概率？分蛆率1第1姐ri60J65)30-fW1gl網(wǎng)30第*般17520, J180J85L0-10 JOU的111.00餐率分布表.(本小題滿分13分)已知p

7、：實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a20,其中a0, 且p是q的必要不充分條件，求 a的取值范圍.(本小題滿分13分)2 x 2橢圓C：+y =1,直線l交橢圓C于A, B兩點(diǎn).3(1)若l過點(diǎn)P(1, 1)且弦AB恰好被點(diǎn)P平分，求直線l方程. 3(2)若l過點(diǎn)Q(0, 2),求 AOB(。為原點(diǎn))面積的最大值.(本小題滿分14分)222已知雙曲線x2L=1的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)分別為橢圓C：與十與=1 (a Ab 0)的焦點(diǎn)、頂點(diǎn).2a b(I )求橢圓C的方程；(n)已知一直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F2,交橢圓于點(diǎn) A、B,當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點(diǎn) P ,使得直線PA、PB的傾斜

8、角互為補(bǔ)角？若存在，求出P坐 標(biāo)；若不存在，請說明理由.21.(本小題滿分14分) TOC o 1-5 h z 22已知橢圓C1：與+=1(aAbA0)過點(diǎn)A(1,Y2),其焦距為2. a b2(i)求橢圓Ci的方程；22x V(n)已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的萬程為=+22=1(aAbA0),則橢圓在其上一a b點(diǎn)A(x0,y0)處的切線方程為 差+# =1,試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題： a b(i)如圖(1),點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn)，過B作C1的切線l , l分別與x軸和y軸的正半軸交于 C,D兩點(diǎn)，求AOCD面積的最小值； TOC o 1-5 h z 22(ii )如圖(2),

9、過橢圓C2：十、一=1上任意一點(diǎn)P作C1的兩條切線PM和PN ,切82點(diǎn)分別為M ,N .當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C2上運(yùn)動時，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.圖（1）圖（2）高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)答案一、選擇題：D BA BC CA DC B二、填空題X* X*廣 y*IX 4 ;12. a 0): 14_ ；- =1 . 15. TOC o 1-5 h z 13D J三、解答題1&解：p :由/一 3)儂43) 0得:-3 k 0對ME出恒成立.(1)當(dāng)k = 0時，10,二支二0符合題意. 3分, a 伉。(2)當(dāng)匯壬0時，A 0由二好一4xkxl0得

10、詼(比一4)0,解得工0 Ar 4 5分練上得：g : 0玉k 3.11分f-3k3 尢亡0或化蘭4.-3kQ3k413 分阻距I). 0H0. 070. 050. 050. 040. 030. 020. D1押率分布權(quán)方因億（I）由題意知，第 2組的頻數(shù)為0.35聿100 = 35人,第3組的頻率為30 =0.300, 100頻率分布直方圖如下：（II）因?yàn)榈?、4 5組共有30名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生, 3010606060所以第3、小5組分別抽取3人、2人、1人,8分每蛆分別為:第3姐：2乂6 = 3人,第4組:心工6-：人.第5組：士 *6 = 1人（IID設(shè)

11、第3蛆的3位同學(xué)為鼻第4蛆的2位同學(xué)為與，員，第5蛆的1位同學(xué)為J,則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能如下：（4. 4）.（4*4 （4.星工（4（4*（4*4）* （4/。* （4* 耳）,（4*0.（&G上（國8。aq）J外c）其中第4組的2位同學(xué)至有一位同學(xué)入選的有：（4依禺）,因津）（4津。（%G）,（%g）洪9種. TOC o 1-5 h z 93所以耳中第4蛆的2位同學(xué)至少有一位同學(xué)入選的概率為一二二13分15 518.解：設(shè) A = x|x24ax+3a2v0(av 0) =x|3ax a , ,2 分B = x|x2一x一 6w 0 或 x2 + 2x一 8v 0= x|x2

12、-x- 60=x|-2 x 3 U x|x 2 = x|x 2.,6 分因?yàn)橐?p是一1q的必要不充分條件，所以一q?p,且一p推不出一q ,7分而？rB = x|4Wxv 2, ?RA=x|xa所以x| 4 x 2 u x|x a,11分13分22x12x22y1 =1, - y2 = 1 并作差 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 333a2 fa -4或a 0a 0 ,得 k2i.i2k9八僅 A(xi,yi),B(x2,y2),則xi+x2=- i +3k2,xix2 = i +3k2.,8 分i -所以S：aaob=|Sa pob363

13、6 (k2i)1+3k2= (1 + 3k2) 2,10分一SAPOA|=2 X 2X |xi x2|= |xi x2|.2,2.12k因?yàn)?xi x2)=(xi+ x2) 4xix2= 1 1 + 3k2 2236t361363八設(shè)k一1二堆0），則（xix2）=（3t+4）2 =i6 &-=4., i2分9t+ + 24 2P 9tX+24當(dāng)且僅當(dāng)9t=jj6,即t=| ,k2-i=4, k2 =7時等號成立，此時 AOB面積取得最大值 當(dāng)，,，13分2o.：（ I）在雙曲線/-二=1 中，口 =1, b =75,匚=752分c = a = 1, a c = j 5* =。一丁=3-1 =

14、二所以,輔匱IC的方程是（n）假設(shè)存在一點(diǎn)P,使得直線PA、PB的傾斜角互為補(bǔ)角, 依題意可知直線l、PA、PB斜率存在且不為零.不妨設(shè)P(m,0),直線l的方程為y = k(x1), k0,y =k(x-1)消去 y 得(3k2 +2)x2 -6k2x+3k2 6 = 0 TOC o 1-5 h z _ 2_ 2_設(shè) A(x1，yi), B(x2,y2)則 x +x?6k3k-62,x x2 二-23k2 23k22.直線PA、PB的傾斜角互為補(bǔ)角， kPA + kPB=0對一切k恒成立,即y +y2= 0對一切k恒成立,10分x1 mx2 -m又 =k(Xi 1), y2 =k(X2 -1

15、),代入上式可得2x1x2 + 2m_(m+ 1)(x1+x2) =0對一切k恒成立, ii分3k2 -66k2 22 2m _(m 1)23k 23k 2=0對一切k恒成立,12分13分14分即 4m 12，4m -12 = 0， , m = 3，2 二03k 2.存在P(3,0)使得直線PA、PB的傾斜角互為補(bǔ)角.21. (I)解：依題意得：橢圓的焦點(diǎn)為F1 (-1,0), F2 (1,0),由橢圓定義知：2a =| AF1 | + | AF21_2，a =亞,c = 1，b=1，所以橢圓C的方程為 人 + y2 =1.,2(II ) (i)設(shè)BN),則橢圓Ci在點(diǎn)B處的切線方程為x2x+y2y=12 TOC o 1-5 h z 121yD - ，令 y 0,xc -,所以 S/OCD 一yx2X2y2又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上，所以x2.0,y2 .0,9y22 =12224(x22cx2211 = + y2 2 y