33緊集與有限維賦范線性空間

1、3.3緊集與有限維賦范線性空間3.3.1致密集的概念實(shí)數(shù)直線上的Bolzano-Weierstrass致密性定理(compactness theorem):任一有界數(shù)歹U 必有收斂子列。定義3.3.1設(shè)(X, p)是度量空間，Au X .若在A中的任何點(diǎn)列必有在X中收斂的子點(diǎn)列，則稱A是(X中的)致密集。若X自身是致密集，則稱X是致密空間。性質(zhì)1有限點(diǎn)集是致密集。注 點(diǎn)集和點(diǎn)列不一樣，點(diǎn)列是取點(diǎn)集中的元素構(gòu)成的，其各項(xiàng)可以重復(fù)，但點(diǎn)集中的元素 卻不能一樣。因此，由于有限點(diǎn)集中的元素有限，所以要想構(gòu)成點(diǎn)列，必然有同一個(gè)元素?zé)o 數(shù)次重復(fù)，這樣，這些重復(fù)的元素構(gòu)成的子點(diǎn)列必然收斂。性質(zhì)2有限個(gè)致密集

2、的并是致密集。證 設(shè)A , A，,A是度量空間(X, p)的致密集，往證A = J A也是(X, p)的致密集。12 mkk =1任取一點(diǎn)列x u A，則存在A (1 / m)，x 有無限多項(xiàng)屬于A，記其為x ， nnnk即x u A.而A是致密的，所以必有在X中收斂的子點(diǎn)列xn ，使得x T x G X (h T 8),即xj在X中收斂的子點(diǎn)列xn ，故A也是(X, p)的致密集。證畢！性質(zhì)3致密集的任何子集是致密集。因此，任何一族致密集的交是致密集。證只要證明“致密集的任何子集是致密集”即可，而“任何一族致密集的交是致密集” 則是前者的直接推論。設(shè)A是度量空間(X, p )的致密集，B是A

3、的任一子集。任取一點(diǎn)列xj u B，因?yàn)锽 u A，所以xj u A.而A是致密的，因此點(diǎn)列x 必有在X中收斂的子點(diǎn)列x ，使得nnkx T x G X (k T8 ),故B也是致密的。證畢！，性質(zhì)4致密集的閉包是致密集。證 設(shè)(X, p)是度量空間，Au X是致密集，往證A的閉包也是致密集。任取一點(diǎn)列七 u A = AU A,則對(duì)每個(gè)n，存在y e A (進(jìn)而得一點(diǎn)列yj u A )，使得p (x , y ) -,n n n因?yàn)锳是致密的，所以點(diǎn)列y必有在X中收斂的子點(diǎn)列 yn，使得yn y e X (k s),即 p (yn ,y 0 kt”.)于是由三點(diǎn)不等式得P (x ，y) vp (

4、x , y ) + p (y , y) + p (yn , y) 0knknk nknk即：點(diǎn)列xn必有在X中收斂的子點(diǎn)列xn ，使得由定義3.3.1知：A的閉包A也是致密集。證畢!性質(zhì)5致密集中的基本點(diǎn)列必然收斂。因此，致密的度量空間是完備的。證 設(shè)(X, p)是度量空間，Au X是致密集。若xn是A中的基本點(diǎn)列，則由A的致密性得：點(diǎn)列xj必有在X中收斂的子點(diǎn)列七，使得x t x e X (k T8).于是x t x (n T8).證畢!3.3.2緊集定義3.3.2 (緊集)稱度量空間中的致密閉集為緊集(C ompact Set)。注 顯然，A是緊集的充要條件是：A中任一點(diǎn)列必有收斂的子點(diǎn)列

5、收斂于A中的一點(diǎn)。對(duì)于全空間來說，致密的概念和緊集的概念沒有區(qū)別，致密的度量空間又稱為緊(度量)空間。性質(zhì) 度量空間（X, P）中的緊集A看成X的子空間時(shí)是完備的。定理3.3.K Gross）設(shè)A是度量空間（X, p）中的緊集，K是X中的一族開集。若K覆蓋A :A u U B 人，BRK則必有K中的有限個(gè)開集B1,B2,Bn覆蓋A :A u U B .i i=1注這個(gè)定理也稱為有限覆蓋定理，它的逆命題也成立。定理332設(shè)A是度量空間（X, p）中的點(diǎn)集，若X中每個(gè)覆蓋A的開集族中必有有限個(gè)開集覆蓋A，則A是緊集。證（自證?。└鶕?jù)定理3.3.1和定理3.3.2,我們可以給出度量空間中緊集的另一個(gè)

6、定義：定義3.3.3 （緊集）設(shè)A是度量空間（X, p）中的子集，若X中每個(gè)覆蓋A的開集族中必有有限個(gè)開集覆蓋A，則稱A是緊集。3.3.3緊集上的連續(xù)映射我們現(xiàn)在把閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)拓廣到度量空間的緊集上。定理3.3.3設(shè)A是度量空間（X, p）中的緊集，f是A上的連續(xù)映射，則A的象B = f （A）也是緊集。證（自證?。┩普?度量空間上的連續(xù)映射必然把致密集映射成致密集。推論2度量空間中的緊集A上的連續(xù)函數(shù)f必然有界，而且上、下確界可以達(dá)到。推論3緊集上的一對(duì)一的連續(xù)映射必是同胚映射。證 設(shè)f是緊集A到B上的一對(duì)一的連續(xù)映射，往證逆映射f -1也是連續(xù)的。In fact,只要證明f

7、 -1的逆映射f將A的任意閉子集E映射成閉集即可。因?yàn)锳是緊集，所以A的閉子集E也是緊集。因此f （E）也是緊集。f和f-1一樣都是連續(xù)映射，故f是拓?fù)溆成?。證畢！3.3.4有限維賦范線性空間e ,e，,e是x的一個(gè)基，則必存在正數(shù)12xe e X，有i i n有限維賦范線性空間又稱為Minkowski空間。 定理3.3.4設(shè)0,| 口|）是n維賦范線性空間 C1, C，使得對(duì)于Vx = i =1X 2 圳J C2i i=1(3.3.1)并且映射xei i i=1(3.3.2)是n維歐幾里得空間Rn到Xn的同胚映射。所以證因?yàn)閤 =ILxe e Xii =1x尋|匕| Ji=1(3.3.3)則

8、q0，且另一方面，作R中的單位球面:S = (x ,x，,x ) e Rn2=1，考察S上的函數(shù)f (氣,Z,乙ei i i=1顯然f在S上處處大于零?，F(xiàn)在證明f在S上的下確界C = inf1(X1，x2,Xn)eS乙e0.i ii=1因?yàn)镾是Rn中的有界閉集，所以S是緊集。由定理3.3.3的推論2矢口：只要證明f是 連續(xù)的，則f在s上的下確界C1是f在s上某點(diǎn)的函數(shù)值，這樣就能得到q0.由(3.3.3)得:f 3,x，,x ) f (j , j，,j )| =12 n12n 1xei i i=1jeii i=1(x j )e 0.對(duì)于Rn中的非零向量x = xe，作 i i& Jj = 1,

9、2,，n,i=1則e |& I2=1，因此 jj=1 C1，*xei i i=1于是(3.3.1)得證！由(3.3.1)得: 怫-刨 臨-叫|，且(3.3.4)|A-1 x-SI 0，使得對(duì)Vx e Xn，都有勺風(fēng) 141 k2l4 -為了說明定理3.3.4的結(jié)論，我們對(duì)一般的線性空間(不一定是有限維的)引入如下概念：定義3.3.4設(shè)X是一個(gè)線性空間，| , fl是定義在X上的兩個(gè)范數(shù)。若存在正數(shù)c ,c，1212使得對(duì)一切X G X，都有cJI X2 q4 1 c2 |圳2,(3.3.5)則稱范數(shù)|口|1和|口|2是等價(jià)的。注設(shè)在線性空間X上有兩個(gè)范數(shù)|機(jī)|也，X按這兩個(gè)范數(shù)成為賦范線性空間

10、，記為(X,|口|)和(X,回).則范數(shù)|口|和|口|等價(jià)的充要條件是在(X,|邛)和(X,|口| )中點(diǎn) TOC o 1-5 h z 121212列收斂的概念是一致的，即：|x -X 0 (n T8)與 |x -X 0 (n T8)是等價(jià)的。n 1n 2因此，當(dāng)范數(shù)|口|和II口|等價(jià)時(shí)，賦范線性空間(X,|口|)和(X,|口| )是同胚的。 1212定理3.3.4的推論1說明：在有限維線性空間上，任何兩個(gè)范數(shù)都是等價(jià)的，任何兩個(gè)n 維賦范線性空間都是同胚的。推論2有限維賦范線性空間是完備的。證(自證！)由于度量空間的完備子空間是閉的，所以得：推論3任意賦范線性空間的有限維線性子空間是閉子空

11、間。從定理3.3.4又可得到定理3.3.5有限維賦范線性空間中任何有界集都是致密的。證 設(shè)X是n維賦范線性空間，則X和n維歐幾里得空間Rn同胚。記Xn到Rn的拓?fù)溆成錇閒，則f -1也是拓?fù)溆成?。?duì)于Xn中的有界集A，f (A)是Rn中的有界集。由定理1矢口： f (A)是Rn中的致密集，而致密集在連續(xù)映射f -1下仍是致密的，故f (A)的原象A是Xn中的致密集。證畢！反之，我們可以證明：若在一個(gè)賦范線性空間中每個(gè)有界集都是致密的，則這個(gè)空間 一定是有限維的。為此我們先介紹F. Riesz的一個(gè)引理。在歐幾里得空間中，對(duì)任一線性真子空間，必有一單位向量與此子空間的“距離”等于1.但對(duì)于一般的

12、賦范線性空間，F(xiàn). Riesz證明了下面的Riesz引理 設(shè)E是賦范線性空間X的閉子空間，且E。X，則對(duì)V8 (0 8 .證 因?yàn)镋是X的真子集，任取一點(diǎn)X e X - E,又因?yàn)镋是閉的，所以若不然，即P (X, E) = 0，則X e E = E，矛盾!因?yàn)閐：沱 d所以必有xe E，滿足|x - x|證畢！下面的定理指出了有限維空間和無限維空間的一個(gè)本質(zhì)性的差別。定理3.3.6若賦范線性空間X是無限維的，則X中必有不致密的有界集。證 證明單位球S = x e X | |x| 1/2 .用X表示由x ,x張成的二維子空間，則X是X的閉子空間，且X豐X . 21222于是又可以對(duì)X2運(yùn)用Riesz引理.這樣繼續(xù)做下去，從X中選取了一列單位向量x | k = 1,2,3,和X的一列閉子空 k間X I k = 1,2,3, ， x ,x，,x u X，且k12 k k,。、 1 ，一P (x*,Xk) 2 k =1,2,.因此，當(dāng)m n時(shí)，